??

數論（英語： Number theory ）是 ?粹?? 的分支之一，主要?究整? 的性質，被稱?「最純」的數學領域。

數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。 ^[1]^{[註 1]}
?? ??·弗里德里希·高斯

?介 [ ?? ]

正整?按乘法性??分，可以分成質? ，合? ， 1 ，質??生了?多一般人能理解?又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想， ?生質數猜想等。?，?多問題?然形式上十分初等，事?上却要用到?多?深的??知?。?一?域的?究?某?意?上推?了??的?展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了?究整數及質數外，也?究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。

整?可以是方程式的解（ ?番圖方程）。有些解析函數（像黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係，?且用有理數來逼近實數（ ?番圖逼近）。

?史 [ ?? ]

古代 [ ?? ]

數論早期也稱? 算術 ^{[註 2]}，而算術一詞則表示「基本運算」 ^{[註 3]}^[3]，在?代???生前，早期??有三大?容：

??里得 ?明 ?? 无?多。
?? ?? 的埃拉托斯特尼?法；??里得求最大公??的 ??相除法。
公元420至589年（中?南北朝?期）的 ?子定理。

中世? [ ?? ]

在中世紀早期，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的??家斐波那契有關等差?列的?究外，西? 在數論上沒有什?進展。

中世???主要是指15-16世?由 ?? 、梅森、 ?拉、高斯、勒?德、黎曼、希?伯特等人?展的??。最早是在文藝復興的末期，對於古希臘著作的重新?究。主要的成因是因? ?番圖的《算術》（Arithmetica）一書的校正及?譯? 拉丁文，早在1575年Xylander曾試圖?譯，但不成功，後來才由Bachet在1621年?譯完成。

近代 [ ?? ]

費馬 [ ?? ]

皮埃爾·德·費馬（1601?1665）沒有著作出版，他在數論上的貢獻幾乎都在他寫給其他數學家的信上，以及書旁的空白處 ^[4]。費馬的貢獻幾乎沒有數論上的證明 ^[5]，不過費馬重覆的使用數學歸納法，?引入无??降法。

費馬最早的興趣是在完全數及相?? ，因此開始?究整數因數，這也開始1636年之後的數學?究，也接觸到當時的數學社群 ^[6]。他已在1643年?讀過巴歇（英? ： Claude Gaspard Bachet de Meziriac ）版本的?番圖著作，他的興趣開始轉向 ?番圖方程和平方數的和 ^[7]。

費馬在數論上的貢獻有：

費馬小定理 (1640) ^[8]，若 $a$ 不是質數 $p$ 的倍數，則 $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$
若 $a$ 和 $b$ 互質，則 $a^{2}+b^{2}$ 無法被任何除4後同餘-1的質數整除 ^[9]，而且每個除4後同餘1的質數都可以表示? $a^{2}+b^{2}$ . ^[10]，這二個是在1640年證明的，在1649年他在寫給惠更斯的信上提到他用无??降法證明的第二個問題 ^[11]，費馬和福蘭尼可（英? ： Frenicle ）在其他平方形式上也有一些貢獻，不過其中有些錯誤及不嚴謹之處 ^[12]。
向英國的數學家提出了求解 $x^{2}-Ny^{2}=1$ 的挑戰（1657年），但在幾個月後就由Wallis及Brouncker證明 ^[13]。費馬認?他們的證明有效，但用了一個在其中未經證明的演算法，費馬自己是由无??降法?到證明。
發展許多? ?格 0或1曲線上點的方法，作法類似?番圖，有許多特殊的步驟，使用了切線法構建曲線，而不是用割線法 ^[14]。
證明 $x^{4}+y^{4}=z^{4}$ 不存在非尋常的正整數解。

費馬在1637年聲稱（費馬最後定理）證明了對於大於2的任意整數 $n$ ，不存在 $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ 的非尋常的正整數解（目前已知唯一的?明是由數學家安德魯·懷爾斯及其學生理?·泰勒于1994年完成的證明），但只在一本?番圖著作的旁邊寫到，而且他沒有向別人宣稱他已有了證明 ^[15]。

