集合論 에서 關係 (關係, 英語 : relation )는 곱集合 의 部分 集合 이다. 元素의 튜플 이 이 部分 集合에 屬하는지 與否를 통해 元素들 사이의 關係를 나타낸다.

正義 [ 編輯 ]

集合族 ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$ 위의 關係 는 곱集合 의 部分 集合

${\displaystyle \textstyle R\subseteq \prod _{i\in I}X_{i}}$

이다. 特히, 順序數 ${\displaystyle \alpha }$에 對하여, 集合 ${\displaystyle X}$ 위의 ${\displaystyle \alpha }$港 關係 ( 英語 : ${\displaystyle \alpha }$-ary relation )는 거듭제곱 集合의 部分 集合

${\displaystyle R\subseteq X^{\times \alpha }}$

이다. 特히 恒數 에 따라 다음과 같은 특수한 境遇들을 생각할 수 있다.

• ${\displaystyle X}$ 위의 永巷 關係 (零項關係, 英語 : nullary relation ) ${\displaystyle R\subseteq \{\bullet \}}$. 卽, ${\displaystyle R=\varnothing }$ 또는 ${\displaystyle R=\{\bullet \}}$.
• ${\displaystyle X}$ 위의 單桁 關係 (單項關係, 英語 : unary relation ) ${\displaystyle R\subseteq X}$
• ${\displaystyle X}$ 위의 이항 關係 (二項關係, 英語 : binary relation ) ${\displaystyle R\subseteq X\times X}$. 이 境遇, ${\displaystyle (x,y)\in R}$를 ${\displaystyle xRy}$와 같이 表記하기도 한다.
• ${\displaystyle X}$ 위의 三項 關係 (三項關係, 英語 : ternary relation ) ${\displaystyle R\subseteq X\times X\times X}$.
• ${\displaystyle X}$ 위의 ${\displaystyle n}$港 關係 (-項關係, 英語 : n-ary relation ) ${\displaystyle R\subseteq X^{\times n}}$. 이 境遇, ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\in R}$를 ${\displaystyle R(x_{1},\dots ,x_{n})}$와 같이 表記하기도 한다.

예 [ 編輯 ]

• 공先占 關係는 空間 속의 點들에 對한 三項 關係이다.
• 여러 가지 이항 關係: 여기서는 集合 ${\displaystyle X}$上의 이항 關係 ${\displaystyle R}$에 關해서 생각하자. ${\displaystyle \forall x\in X(xRx)}$를 반사성(reflexivity)라 한다. ${\displaystyle \forall x,y\in X(xRy\rightarrow yRx)}$를 對稱性(symmetricity)라 한다. ${\displaystyle \forall x,y\in X(xRy\wedge yRx\rightarrow x=y)}$를 反對稱性(antisymmetricity), ${\displaystyle \forall x,y\in X(xRy\rightarrow \neg yRx)}$를 非對稱性(asymmetricity)이라 한다. ${\displaystyle \forall x,y,z\in X(xRy\wedge yRz\rightarrow xRz)}$를 秋理性이라 한다.
• 反射的, 對稱的, 推移的인 關係를 童穉 關係라 한다.
• 反射的, 反對稱的, 推移的인 關係를 順序 關係라 하고 非對稱的, 推移的인 關係를 江 順序 關係라 한다. 그러면 關係 ${\displaystyle <}$와 關係 ${\displaystyle \leq }$에 對하여 ${\displaystyle x\leq y\iff x<y\vee x=y}$가 成立할 때, ${\displaystyle <}$가 江 順序 關係일 條件과 ${\displaystyle \leq }$가 順序 關係일 條件은 서로 必要充分條件이다. 文脈에 따라 江 順序 關係를 그저 順序 關係로 할 수도 있으므로 注意가 必要하다.

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Relation” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Binary relation” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Relation” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Binary relation” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Relation” . 《nLab》 (英語).  
• “Rel” . 《nLab》 (英語).  
• “Relation” . 《PlanetMath》 (英語).  
• “Definition:Relation” . 《ProofWiki》 (英語).  
• “Category:Definitions/Relation theory” . 《ProofWiki》 (英語).  
• “Category:Relation theory” . 《ProofWiki》 (英語).