K·p微?? 又名 K·p微?法 ，是 固?物理 中用??算固? 能??? 和光?性?的一? 微?方法 ，因微? 哈密?算符 中出?了正比于??波矢（k）??量算符（p） ?? 的?而得名。?方法可以近似?? 半?? 中的?子在 ?? 底的 有效?量 。 ^{[1] [2]}

背景 [ ?? ]

在晶?中，??具有周期性，如果?其中?子的波函?加以 周期性?界?件 ，?波函??具有 布洛赫波 的形式： ^[1]

${\displaystyle \psi _{n,\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }u_{n,\mathbf {k} }}$

其中 ${\displaystyle \mathbf {k} }$是??波矢， ${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }}$是周期函?，且周期?晶格的周期完全相同。 ^[1]

??表?式代入定?薛定?方程，可得 ${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }}$?足的方程。?方程在形式上?似于定?薛定?方程： ^[1]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }}$

其“哈密?算符”?： ${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V}$

微?方法 [ ?? ]

K·p微??适用于??波矢 ${\displaystyle \mathbf {k} }$?小的情形下。此?可?“哈密?算符”中不含有??波矢 ${\displaystyle \mathbf {k} }$的???无微?的“哈密?算符”，把含有??波矢 ${\displaystyle \mathbf {k} }$的???“微?哈密?算符”，?： ^[1]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }=H_{0}+H_{\mathbf {k} }',\;\;H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V,\;\;H_{\mathbf {k} }'={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}}$

利用 微?方法 可以用所有 ${\displaystyle u_{n,\mathbf {0} }}$的?性?合表?某?能?的 ${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }}$，?而?出能量 ${\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }}$???波矢 ${\displaystyle \mathbf {k} }$的近似?系。如果 ${\displaystyle u_{n,\mathbf {0} }}$是不??的，考?到一?修正后 ${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }}$的表?式?： ^[1]

${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m}}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n',0}}$

考?二?修正以后能量的表?式?： ^[1]

${\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}}=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}\sum _{i,j}{\frac {|\langle u_{n,0}|p_{i}|u_{n',0}\rangle ||\langle u_{n,0}|p_{j}|u_{n',0}\rangle |}{E_{n,0}-E_{n',0}}}k_{i}k_{j}}$

?子的倒 有效?量 ?量近似?： ^[1]

${\displaystyle ({\frac {1}{m^{\star }}})_{ij}={\frac {1}{m}}\delta _{ij}+{\frac {2}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|p_{i}|u_{n',0}\rangle ||\langle u_{n,0}|p_{j}|u_{n',0}\rangle |}{E_{n,0}-E_{n',0}}}}$

?用 [ ?? ]

在 直接?隙半?? 中，??底部的?子??的??波矢?零，?的有效?量可?用K·p微??近似?算。微??中最近??的微???最大。??底和价??的?互?最近??，?考?彼此的微???，K·p微??的?果可?一步?化?： ^[1]

${\displaystyle ({\frac {1}{m^{\star }}})_{ij}={\frac {1}{m}}\delta _{ij}+{\frac {2}{m^{2}}}{\frac {|\langle u_{v,0}|p_{i}|u_{c,0}\rangle ||\langle u_{c,0}|p_{j}|u_{v,0}\rangle |}{E_{g}}}}$

式中 ${\displaystyle E_{g}}$???底?价??的能量差，? ?隙 ；脚?v和c分?指代价?????底的?。如果所考?的??底是旋???的，倒有效?量?量可以用一??量代替： ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{m^{\star }}}={\frac {1}{m}}+{\frac {2}{m^{2}}}\sum _{i}{\frac {|\langle u_{v,0}|p_{i}|u_{c,0}\rangle |^{2}}{E_{g}}}}$

表明半??的?隙越小，??底?子有效?量也越小。?通常的半????，??底?子的有效?量?小于?子的???量，且矩?元??子???量的比?近似?一?常量10eV。故： ^[1]

${\displaystyle {m^{\star }}/m=E_{g}/20ev}$

?公式?出的??底?子有效?量近似???大多?IV族、III-V族、II-VI族直接?隙半?????的?差在15%以?。 ^[3]

推? [ ?? ]

如果考? 自旋-?道作用 ，仍然可以用?似方法?理。此?“哈密?算符”???： ^[2]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma }}}$

如果 ${\displaystyle u_{n,\mathbf {0} }}$有??，需要使用 ??微? 理?。 ^[4] Luttinger?Kohn模型 （ 英? ： Luttinger?Kohn model ） 可以?理????。 ^[5]

?? [ ?? ]

• 布洛赫定理

?考文? [ ?? ]