在數學中， 幾何平均數 是一種 均? ，?通過使用?們的?的乘積（ 算術平均數 使用"和"）來指示一組數字的集中趨勢或典型?。幾何平均數定義?第 ${\displaystyle n}$根個數的 乘積 的第 ${\displaystyle n}$個根，?對於一組數字 ${\displaystyle x_{1},x_{2},......x_{n}}$, 幾何平均數定義?：

任意兩數例如2和8的幾何平均數，就是?們乘積的 平方根 ，? ${\displaystyle {\sqrt {2\cdot 8}}=4}$。同樣，任意三數 4, 1, 和 ${\displaystyle {\frac {1}{32}}}$的幾何平均數是?們乘積的 立方根 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot {\frac {1}{32}}}}={\frac {1}{2}}}$，以此類推。

當每個項目具有多個具有不同數?範圍的屬性時， 幾何平均數 經常使用在比較不同項目，?這些項目?到單個 品質因子 。 ^[3] 例如，幾何平均數可以給出有意義的“平均數”以比較兩家公司的環境可持續性評分?0到5，?且其財務可行性評級?0到100。如果使用算術平均數而不是幾何平均數，則財務可行性給予更多權重，因?其數?範圍更大 - 因此財務評級的一小部分變化（例如從80變?90）會?生更大的差異。算術平均數比環境可持續性的大比例變化（例如從2到5）。使用幾何平均數“歸一化”被平均的範圍，使得沒有範圍支配加權，?且任何屬性中的給定百分比變化對幾何平均數具有相同的影響。因此，沒有範圍控制加權, 和給定的百分比變化的任何屬性對幾何平均數有相同的影響。因此，從 4 到 4.8，20% 的環境可持續性變化對幾何平均數的影響與從 60 到 72 的財務可行性的 20% 變化有同樣的效果。

幾何平均數可以根據 幾何形狀 來理解。兩個數字 ${\displaystyle a}$和 ${\displaystyle b}$的幾何平均數是 正方形 一邊的長度，其面積等於以 ${\displaystyle a}$和 ${\displaystyle b}$?兩邊的 矩形 的面積。同樣，三個數字， ${\displaystyle a}$、 ${\displaystyle b}$和 ${\displaystyle c}$的幾何平均數是 立方體 一個邊的長度，其體積與以 ${\displaystyle a}$、 ${\displaystyle b}$和 ${\displaystyle c}$?邊的 長方體 的體積相同。

幾何平均數僅適用于 正數 。 ^[4] ?也經常用於一組數位，?們的?是用來相乘的，或者是指數性質的，例如關於 人口 增長的資料或金融投資的利率。

幾何平均數也是三個最經典的 畢達哥拉斯平均 的其中一個，與前面提到的 算術平均數 和 調和平均數 一起。對於包含至少一對不等數的所有正則資料集，調和平均數始終是三種方法中最小的，算術平均數始終是三中最大的，而幾何平均數始終介於兩者之間（參見 算幾不等式 ）。

計算 [ ?? ]

資料集的幾何平均數 ${\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$由下式給出：

上述的式使用 大寫 希臘字母 Π 來顯示一系列的乘法。 等號的每一側都顯示一組?是連續相乘的 (?的個數由" ${\displaystyle n}$"表示)，以提供該集合的 乘積 的總數, 然後將整個?品的 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$帶給幾何原集的平均數。例如，在一組四數位 ${\textstyle \{1,2,3,4\}}$ 中， ${\textstyle 1\times 2\times 3\times 4}$ 的乘積? $24$, 幾何平均數?24的第四根，或 ~ 2.213。 左邊的指數 ${\textstyle {\frac {1}{n}}}$等於 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$。 例如， ${\textstyle 24^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{24}}}$。

除非數集的所有數皆相等，否則數集的 幾何平均數 小於 數集的 算術平均數 資料集的，在這種情況下，幾何平均數和算術平均數的?是相等的。這允許定義 算術-幾何平均數 ，這兩者的交集總是介於兩者之間。

