無窮級數 中 1 + 2 + 3 + 4 + … ?所有 自然? 的和，是一? ?散?? ，其數學式也寫作 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n}$

此級數前 n ?的 部分和 ?是 三角形數 ：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{n}n={\frac {n(n+1)}{2}}}$

?管這個??的和第一眼看起?不?有任何有意?的?，透過 黎曼ζ函數正規化 （ 英? ： Zeta function regularization ） 與 拉馬努金求和 等方法可?生一有限? ${\displaystyle -{\frac {1}{12}}}$，表示?：

${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}}$

此結果在 ?分析 、 量子力? 及 弦理? 等領域中有所?用。

部分和公式的?明 [ ?? ]

自然?從 1 加到 n 的和是 ${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$ 能用?多方法?明。首先令

${\displaystyle S_{n}=1+2+3+4+\cdots +(n-2)+(n-1)+n.\,}$

我???些?重排反着?：

${\displaystyle S_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +4+3+2+1.\,}$

??者相加，???相加，我?得到

${\displaystyle 2S_{n}=\underbrace {(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+\cdots +[3+(n-2)]+[2+(n-1)]+(1+n)} _{n},}$

${\displaystyle 2S_{n}=\underbrace {(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)+(n+1)+(n+1)} _{n},}$

${\displaystyle 2S_{n}=n\cdot (n+1),}$

${\displaystyle S_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

ζ函?的求和?解析??性 [ ?? ]

? s 的?部大于 1， s 次方的 黎曼ζ函? 等于求和 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n^{-s}}}$。? s 的?部小于或等于 1 ?和式?散，但? s = ?1 ? 由 ζ(s) 的 解析延拓 ?出 ζ(?1) ? ${\displaystyle -{\frac {1}{12}}}$。

1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在，但拉?努金?外給其定義，其 拉?努金求和 的?果? ${\displaystyle -{\frac {1}{12}}}$^[1] 。

物理 [ ?? ]

在 ?色弦理論 中，我?想算出一?弦的可能的能量?，特?是最低能量?。非正式地?，每一?弦的?波可以??一? ${\displaystyle D}$ 无? 量子?振子 ，?里 ${\displaystyle D}$ 是?空的??。如果基本振子?率是 ${\displaystyle \omega }$ ?一?振子? ${\displaystyle n}$ ??波的??是 ${\displaystyle {\frac {n\hbar \omega }{2}}}$。所以利用?散??我???在所有?波上求和是 ${\displaystyle -{\frac {\hbar \omega (D-2)}{24}}}$。最后???是正?的，? Goddard?Thorn theorem （ 英? ： no-ghost theorem ） 一起，?致波色弦理?在??不? 26 ?是不一致的。

一??似的?算是?算 ?西米?力 。

?史 [ ?? ]

在 拉?努金 ?? 戈弗雷·哈羅德·哈代 的第二封信中（日期?1913年2月27日）：

“??的先生，我?感激地?到?1913年2月8日的信。我等待?的答?，?似于一??敦的???授?信要我仔??究 布羅米奇 （ 英? ： Thomas John l'Anson Bromwich ） 的“无???”而不要陷入?散??的陷?。……我告?他，在我的理?中一?无??列 ${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}}$。如果我告????，?肯定??我?精神病收容院。我向???此事只是使?相信，如果我暗示我只在一封信中所?的行?，?不可能?出我?明的方法。」 ^[2]

注? [ ?? ]

引用 [ ?? ]

延伸?? [ ?? ]

• Lepowsky, James. Vertex operator algebras and the zeta function . Contemporary Mathematics. 1999, 248 : 327?340 [ 2008-12-13 ] . （ 原始?容 存?于2018-12-01）.  
• Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. Princeton UP. 2003. ISBN 0-691-01019-6 .   See pp. 65?6 on the Casimir effect.
• Zwiebach, Barton. A First Course in String Theory. Cambridge UP. 2004. ISBN 0-521-83143-1 .   See p. 293.

外部?接 [ ?? ]

• ??物理每周??（124周） （ ?面存??? ，存于 互???案? ）， （126周） （ ?面存??? ，存于 互???案? ）， （147周） （ ?面存??? ，存于 互???案? ）
• ?拉? 1 + 2 + 3 + · · · = ? ¹ ? ₁₂ 的?明
• 所有自然?的和等于?十二分之一?? （ ?面存??? ，存于 互???案? ）

? ? ? 序列 與 級數 算術序列 ?散?? 1 + 1 + 1 + 1 + …  · 1 + 2 + 3 + 4 + …  · 无?算??? 幾何序列 收斂級數 1/2 ? 1/4 + 1/8 ? 1/16 + …  · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …  · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … ?散?何?? 1 + 1 + 1 + 1 + …  · 1 + 2 + 4 + 8 + …  · 1 ? 2 + 4 ? 8 + …  · 1 ? 1 + 1 ? 1 + …  · 2的?  · 10的? 超幾何級數 ??超?何函?  · 矩陣參數的超幾何函數 （ 英? ： Hypergeometric function of a matrix argument ）  · 超幾何級數  · ?圓超幾何級數 （ 英? ： Elliptic hypergeometric series ）  · 黎曼微分方程 （ 英? ： Riemann's differential equation ） 整數序列 整數數列列表  · 階乘  · 斐波那契數列  · 等諧數列  · 三角形數  · 立方數  · 平方?  · 多邊形數  · 五邊形數  · 六邊形數  · 七邊形數  · 八邊形數  · ??斯? 其他序列 ?散?? 1 ? 2 + 3 ? 4 + …  · 1 ? 1 + 2 ? 6 + 24 ? 120 + ?