四角柱

四種四角柱
類別	柱體
對偶多面體	雙四角錐
數學表示法
考克斯特符號 （ 英? ： Coxeter-Dynkin diagram ）
施萊夫利符號	t{2,4} {4}×{}
威佐夫符號 （ 英? ： Wythoff symbol ）	2 4 | 2
康威表示法	P4
性質
面	6
邊	12
頂點	8
歐拉特徵數	F=6, E=12, V=8 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	4個 矩形 側面 2個 四邊形 底面
頂點圖	4.4.4
特性
凸
? ? ?

在 幾何學 中， 四角柱 又稱 四?柱 ^[1] 是指底面? 四邊形 的柱體，當底面? 正方形 時會成? 立方體 。所有四角柱都有6個面8個頂點和12個邊。 對偶多面體 是 雙四角錐 。

只要底面是四邊形皆稱?四角柱

性質 [ ?? ]

體積與表面積 [ ?? ]

底面?任意四邊形的四角柱的體積可以利用底面積乘以高來計算，若底面?凸四邊形則可以透過底面的兩個對角線向量與兩個底面對角線交點向量的三階 行列式 ?對?來計算： ^{[2] [3]}

V _凸四角柱 = ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left|{\begin{vmatrix}x_{{}_{AC}}&y_{{}_{AC}}&z_{{}_{AC}}\\x_{{}_{BD}}&y_{{}_{BD}}&z_{{}_{BD}}\\x_{{}_{PQ}}&y_{{}_{PQ}}&z_{{}_{PQ}}\end{vmatrix}}\right|}$

其中ABCD?底面四邊形，AC、BD?凸四角柱底面四邊形的兩條對角線，對角線AC向量? ${\displaystyle (x_{{}_{AC}},y_{{}_{AC}},z_{{}_{AC}})}$、對角線BD向量? ${\displaystyle (x_{{}_{BD}},y_{{}_{BD}},z_{{}_{BD}})}$，P?下底對角線交點、Q上底對角線交點，PQ?柱高， ${\displaystyle (x_{{}_{PQ}},y_{{}_{PQ}},z_{{}_{PQ}})}$表示PQ向量

亦可寫? 向量積 與 數量積 的形式：

V _凸四角柱 = ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left|{\overrightarrow {PQ}}\cdot ({\overrightarrow {AC}}\times {\overrightarrow {BD}})\right|}$

此種計算方法源自於底面積乘以高，而任意凸四角柱的底面一定是凸四邊形，因此會適用於任意凸四邊形的面積公式，可由對角線長與對角線夾角計算 ^{[4] [5]}

A _底面積 ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\overline {AC}}\,{\overline {BD}}\sin(\angle APB),}$

而此公式就直接對應到底面對角線向量的外積： ^{[6] [7]}

${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}\times {\overrightarrow {BD}}=\left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|\left\|{\overrightarrow {BD}}\right\|\sin(\angle APB)\ \mathbf {n} }$

其中n?單位向量，但由於最後結果取?對?所以被省略。

因此其表面積也可以利用此法計算，?底面積的兩倍加上周長乘高：

A _凸四角柱 = ${\displaystyle \left|{\overrightarrow {AC}}\times {\overrightarrow {BD}}\right|+(\left|{\overline {AB}}\right|+\left|{\overline {BC}}\right|+\left|{\overline {CD}}\right|+\left|{\overline {DA}}\right|)\cdot \mathbf {h} }$

作?截角四面形 [ ?? ]

四面形是一種退化的 四面體 ，在 球面幾何學 中，四面形可以在 球面 上以 ?嵌 的方式存在，表示四個?嵌在球體上的 球弓形 （ 英? ： Spherical lune ） ， 施萊夫利符號 中利用{2,4}來表示，然而四角柱可藉由切去四面形的兩個頂點?生上下兩個四邊形面，原本的二角形因?多了切去四面形的兩個頂點所形成的兩條邊而變成側面正方形。

也因此，四角柱在施萊夫利符號中也可以寫?t{2,4}，表示 截角 的四面形。

四面形

截角四面形

常見的四角柱 [ ?? ]

正四角柱 [ ?? ]