幾何平均數在某種意義上也代表說，如果 算術-調和平均數 定義了兩個 序列 ${\textstyle (a_{n})}$和 ${\textstyle (h_{n})}$則：

和 其中 $h_{n+1}$是兩個序列先前?的 調和平均數 ，則 $a_{n}$和 $h_{n}$將收斂到 $x$和 $y$的幾何平均數。

這可以?容易地看到一個事實，序列確實收斂到一個共同的極限，幾何平均數被保留，從 波爾?諾－魏爾斯特拉斯定理 可以?容易地看出這一點：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {a_{i}h_{i}}}&={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{\frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}a_{i}}}}}\\&={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{{\frac {1}{a_{i}}}+{\frac {1}{h_{i}}}}}}\\&={\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}\end{aligned}}}$

使用一對相反的有限指數 冪平均 對算術和調和均?進行替換，皆會?生相同的結果。

與對數的關係 [ ?? ]

幾何平均數也可以表示?對數算術平均數的指數。 ^[5] 通過使用 對數恒等式 來變換公式，乘法可以表示?總和，而冪可以表示?乘法:

當 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0}$，則

$${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\right]}$$

如果 ${\displaystyle \exists a_{j}<0}$，則

$${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(-1\right)^{m}\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left|a_{i}\right|\right]}$$

其中 ${\displaystyle m}$是負數的數量

這有時稱? "對數平均數" (不與 對數平均 混淆。 ?只是計算對數變換?的 算術平均數 ${\displaystyle a_{i}}$（?，算術平均對數標度），然後使用冪來計算返回到原來的規模，也就是說?是 準算術平均數 用 ${\displaystyle f(x)=\log x}$. 例如，2和8的幾何平均數可以如下計算，其中 ${\displaystyle b}$ 是 對數 的任何基數（通常?2 、 ${\displaystyle e}$或10）：

幾何平均數的對數形式通常是在電腦語言中實現的優選替代方案，因?計算多個數的乘積可能導致算術溢出或算術下溢。使用每個數的對數之和不太可能發生這種情況。

與算術平均數和均?保留展開式的關係 [ ?? ]

如果一組不同的數受到 均?保留展開式 的影響，兩個或更多的集合元素在算術平均數 不變 的情況下互相分散，那?幾何平均數會減小。 ^[6]

在?定時間內計算 [ ?? ]

在使用幾何平均數來確定某數量的平均增長率時，該數量的初始? ${\displaystyle a_{0}}$和最終? ${\displaystyle a_{n}}$的情況下, 如果已經知道了這個數，那?每一次測量增長率的乘積都不需要。反之，幾何平均數?：

${\displaystyle n}$是從初始狀態到最終狀態的次數。

如果?是 ${\displaystyle a_{0},\,\ldots ,\,a_{n}}$，然後測量之間的增長率 ${\displaystyle a_{k}}$ 和 ${\displaystyle a_{k+1}}$ 是 ${\displaystyle {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}}$。則這些增長率的幾何平均數只?：

屬性 [ ?? ]

基於幾何平均數的特性，可以證明是其他任意均??錯誤的：

${\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {\operatorname {GM} (X_{i})}{\operatorname {GM} (Y_{i})}}}$

這使得在平均歸一化時，作?參考?的比率顯示的結果，幾何平均數是唯一 正確 的平均數。 ^[7] 這是情況下介紹電腦性能關於參考電腦，或者當計算一個平均索引從幾個異類來源 (例如, 壽命、受?育年限和?兒死亡率)。在這種情況下, 使用算術或調和平均數將根據用作引用的內容更改結果的排序。例如，對電腦程式的執行時間進行以下比較:

