數學 에서 區間 (區間, 英語 : interval )은 願順序 集合 의 주어진 두 元素 사이의 모든 元素들의 集合 이다. 特히, 標準的인 全順序 를 附與한 失手 의 集合 위의 區間을 생각할 수 있다. 區間은 끝點을 包含하는지 與否에 따라

• 열린區間 (-區間 英語 : open interval ) 또는 開區間 (開區間)
• 닫힌區間 (-區間 英語 : closed interval ) 또는 閉區間 (閉區間)
• 反열린區間 (半-區間, 英語 : half-open interval ) 또는 反닫힌區間 (半-區間, 英語 : half-closed interval ) 또는 半開區間 (半開區間) 또는 半閉區間 (半閉區間)

의 세 가지로 나뉜다.

正義 [ 編輯 ]

願順序 集合 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 두 元素 ${\displaystyle a,b\in X}$에 對하여,

${\displaystyle a\lesssim b\not \lesssim a}$

를 ${\displaystyle a<b}$로 表記하자.

區間 [ 編輯 ]

願順序 集合 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$^{[1] :11, Definition 11} 의 두 元素 ${\displaystyle a,b\in X}$를 왼쪽·오른쪽 끝點으로 하는 열린區間 과 닫힌區間 및 두 個의 反열린區間 은 各各 다음과 같다 (두 끝點에 對하여 ${\displaystyle a<b}$ 또는 ${\displaystyle a\lesssim b}$를 要求하기도 한다).

${\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}}$

${\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}}$

${\displaystyle [a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}}$

願順序 集合 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 元素 ${\displaystyle a\in X}$를 왼쪽 끝點으로 하고, 오른쪽 끝點이 주어지지 않는 열린區間 과 反열린區間 은 各各 다음과 같다.

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}}$

마찬가지로, 願順序 集合 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 元素 ${\displaystyle b\in X}$를 오른쪽 끝點으로 하고, 왼쪽 끝點이 주어지지 않는 열린區間 과 反열린區間 은 各各 다음과 같다.

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}}$

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}}$

왼쪽·오른쪽 끝點이 주어지지 않는 (열린)구간은 ${\displaystyle X}$ 全體이다.

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=X}$

願順序 集合 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$에서, 한쪽 또는 兩쪽 끝點이 주어지지 않는 區間은 새로운 最大 元素 와 最小 元素 를 追加하여 얻는 願順序 集合

${\displaystyle X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}$

${\displaystyle \forall x\in X\colon -\infty <x<\infty }$

의 두 元素를 두 끝點으로 하는 ${\displaystyle X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}$의 區間으로 여길 수 있다. 例를 들어, 모든 失手 區間은 두 擴張된 失手 를 끝點으로 한다.

順序 볼록 集合 [ 編輯 ]

願順序 集合 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 部分 集合 ${\displaystyle C\subseteq X}$가 다음 條件을 만족시키면, 順序 볼록 集合 ( 英語 : order-convex set )이라고 한다.

• 任意의 ${\displaystyle a,b\in C}$에 對하여, ${\displaystyle [a,b]\subseteq C}$

願順序 集合 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 部分 集合 ${\displaystyle Y\subseteq X}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle Y}$에 包含되는 ${\displaystyle X}$의 順序 볼록 集合들은 包含 關係에 따라 部分 順序 集合 을 이룬다. 그 極大 元素 를 ${\displaystyle Y}$의 順序 볼록 成分 ( 英語 : order-convex component )이라고 한다. ^{[2] :Definition 5.1 [3] :727} 超른 補助定理 에 따라, ${\displaystyle Y}$에 包含되는 ${\displaystyle X}$의 任意의 順序 볼록 集合은 恒常 ${\displaystyle Y}$의 順序 볼록 成分에 包含되지만, 이러한 成分이 唯一할 必要는 없다. 萬若 ${\displaystyle X}$가 全順序 集合 이라면, ${\displaystyle Y}$의 順序 볼록 成分들은 ${\displaystyle Y}$를 分割 한다. 卽, ${\displaystyle C\subseteq Y}$人 順序 볼록 集合 ${\displaystyle C\subseteq X}$를 包含하는 順序 볼록 成分은 唯一하며, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \{y\in Y\colon \exists c\in C\colon [\min\{c,y\},\max\{c,y\}]\subseteq Y\}}$

性質 [ 編輯 ]

함의 關係 [ 編輯 ]

모든 區間은 順序 볼록 集合이지만, 그 驛은 一般的으로 成立하지 않는다.

失手選 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 部分 集合 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$에 對하여, 다음 條件들이 서로 同治 이다.

• ${\displaystyle I}$는 區間이다.
• ${\displaystyle I}$는 볼록 緝合 이다.
• ${\displaystyle I}$는 順序 볼록 集合이다.
• ${\displaystyle I=\varnothing }$이거나, ${\displaystyle I}$는 連結 空間 이다.
• ${\displaystyle I=\varnothing }$이거나, ${\displaystyle I}$는 經路 連結 空間 이다.
• ${\displaystyle I=\varnothing }$이거나, ${\displaystyle I}$는 號 連結 空間 이다.

보다 一般的으로, 線型 連續體 ${\displaystyle (L,\leq )}$의 部分 集合 ${\displaystyle S\subseteq L}$에 對하여, 다음 세 條件이 서로 同治 이다. ^{[4] :153,?Theorem 24.1}

• ${\displaystyle S}$는 區間이다.
• ${\displaystyle S}$는 順序 볼록 集合이다.
• ${\displaystyle S=\varnothing }$이거나, ${\displaystyle L}$에 順序 位相 을 加했을 때 ${\displaystyle S}$는 連結 空間 이다.

肺胞 [ 編輯 ]

失手 區間의 肺胞 는 다음과 같다. ^{[5] :214, Lemma 9.1.12}

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b]}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,+\infty )=\operatorname {cl} [a,+\infty )=[a,+\infty )}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a]}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,+\infty )=(-\infty ,\infty )}$

볼록 部分 格子 [ 編輯 ]

格子 ${\displaystyle L}$의 部分 集合 ${\displaystyle S\subseteq L}$에 對하여, 다음 두 條件이 서로 同治 이다.

• ${\displaystyle S}$는 部分 格子이며, 順序 볼록 集合이다.
• ${\displaystyle S=I\cap F}$人 順序 아이디얼 ${\displaystyle I\subseteq L}$과 필터 ${\displaystyle F\subseteq L}$이 存在한다.

예 [ 編輯 ]

單位 區間

${\displaystyle [0,1]=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leq x\leq 1\}}$

은 0보다 크거나 그와 같고, 1보다 작거나 그와 같은 失手들의 集合이다. 區間

${\displaystyle (0,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\}}$

은 모든 陽의 失手들의 集合이다.

有理數 의 全順序 集合 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$의 部分 集合

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}\subseteq \mathbb {Q} }$

는 順序 볼록 集合이지만, ( ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$가 無理手 이므로) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$의 區間이 아니다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 號 (幾何學)
• 不等式
• 線分
• 區間의 分割

各州 [ 編輯 ]

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Interval and segment” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Interval” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Interval” . 《nLab》 (英語).