正四角柱代表底面?正方形的四角柱，其對偶?正雙四角錐。若側面不是正方形也稱?長方體，因?可以使用其中一個側面當作底面。側面也是正方形的正四角柱是 正立方體 ，其具有 正八面體對稱性 （ 英? ： Octahedral symmetry ） ，對應的 考克斯特群 是BC ₃ 對稱性，由於底面和側面全等，因此每個頂點都是三個正方形（一個底面正方形和兩個側面正方形）的公共頂點， 施萊夫利符號 {4,3} ^[8] ，其頂點圖?正三角形，頂點布局?3 ³ （三個正方形，一個底面和兩個側面），在 考克斯特-迪肯符號 （ 英? ： Coxeter-Dynkin digram ） 中以 表示，由於側面是正方形的正四角柱是正多面體，因此其對偶多面體也會是正多面體，?正八面體，也就是一個所有面都全等的正雙四角錐。

正四角柱

依照底面和側面的特性有不同的對稱性，對稱性最高的是底面和側面都是正方形的正四角柱，其次是側面不是正方形的正四角柱，長寬高都不等長的長方體的對稱性最低。

名稱	立方體	正四角柱	長方體
考克斯特記號 （ 英? ： Coxeter-Dynkin diagram ）
施?夫利符號	{4,3}	{4}×{}	{}×{}×{}
威佐夫記號 （ 英? ： Wythoff symbol ）	3 | 4 2	4 2 | 2	2 2 2 |
對稱性 （ 英? ： List of spherical symmetry groups ）	O h (*432)	D 4h (*422)	D 2h (*222)
對稱群階數	24	16	8
圖像	(111)	(112)	(123)

長方體 [ ?? ]

長方形的柱體稱? 長方體 ^[9] 。其具有 D _2h , [2,2], (*222)的對稱性，階數?8，其在 施萊夫利符號 中用{ } × { } × { }表示，其 頂點圖 ?三角形，在 考克斯特-迪肯符號 （ 英? ： Coxeter-Dynkin digram ） 中以 表示，其對偶多面體?雙長方錐，及兩個底面?長方體的四角錐被堆被堆疊所形成的立體。

若一個長方體的底面任一邊長與與高相等，則這個長方體會有兩個正方形側面，因此也可以視?正四角柱，此時每個頂點都是2個長方形和一個正方形的公共頂點，具有點可遞的性質， 頂點圖 ?等腰三角形，等腰三角形兩個腰長來自長方形對角線，等腰三角形的底邊來自正方形面，這種長方體在 施萊夫利符號 中可表示?{4}x{}、?具有比上述?一種長方體擁有更高的D _4h , [4,2], (*422)對稱性，階數?12。

其展開圖的數量依邊長的差異性有所不同。底面邊長不同且高也?底面邊長不同的長方體共有54種不同的展開圖 ^[10] 。

四角柱

矩形柱的展開圖

梯形柱 [ ?? ]

底面是 梯形 的四角柱稱?梯形柱。

梯形柱

梯形柱

梯形柱展開圖

梯形柱的體積可以藉由LH(A + B)/2來計算，其中A是底面梯形的上底、B是底面梯形的下底、L是底面梯形的高、H是柱體的高 ^[11] 。

非凸四角柱 [ ?? ]

非凸四角柱是指底面?非凸四邊形的四角柱。

凹四角柱是指有一個角大於180度的四角柱，通常凹四角柱都是因?底面有凹四邊形才會構成。

二複合二角形柱體 兩個四邊形二面體組成的複合體 在施萊夫利符號中計?{4/2}x{} 但是其已退化，不具有體積

凹?形柱 底面?凹?形的柱體

斜四角柱 [ ?? ]

斜四角柱是一種底面?四邊形但是側面與底面不成直角的柱體 ^[12] 。最常見的斜四角柱是平行六面體，一種底面?平行四邊形的斜四角柱。

斜平行四邊形柱體 又稱 平行六面體

相關多面體與?嵌 [ ?? ]

四角柱可以看作是一種截角四面形，其他與四面形相關的圖形有：

半正方形二面體球面多面體

對稱群 （ 英? ： List of spherical symmetry groups ） ： [4,2] , (*422)							[4,2] + , (422)	[1 + ,4,2], (222)	[4,2 + ], (2*2)
{4,2}	t{4,2}	r{4,2}	2t{4,2}=t{2,4}	2r{4,2}={2,4}	rr{4,2}	tr{4,2}	sr{4,2}	h{4,2}	s{2,4}
半正對偶
V4 2	V8 2	V4 2	V4.4.4	V2 4	V4.4.4	V4.4.8	V3.3.3.4	V2 2	V3.3.2.3

四角柱是一個底面邊數?四的柱體，底面邊數不同的柱體有：

正多邊形柱體系列

對稱群 （ 英? ： List of spherical symmetry groups ）	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
[2n,2] [n,2] [2n,2 + ]
圖像
球面多面體
圖像