	電腦 A	電腦 B	電腦 C
程式 1	1	10	20
程式 2	1000	100	20
算術平均數'	500.5	55	20
幾何平均數	31.622 . . .	31.622 . . .	20
調和平均數	1.998 . . .	18.182 . . .	20

算術和幾何平均數 "同意 " 電腦 C 是最快的。但是，通過提供適當的正常化?和使用算術平均數，我們可以顯示其他兩台電腦中的其中一個是最快的。由 A 的結果正常化根據算術平均數給 A 作?最快速的電腦：

	電腦 A	電腦 B	電腦 C
程式 1	1	10	20
程式 2	1	0.1	0.02
算術平均數	1	5.05	10.01
幾何平均數	1	1	0.632 . . .
調和平均數	1	0.198 . . .	0.039 . . .

當結果正常化時，根據 算術平均數 B ?最快的電腦，但是根據 調和平均數 A ?最快的電腦：

	電腦 A	電腦 B	電腦 C
程式 1	0.1	1	2
程式 2	10	1	0.2
算術平均數	5.05	1	1.1
幾何平均數	1	1	0.632
調和平均數	0.198 . . .	1	0.363 . . .

而根據結果，根據算術平均數 C 作?最快的電腦，但根據調和平均數 A 作?最快的電腦：

	電腦 A	電腦 B	電腦 C
程式 1	0.05	0.5	1
程式 2	50	5	1
算術平均數	25.025	2.75	1
幾何平均數	1.581 . . .	1.581 . . .	1
調和平均數	0.099 . . .	0.909 . . .	1

在所有情況下，幾何平均數給出的排名與使用非標準化數?所得的排名保持一致。

然而，這種推理一直受到質疑。 ^[8] 給出一致的結果?不總是?正確的結果。一般而言，?每個程式分配權重更?嚴格, 計算平均加權執行時間 (使用算術平均數)，然後將結果正常化到其中一台電腦。上面的三個表只是給每個程式帶來了不同的權重，解釋了算術和調和方法的不一致結果 (第一個表給兩個程式帶來同等的權重，第二個程式的權重? ${\displaystyle {\frac {1}{1000}}}$, 而第三個專案的權重? ${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$，第二個程式 ${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$到第一個。如果可能的話, 應避免使用幾何平均數來聚合性能編號，因?乘以執行時間不具有物理意義，與在算術平均數中添加時間相反。與時間成反比的度量 (加速， IPC ) 應使用調和平均數。

應用 [ ?? ]

比例增長 [ ?? ]

幾何平均數比 算術平均數 更適合用於 指數增長 (恒定的比例增長) 和變化的增長?；在商業中，幾何平均數的增長率被稱? 複合年均增長率 (CAGR)。隨著週期的增長，幾何平均數會?生相等的恒定增長率，從而得出相同的最終數量。

假設橙樹一年?100個橙子，接下來幾年?180個，210個和300個，因此每年的增長率分別?80％，16.6666％和42.8571％。使用 算術平均數 計算（線性）平均增長46.5079％（80％+ 16.6666％+ 42.8571％，該總和則 除以3 ）。 但是，如果我們從100個橙子開始?讓?每年增長46.5079％，結果是314個橙子，而不是300個，所以表示線性平均數“超過”去年增長。 反之，我們可以使用幾何平均數。增長80％對應於乘以1.80，因此我們採用1.80,1.166666和1.428571的幾何平均數，? ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249}$；因此每年的“平均”增長率?44.2249％。 如果我們從100個橙子開始，讓這個數字每年增長44.2249％，結果是300個橙子。

在社會科學中的應用 [ ?? ]

雖然幾何平均數在計算社會統計數據方面相對較少，但從2010年開始，聯合國人類發展指數確實轉向這種計算方式，理由是?更好地反映了編制和比較的統計數據的不可替代性： 幾何平均數降低了維度之間的可替代性水平，同時確保出生時預期壽命下降1％對人類發展指數的影響與?育或收入下降1％相同。因此，作?比較成就的基礎，這種方法也更加尊重維度的內在差異，而不是簡單的平均數。 ^[9]

