超?圓 （英語： superellipse ）也稱? 拉梅曲線 （ Lame curve ），是在 笛??坐?系 下滿足以下方程式的點的集合：

${\displaystyle |{\frac {x}{a}}|^{n}\!+|{\frac {y}{b}}|^{n}\!=1}$

其中 n 、 a 及 b ?正數。

上述方程式的解會是一個在− a ≤ x  ≤ + a 及− b  ≤  y  ≤ + b 長方形 內的封閉曲線，參數 a 及 b 稱?曲線的 半直徑 （ semi-diameters ）。

n 在0和1之間時，超?圓的圖形類似一個曲線的四角星，四邊的曲線往內凹。

n ?1時，超?圓的圖形?一 菱形 ，四個頂點?（± a , 0）及（0, ± b ）。 n 在1和2之間時，超?圓的圖形類似 菱形 ，四個頂點位置相同，但四邊是往外 凸 的曲線，越接近頂點，曲線的 曲率 越大，頂點的曲率趨近無限大。

n ?2時，超?圓的圖形?? ?圓 （若 a  =  b 時則?一個 圓形 ）。當 n 大於2時，超?圓的圖形看似四角有 圓角 （ 英? ： Chamfer ） 的 長方形 ，曲線的曲率在（± a , 0）及（0, ± b ）四點?0。 n ?4的超?圓也稱? 方圓形 。

n  < 2的超?圓也稱? 次?? （ hypoellipse ）， n  > 2的超?圓則稱? 過?? （ hyperellipse ）。

當 n  ≥ 1，且 a  =  b =1時的超?圓是二維 L ^p 空? 下的單位圓， n ??其p-範數。

超?圓的極點?（± a , 0）及（0, ± b ），而其四個「角」?（± sa, ±sb ），其中 ${\displaystyle s=2^{-{\frac {1}{n}}}}$。

數學性質 [ ?? ]

當 n ?一個非零的有理數 p / q （最簡分數形式），則超?圓?一平面 代數曲線 。若 n ?正數，其曲線次數? pq ，若 n ?負數，其曲線次數?2 pq 。若 a 和 b 均?1且 n ?偶數，則此超?圓?一 n 次的 費馬曲線 （ 英? ： Fermat curve ） ，此時超?圓沒有奇點，但一般而言超?圓中會有有奇點。

超?圓的 參數方程 如下：

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}}$

或

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta }|^{\frac {2}{n}}\times a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin }\theta |^{\frac {2}{n}}\times b\operatorname {sgn}(\sin \theta )\end{aligned}}}$

超?圓內的面積可以用 Γ函? Γ( x )來表示：

${\displaystyle \ S}$ = ${\displaystyle \Gamma (x)=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.}$

其 垂足曲線 較容易計算，而以下曲線的垂足曲線

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{n}\!+\left({\frac {y}{b}}\right)^{n}\!=1}$

可以用極坐標方式來表示 ^[1] ：

${\displaystyle (a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.}$

延伸 [ ?? ]

超?圓可以延伸?以下的形式：

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0.}$

或

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}}$

其中的 ${\displaystyle \theta }$不是 表示角度，只是方程式的一個參數。

歷史 [ ?? ]

超?圓在笛?兒坐標系下的表示式是由1795年出生的法國數學家 加布里埃爾·拉梅 ，由?圓的方程式擴展而得。

字體設計師 赫爾曼·察普夫 在1952年設計的 Melior （ 英? ： Melior ） 字體 ，利用超?圓作?字母 o 的外形。三十年後 高德納 設法選擇了介於?圓及超?圓之間的曲線（兩者都用 ??函? 近似），作?他的 Computer Modern 字體。

1959年時瑞典 斯德哥?摩 提出了其市中心 賽格爾廣場 圓環 的設計競賽。丹麥詩人 皮亞特·海恩 (1905?1996)的設計以是一個 n = 2.5， a / b = 6/5的超?圓?基礎 ^[2] 。他的說明如下：

人是唯一一種會?線然後將自己絆倒的動物。整個文明的推進有二個不同的取向：一種以直線及長方形?主，?一種則圓弧線?主。二種取向都有其機構上及心理上的原因。直線的事物可以放在一起，節省空間。而圓的東西?簡單，容易移動。但我們常常會陷入要在二者中選擇一個的困境，此時往往是介於二者中間的事物會更合適。隨意繪製的作品－例如以往在斯德哥?摩出現過的圓環－無法達到這一點。?不是一個固定的形狀，也不像圓或方形有明確的定義，在美感上有所不足。超?圓解決了這一個問題，?介於圓和長方形之間，?不是圓也不是長方形。?是一個有固定形狀、有明確定義的一個整體。

賽格爾廣場在1967年完成，而皮亞特·海恩繼續在其他的藝術品中使用超?圓，包括牀、?子、?子等 ^[3] 。皮亞特·海恩將超?圓以長軸?軸心旋轉，形成了一個立體的 超級蛋 （ 英? ： superegg ） ，其特點是可以平面上直立，不會倒下，因此變成一個特別的玩具。

1968年在巴黎在? 越戰 談判時，談判者不滿意談判?的外形，Balinski、Kieron Underwood及Holt在一封寄給 紐約時報 的信件中建議以超?圓作?談判?的外形 ^[2] 。1968年由 墨西哥城 主辦奧運時，也以超?圓? 阿?特克體育場 的外形。

沃?多·托布勒 在1973年提出了 托布勒超?圓投影 （ 英? ： Tobler hyperelliptical projection ） ^[4] ，其中的 經線 就是用超?圓來表示。

美式足球 球隊 匹?堡?人 的標誌是三個相連的超?圓。

相關條目 [ ?? ]

• 星形? ， n  = 2/3，且 a  =  b 的超?圓，是四尖瓣的 內擺線 。
  • 三尖瓣線 （ 英? ： Deltoid curve ） ，是三尖瓣的內擺線。
• 方圓形 ， n  = 4，且 a  =  b 的超?圓，看起來像是「正方形的輪子」。
  • 勒洛三角形 ，看起來像是「三角形的輪子」。
• 超公式 （ 英? ： Superformula ） ，超?圓的延伸。
• 超二次曲面 （ 英? ： Superquadrics ） ，三維下的超?圓。
• 超?圓曲線 （ 英? ： Superelliptic curve ） ，方程? Y ⁿ = f ( X )的曲線。

參考資料 [ ?? ]