柱體形式半正?嵌系列：

球面?嵌		柱體							歐式?嵌 ?緊空間	雙曲?嵌 非緊空間
t{2,1}	t{2,2}	t{3,2}	{4,2}	t{5,2}	t{6,2}	t{7,2}	t{8,2}	...	t{2,∞}	t{2,iπ/λ}

立方體堆疊 [ ?? ]

立方體堆疊?立方體上下堆疊無限延伸的立體圖形，可以看做是無限延伸的正四角柱，也就是其柱高?無窮的四角柱。沿著這種幾何結構可以構造出一種 ?歪無限邊形 ，環繞著無限堆疊的正方體而構成一個四角螺旋無限邊形，其?曲角?90度，兩條邊之間的夾角?120度，在 施萊夫利符號 中以{∞}#{4}表示。

其也可以看作是 立方體堆? 的一部?。

參見 [ ?? ]

• 六面體

參考文獻 [ ?? ]

1. ^ 楊波. 四?柱側?上四點共面的一個充要條件. MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS (陝西省城固師范學校). 2003, 10 . doi:10.3969/j.issn.1002-7572.2003.10.024 .   使用 |accessdate= 需要含有 |url= ( ?助 )
2. ^ 李汶忠. 四?柱??的解析求法. 中央民族大???: 自然科?版. 1997, (1): 39-41.   使用 |accessdate= 需要含有 |url= ( ?助 )
3. ^ 李汶忠. 四?形面?和四?柱, ???的解析求法. ??通?. 1985, 6 : 12.   使用 |accessdate= 需要含有 |url= ( ?助 )
4. ^ Harries, J. "Area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 86, July 2002, 310?311.
5. ^ Josefsson, Martin, Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles (PDF) , Forum Geometricorum, 2013, 13 : 17?21 [ 2016-08-24 ] , （ 原始?容 (PDF) 存?于2016-03-04）   .
6. ^ Wilson, Edwin Bidwell. Vector Analysis: A text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs . Yale University Press . 1901.   p. 60?61
7. ^ Dennis G. Zill; Michael R. Cullen. Definition 7.4: Cross product of two vectors. Advanced engineering mathematics 3rd. Jones & Bartlett Learning. 2006: 324. ISBN  0-7637-4591-X .  
8. ^ Weisstein, Eric W. (?). Cube . at MathWorld --A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英?） .  
9. ^ Robertson, Stewart Alexander, Polytopes and Symmetry, Cambridge University Press: 75, 1984, ISBN  978-0-521-27739-6  
10. ^ nets of a cuboid . donsteward. 2013-05-24 [ 2016-08-23 ] . （原始?容 存? 于2016-03-04）.  
11. ^ TR Smith. Volume of a Trapezoidal Prism: Formula and Examples . Owlcation. 2016-02-08 [ 2016-08-23 ] . （ 原始?容 存?于2016-08-26）.  
12. ^ どちらも四角柱です . morinogakko. [ 2016-08-24 ] . （原始?容 存? 于2016-08-27）.  

? ? ? 錐體 與 柱體 錐體 三角錐 正三角錐 四角錐 五角錐 六角錐 七角錐 八角錐 九角錐 十角錐 十一角錐 十二角錐 ... 無限角錐 雙錐體 雙三角錐 雙四角錐 雙五角錐 雙六角錐 雙七角錐 雙八角錐 雙九角錐 雙十角錐 ... 雙無限角錐 柱體 三角柱 四角柱 五角柱 六角柱 七角柱 八角柱 九角柱 十角柱 十一角柱 十二角柱 ... 無限角柱 （ 雙曲 ） 反柱體 三角反柱 四角反柱 五角反柱 六角反柱 七角反柱 八角反柱 ... 無限角反柱 錐台 三角錐台 四角錐台 五角錐台 六角錐台 ... 雙錐台 雙三角錐台 雙四角錐台 雙五角錐台 雙六角錐台 ... 錐柱體 三角錐柱 四角錐柱 五角錐柱 六角錐柱 七角錐柱 八角錐柱 ... 無限角錐柱 雙錐柱體 雙三角錐柱 雙四角錐柱 雙五角錐柱 雙六角錐柱 雙七角錐柱 雙八角錐柱 ... 雙無限角錐柱 角錐反柱 三角錐反柱 四角錐反柱 五角錐反柱 六角錐反柱 ... 雙錐反柱 雙三角錐反柱 雙四角錐反柱 雙五角錐反柱 雙六角錐反柱 ... 其他 圓錐 圓柱 雙圓錐 圓錐柱