幾何學 에서, 區 (球, sphere)는 한 點과의 거리 가 같은, '모든 點에서 同一한 距離를 가지는 3次元 空間 위의 點들의 集合'이자 閉曲線으로 둘러싸인 2次元 平面( 閉曲面 )이다. '舊'라는 이름은 공 이란 意味의 漢字에서 왔지만, 數學에서의 구는 속이 비어 있는 '舊面'을, 공 銀 속이 차 있는 '具體'를 가리키는 말이다.

데카르트 座標系 에서는 中心 이 ( a , b , c ) 이고 半지름이 r 人 具를

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}}$

라는 方程式 으로 나타낼 수 있다. 두 個의 媒介變數 θ ∈ [0, 2 π ] , φ ∈ [0, π ] 를 利用하여

${\displaystyle x=a+r\cos \theta \cos \varphi }$

${\displaystyle y=b+r\sin \theta \cos \varphi }$

${\displaystyle z=c+r\sin \varphi }$

로 表現할 수도 있다.

區의 부피 [ 編輯 ]

斷面積의 積分을 利用한 證明 [ 編輯 ]

원의 方程式 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2},(y\geq 0)}$을 利用하여 區의 부피를 求해보자.

원의 方程式을 ${\displaystyle y\geq 0}$로 限定하면 函數 ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$를 만들 수 있다.

半球의 부피 V는 다음과 같이 半球의 斷面積을 積分한 값이다.

${\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(x)dx}$

斷面的 函數 A(x)는 函數 ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$의 函數값을 半지름으로 하여 제곱하고 ${\displaystyle \pi }$를 곱한 값이므로

${\displaystyle A(x)=\pi (r^{2}-x^{2})}$이다.

따라서 ${\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(x)dx=\int _{0}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx}$

${\displaystyle =[\pi r^{2}x]_{0}^{r}-[\pi {\frac {1}{3}}\ x^{3}]_{0}^{r}=\pi r^{3}-{\frac {1}{3}}\pi r^{3}={\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$이다.

區의 부피는 ${\displaystyle 2V}$이므로 半지름이 ${\displaystyle r}$人 區의 부피 는 ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$이다.

圓筒셸 方法 을 利用한 證明 [ 編輯 ]

1四分面 위의 원 ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}(x\geq 0)}$을 y軸에 對해 回轉하여 생긴 回戰체인 半球의 부피 V는

${\displaystyle V=\int _{0}^{r}2\pi x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}dx}$

${\displaystyle =-{\frac {2}{3}}\pi [(r^{2}-x^{2})^{\frac {3}{2}}]_{0}^{r}=-{\frac {2}{3}}\pi (0-r^{3})={\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$

따라서 區의 부피는 ${\displaystyle 2V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$이다.

質量 中心 및 파푸스-굴딘 整理 를 利用한 證明 [ 編輯 ]

원의 方程式 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}(y\geq 0)}$의 그래프는 函數 ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$의 그래프이므로, ${\displaystyle y=f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$라 하자. 이때 이 그래프를 x軸에 對해 回轉했을 때의 回戰체인 區의 부피를 求해보자.

먼저, 質量 中心 座標 ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}$를 救한다.

函數 ${\displaystyle f(x)}$는 y軸을 基準으로 左右對稱이기 때문에, ${\displaystyle {\bar {x}}}$의 座標는 0이다.

${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {{\frac {1}{2}}(\int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx)}{{\frac {1}{2}}\pi r^{2}}}={\frac {(\int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx)}{\pi r^{2}}}}$

${\displaystyle ={\frac {\frac {4r^{3}}{3}}{\pi r^{2}}}={\frac {4r}{3\pi }}}$이므로

質量 中心 座標 ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})=(0,{\frac {4r}{3\pi }})}$이다.

파푸스-굴딘 定理에 依하여 x軸에 對해 한바퀴 回轉할 때 回轉體의 부피 V는

${\displaystyle V=2\pi {\bar {y}}\mathrm {A} }$ (A는 領域의 넓이) 이므로

${\displaystyle V=2\pi \cdot {\frac {4r}{3\pi }}\cdot {\frac {1}{2}}\pi r^{2}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$이다.

따라서 區의 부피는 ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$이다.

부피比 [ 編輯 ]

밑面의 半지름이 ${\displaystyle r}$人 區의 부피는 ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$이고,

밑面의 半지름이 ${\displaystyle r}$이고, 높이가 ${\displaystyle h}$人 圓뿔 과 圓기둥 의 부피는 各各 ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$, ${\displaystyle \pi r^{2}h}$이다.

${\displaystyle h=2r}$裏面 圓뿔과 圓기둥의 부피는 各各 ${\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$, ${\displaystyle 2\pi r^{3}}$이 된다.

따라서, 한 邊의 길이가 ${\displaystyle 2r}$人 正六面體 에 內接 하는 圓뿔, 區, 圓기둥의 부피의 比는

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}:{\frac {4}{3}}\pi r^{3}:2\pi r^{3}=1:2:3}$

球의 表面的 [ 編輯 ]

밑面의 넓이가 아주 작고 밑面의 半지름과 높이가 같은 圓뿔이 있다고 하자.

그러면 그 圓뿔이 한 點을 中心으로 모여 具를 이루었다고 할 수 있으므로 (밑面의 넓이가 작은 圓뿔의 부피) : (區의 부피) = (밑面의 넓이가 작은 圓뿔의 밑面의 넓이) : (구의 겉넓이)가 된다.

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{3}:{\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\pi r^{2}:S}$

따라서 겉넓이 ${\displaystyle S=4\pi r^{2}}$이 된다.

一般化 [ 編輯 ]

區의 正義를 擴張하여 ${\displaystyle n}$次元의 區 를 생각할 수 있다. 例를 들어 3次元에서의 區에 該當하는 圖形은 2次元에서는 원 , 1次元에서는 重點을 基準으로 같은 距離만큼 떨어져 있는 두 點이라고 할 수 있다.

數學的으로는 이러한 一般的인 句를 ${\displaystyle S^{n}}$으로 標示하고, 正義는 ${\displaystyle (n+1)}$次元 유클리드 空間 에서 中心點과의 距離가 같은 點들의 集合이다. 이 定義에 따라 ${\displaystyle S^{1}}$은 원, ${\displaystyle S^{2}}$는 球가 된다.

같이 보기 [ 編輯 ]

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區

• 원