歐拉 [ ?? ]

歐拉 (1707?1783)對數論的興趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引發，讓他開始專注在費馬的一些?究上 ^[16]^[17]，在費馬沒有使當代的數學家注意此一主題後，歐拉的出現稱?「現代數論的重生」 ^[18]。歐拉數論的貢獻包括以下幾項 ^[19]：

費馬?究的證明，包括費馬小定理（歐拉延伸到非質數的模數），以及 $p=x^{2}+y^{2}$ 若且唯若 $p\equiv 1\;mod\;4$ ，這項?究可推導到所有整數都可以表示?四個平方數的證明（第一個完整證明是由約瑟夫·拉格朗日提出，費馬?快的也提出證明），和 $x^{4}+y^{4}=z^{2}$ 沒有非零整數解的證明，表示? 費馬最後定理 $n=4$ 時成立，歐拉用類似方式證明了 $n=3$ 的情形。
佩爾方程，最早誤以?是歐拉證明 ^[20]，歐拉也寫了連分數和佩爾方程的關係 ^[21]。
二次式 ，繼費馬之後，歐拉繼續?究?些質數可以表示? $x^{2}+Ny^{2}$ ，其中有些顯示二次互反律的性質 ^[22] ^[23]^[24]。
?番圖方程：歐拉 ?究一些虧格 ?0或1的 ?番圖方程 ^[25]^[26]，特別的是他?讀?番圖的著作，試圖要?到系統化的方法，但時機?不成熟，幾何數論才剛形成而已 ^[27]。歐拉有注意到?番圖方程和 ???分之間的關係 ^[27]。

分支 [ ?? ]

初等數論: 意指使用不超過高中程度的初等代數處理的數論問題，最主要的工具包括整數的整除性與同餘。重要的結論包括中國餘數定理、費馬小定理、二次互反律等等。

解析數論: 借助微積分及複分析的技術來?究關於整數的問題 ^[28]，主要又可以分? 積性數論（英? ： Multiplicative number theory ）與加性數論兩類。積性數論藉由?究積性生成函數的性質來探討質數分佈的問題，其中質數定理與狄利克雷定理 ?這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是?究整數的加法分解之可能性與表示的問題，華林問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法、圓法等等都是屬於這個範疇的重要議題。
代數數論: 引申代數數的話題，關於代數整數的?究，主要的?究目標是?了更一般地解決不定方程的問題，而?了達到此目的，這個領域與代數幾何之間有相當關聯，比如類域論（class field theory）就是此間的?峰之作。
算術代?幾何: ?究有理係數多變數方程組的有理點，其結構（主要是個數）和該方程組對應的代數簇的幾何性質之間的關係，有名的費馬最後定理、莫德爾猜想（法爾廷斯定理）、 Weil猜想（英? ： Weil conjectures ），和千禧年大?難題中的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想都屬此類。
幾何??: 主要在於透過幾何觀點?究整數（在此?格子點）的分佈情形。最著名的定理? ?可夫斯基定理。
計算??: 借助電腦的算法 ?助數論的問題，例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。
超越??: ?究數的超越性，其中對於歐拉常數與特定的黎曼ζ函數 ?之?究尤其令人感到興趣。
組合??: 利用組合和機率的技巧，非構造性地證明某些無法用初等方式處理的複雜結論。這是由保?·埃?德什開創的思路。
模形式: 數學上一個滿足一些泛函方程與增長條件、在上半平面上的（複）解析函數。

應用 [ ?? ]

注? [ ?? ]

^ 德?原文“Die Mathematik ist die Konigin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Konigin der Mathematik.”
^ 1952年時數學家哈?德·?文波特（英? ： Harold Davenport ）仍用「高等算術」一詞來表示數論，戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改?《算術介紹》，某方面而言是更合適的書名，但也容易讓讀者誤會其中的內容」 ^[2]
^ 不過在20世紀的後半，有部?數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。到20世紀初，才開始使用數論的名稱

參考資料 [ ?? ]