?非所有用於計算 HDI （ 人類發展指數 ）的?都被標準化; 其中一些人有形式 ${\displaystyle {\frac {X-X_{\text{min}}}{X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}}}}$。這使得幾何平均數的選擇不如上面“屬性”部分所期望的那樣明顯。

長寬比 [ ?? ]

幾何平均數已用於選擇膠片和視頻中的折衷 長寬比 幾何平均數已用於選擇膠片和視頻中的折衷寬高比：給定兩個寬高比，?們的幾何平均數在?們之間提供折衷，在某種意義上同等地?曲或裁剪。 具體地，不同縱橫比的兩個相等面積矩形（具有相同的中心和平行邊）在長寬比?幾何平均數的矩形中相交，?且?們的殼體（包含?們兩者的最小矩形）同樣具有?們的幾何平均數的縱橫比。

在 電影電視工程師協會 選擇16：9寬高比時，平衡2.35和4：3，幾何平均數? ${\textstyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.7701}$， 因此 ${\textstyle 16:9=1.77{\overline {7}}}$... 被選中。這是由Kerns Powers憑經驗發現的，他們切割出具有相同面積的矩形?將?們塑造成與每種流行的縱橫比相匹配。當與?們的中心點對齊重疊時，他發現所有這些寬高比矩形都適合寬高比?1.77：1的外部矩形，?且?們全部也覆蓋了具有相同寬高比1.77：1的較小的共同內部矩形。 ^[10] 冪所發現的?正是極限縱橫比的幾何平均數4:3(1.33:1)和 CinemaScope (2.35:1)，恰好接近於 ${\textstyle 16:9}$ ( ${\textstyle 1.77{\overline {7}}:1}$)。中間比率對結果沒有影響，只有兩個極端比率

將相同的幾何平均技術應用於16：9和4：3大致得到14:9 ( ${\textstyle 1.55{\overline {5}}}$...)縱橫比，同樣用作這些比率之間的折衷。 ^[11] 在這種情況下14：9是完全 算術平均數 的 ${\textstyle 16:9}$ 和 ${\textstyle 4:3=12:9}$，因?14是16和12的平均數，而精確的 幾何平均數 是 ${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$ 但兩種不同的方法，算術平均數和幾何平均數，大致相等，因?兩個數字彼此足?接近（差異小於2％）。

防反射塗層 [ ?? ]

在光學塗層中，在折射率? ${\displaystyle n_{0}}$和 ${\displaystyle n_{2}}$的兩個介質之間需要最小化反射， ${\displaystyle n_{1}}$的 增透膜 的最佳折射率?幾何平均數： ${\displaystyle n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}}$。

光譜平坦度 [ ?? ]

在 訊號處理 中， 光譜平坦度 是一種測量平面或尖刺頻譜的方法，?被定義?功率譜的幾何平均數與算術平均數的比?。

幾何 [ ?? ]

在 直角三角形 的情況下，?的高度是從斜邊垂直延伸到其90° 頂點 的直線的長度。想像這條線把斜邊分成兩段，這些線段長度的幾何平均數就是高度的長度。

在 ?圓 中， 半短軸 是?圓從 焦點 的最大和最小距離的幾何平均數，?也是 半長軸 和 圓錐曲線 的幾何平均數。?圓的半長軸是從中心到焦點的距離的幾何平均數，以及從中心到準線的距離。

距離到球體的地平線是距離的幾何平均數到球的最接近的點和距離到球的最遠的點。

金融 [ ?? ]

幾何平均數一直被用來計算財務指標 (平均是在指數的組成部分)。例如，過去 FTOI 索引使用了幾何平均數。 ^[12] 在最近介紹的" RPIJ "中，英國和歐洲聯盟其他地區的通貨膨脹率也被使用。