^ The Queen of Mathematics . [ 2014-09-30 ] . （原始?容存? 于2014-10-06）.
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^ Weil 1984 ，第118頁，數論比其他數學領域容易出現這?的情形（說明在 Mahoney 1994 ，第284頁）
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^ Tannery & Henry 1891 ，Vol. II, p. 204, cited in Weil 1984 ，第63頁
^ Tannery & Henry 1891 ，Vol. II, p. 213.
^ Tannery & Henry 1891 ，Vol. II, p. 423.
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^ Varadarajan 2006 ，第44?47頁.
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^ Edwards 1983 ，第285?291頁.
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^ ^27.0 ^27.1 Weil 1984 ，第181頁.
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參考書目 [ ?? ]

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外部連結 [ ?? ]

（英文） Number Theory Web （ ?面存??? ，存于互???案? ）

[2] 德?原文“Die Mathematik ist die Konigin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Konigin der Mathematik.”

[4] 1952年時數學家哈?德·?文波特（英? ： Harold Davenport ）仍用「高等算術」一詞來表示數論，戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改?《算術介紹》，某方面而言是更合適的書名，但也容易讓讀者誤會其中的內容」 ^[2]

[5] 不過在20世紀的後半，有部?數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。到20世紀初，才開始使用數論的名稱

[1] The Queen of Mathematics . [ 2014-09-30 ] . （原始?容存? 于2014-10-06）.

[3] Apostol, Tom M. An introduction to the theory of numbers . (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. n.d. [ 2013-05-06 ] . （原始?容存? 于2012-07-31）.

[6] Heath, Thomas L. A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid . Oxford: Clarendon Press. 1921 [ 2016-02-28 ] .

[FOOTNOTEWeil198445–46-7] Weil 1984 ，第45?46頁.

[8] Weil 1984 ，第118頁，數論比其他數學領域容易出現這?的情形（說明在 Mahoney 1994 ，第284頁）

[9] Mahoney 1994 ，第48, 53?54頁

[FOOTNOTEWeil198453-10] Weil 1984 ，第53頁.

[11] Tannery & Henry 1891 ，Vol. II, p. 209, Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640, cited in Weil 1984 ，第56頁

[12] Tannery & Henry 1891 ，Vol. II, p. 204, cited in Weil 1984 ，第63頁

[FOOTNOTETanneryHenry1891Vol._II,_p._213-13] Tannery & Henry 1891 ，Vol. II, p. 213.

[FOOTNOTETanneryHenry1891Vol._II,_p._423-14] Tannery & Henry 1891 ，Vol. II, p. 423.

[FOOTNOTEWeil198480,_91–92-15] Weil 1984 ，第80, 91?92頁.

[FOOTNOTEWeil198492-16] Weil 1984 ，第92頁.

[FOOTNOTEWeil1984Ch._II,_sect._XV_and_XVI-17] Weil 1984 ，Ch. II, sect. XV and XVI.

[FOOTNOTEWeil1984104-18] Weil 1984 ，第104頁.

[FOOTNOTEWeil19842,_172-19] Weil 1984 ，第2, 172頁.

[FOOTNOTEVaradarajan20069-20] Varadarajan 2006 ，第9頁.

[21] Weil 1984 ，第2頁 and Varadarajan 2006 ，第37頁

[22] Varadarajan 2006 ，第39頁 and Weil 1984 ，第176?189頁

[Eulpell-23] Weil 1984 ，第174頁

[FOOTNOTEWeil1984183-24] Weil 1984 ，第183頁.

[FOOTNOTEVaradarajan200644–47-25] Varadarajan 2006 ，第44?47頁.

[FOOTNOTEWeil1984177–179-26] Weil 1984 ，第177?179頁.

[FOOTNOTEEdwards1983285–291-27] Edwards 1983 ，第285?291頁.

[FOOTNOTEVaradarajan200655–56-28] Varadarajan 2006 ，第55?56頁.

[FOOTNOTEWeil1984179–181-29] Weil 1984 ，第179?181頁.

[FOOTNOTEWeil1984181-30] 27.0 ^27.1 Weil 1984 ，第181頁.

[31] Apostol, Tom M. , Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag , 1976, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929 , Zbl 0335.10001

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