與使用算術平均數相比，這對索引中的運動有低?作用。 ^[12]

圖像處理 [ ?? ]

在影像處理中，採用幾何均?濾波器作?雜訊濾波器。

?見 [ ?? ]

參考文獻 [ ?? ]

外部連結 [ ?? ]

• Calculation of the geometric mean of two numbers in comparison to the arithmetic solution （ ?面存??? ，存于 互???案? ）
• Arithmetic and geometric means （ ?面存??? ，存于 互???案? ）
• When to use the geometric mean （ ?面存??? ，存于 互???案? ）
• Practical solutions for calculating geometric mean with different kinds of data
• Geometric Mean on MathWorld （ ?面存??? ，存于 互???案? ）
• Geometric Meaning of the Geometric Mean （ ?面存??? ，存于 互???案? ）
• Geometric Mean Calculator for larger data sets （ ?面存??? ，存于 互???案? ）
• Computing Congressional apportionment using Geometric Mean Congressional apportionment （ ?面存??? ，存于 互???案? ）
• Geometric Mean Definition and Examples （ ?面存??? ，存于 互???案? ）
• Why you should summarize your data with the geometric mean （ ?面存??? ，存于 互???案? ） ? Medium article

? ? ? ??? 描述??? ???率 集中?? 平均? 平方 算術 幾何 調和 算?-?何 ?何-?和 希羅 ／ 平均?不等式 中位數 ?數 ?散程度 全距 ??系? 百分位數 四分位距 四分位? 標準差 方差 平均差 標準分數 切比雪夫不等式 基尼系? 分布形? （ 英? ： Shape of the distribution ） 中心?限定理 矩 偏態 峰態 ?散?率 次數 （ 英? ： Count data ） · 列聯表 （ 英? ： Contingency table ） 推論統計學 和 假說檢定 推論統計學 置信?? 區間?計 （ 英? ： Interval estimation ） ?著性差? 元分析 ??斯推? ???? ?? 抽樣 重抽? 刀切法 自助法 交叉驗證 重? （ 英? ： Replication (statistics) ） 阻碍 靈敏度和特異度 區集 （ 英? ： Blocking (statistics) ） 缺失?据 ?本量 （ 英? ： Sample size ） 標準誤 零假? ??假? 第一????第二??? ??功效 效?? 常??? ??斯推? 區間?計 （ 英? ： Interval estimation ） 最大似然?? 最小距離?計 （ 英? ： Minimum distance estimation ） 矩?? 最大?距 假??? Z檢驗 ?生t?? F檢定 ?方?? Wald檢定 （ 英? ： Wald test ） 曼-惠特尼檢定 （ 英? ： Mann?Whitney U test ） 秩和?? 生存分析 生存函? 乘積極限?計量 對數秩和檢定 失效率 危險比例模式 相關 及 ?歸分析 相?性 干擾因素 皮??積矩相關係數 等級相關 （ 英? ： Rank correlation ） ( 斯皮?曼等?相?系? 肯德等級相關係數 （ 英? ： Kendall tau rank correlation coefficient ） ) 自由度 ?差和?差 線性回歸 線性模型 （ 英? ： Linear model ） 一般?性模型 廣義線性模型 ???性回? 普通最小二乘法 ??斯回? （ 英? ： Bayesian linear regression ） 方差分析 ?方差分析 （ 英? ： Analysis of covariance ） 非?性回? 非??回?模型 （ 英? ： Nonparametric regression ） 半??回?模型 （ 英? ： Semiparametric regression ） 邏輯斯諦?歸 ???形 ?? ?形? ??? 箱形圖 管制圖 森林圖 （ 英? ： Forest plot ） 直方? 分位圖 ??? 散点? 莖葉圖 雷?? （ 英? ： Radar chart ） 示意地圖 其他 ???型 （ 維基數據所列 ： Q47103999 ） 回應過程效度 統計誤用 分? 主? 共享?源 ??