Ang
larong
Go
ay isa sa pinakapopular na laro sa buong
mundo
. Dahil sa kaniyang mga eleganteng at simpleng kautusan, ang laro ay matagal na inspirasyon para sa
matematikal
na
pananaliksik
. Nagtasa si
Shen Kuo
, isang Tsinong iskolar ng ika-11 na siglo, sa kaniyang
mga Sanaysay ng Lawa ng mga Panaginip
(
Tsinong pinapayak
:
?溪??
;
Tsinong tradisyonal
:
夢溪筆談
) na dami ng mga posibleng posisyon ng tabla ay mga 10
172
[
kailangan ng sanggunian
]
. Sa mas kamakailang mga taon, ang pananaliksik ng laro ni
John Horton Conway
ay nagdulot ng imbensyon ng mga
surreal na bilang
at nag-ambag sa kaunlaran ng
teorya ng larong kombinatoryal
. Ang isang espesipikong paggamit ng TLK sa Go ay mga
Go Infinitesimal
[1]
(sa Ingles).
Sa heneral nilalaro ang Go sa mga tablang
n
×
n
, at ay
komputasyonal na komplehidad
para magtasa ng nagwagi sa ilang posisyon ng Go ay krusyal na nagdedepende sa
mga kautusang ko
.
Ang Go ay "halos" nasa
PSPACE
, kasi sa normal na paglalaro, hindi nababawiin ang mga tira, at lang sa pamamagitan ng paghuli may posibilidad ng mga padrong inuulit na kailangan para sa isang mas mahirap na komplehidad.
Kung wala
ko
, ang Go ay
PSPACE-mahirap
.
[2]
Ang pruweba ay sa pamamagitan ng kabawasan ng
pormulang totoong dinadamihan ni Boole
(
Ingles
:
true quantified Boolean formula
, o
TQBF
), na kinikilala bilang PSPACE-kumpleto, sa
heograpiyang nilalahat
(
Ingles
:
generalized geography
), sa planar na heograpiyang nilalahat, sa planar na heograpiyang nilalahat na may pinakamataas na digring 3, at sa wakas sa mga posisyong Go.
Hindi alam kung ang Go na may superko ay nasa PSPACE. Maski ang totoong mga laro ay hindi kailanman mukhang magtagal ng mas kay
tira, sa heneral hindi alam kung may
polinomial
na hangganan sa tagal ng mga larong Go. Kung may, ang Go ay PSPACE-kumpleto,
EXPTIME
-kumpleto, o kahit
EXPSPACE
-kumpleto.
Nagsasabi ang Hapones na kautusang ko na bawal lang ang basikong ko, kumbaga, isang tira na nanunumbalik ang tabla sa
pinakahuling
posisyon. (Ikumpara ang kautusang superko sa ilalim.) Puwede ang mga paulit-ulit at mas matagal na sitwasyon, kaya sa teorya magpakailanmang nauulit ang isang laro. Halimbawa ang tripleng ko, na may tatlong sabay-sabay na ko, ay tinutulutan ang siklo ng 12 mga galaw.
Kung may Hapones na kautusang ko, ang Go ay EXPTIME-kumpleto.
[3]
Nagsasabi ang kautusang superko (tinatawag din na posisyonal na kautusang superko) na bawal ang isang ulit ng
anumang
posisyon ng tabla. (Ikumpara ang Hapones na kautusang ko sa itaas.) Ito ay kautusang ko na madalas na ginagamit sa
Tsina
at
Estados Unidos
.
Ang
klaseng komplehidad
ng Go, sa ilalim ng kautusang superko, ay
bukas na problema
. Bagama't EXPTIME-kumpleto ang Go kung may Hapones na kautusang ko, kung idinadagdag ang kautusang superko, sinisira ang parehong mga hangganan (itaas at ibaba) ng pruwebang EXPTIME-pagkakumpleto ni Robson
[3]
.
Alam na ito ay hindi bababa sa PSPACE-mahirap, dahil sa pruweba ni Sipser
[2]
ng PSPACE-pagkahirap ng Go ay hindi inaasahan ang kautusang ko o kaniyang kawalan. Alam rin na ang Go ay nasa EXPSPACE.
[4]
Ipinakita ni Robson
[4]
na kung ang kautusang superko, kumbaga, "nauulit ang walang dating posisyon", ay idinadagdag sa ilang mga EXPTIME-kumpletong
larong dalawang manlalaro
, tapos EXPSPACE-kumpleto ang mga bagong laro. Intuitibo na, ito ay kasi isang
exponensiyal
na dami ng
espasyo
ay kailangan kahit para magtaas ng mga legal na galaw mula sa isang posisyon, kasi ang kasaysayan na laro, hanggang sa itong posisyon, ay puwedeng eksponensiyal na mataas.
Bilang isang resulta, ang mga baryenteng superko para sa
ahedres
[5]
at
dama
[6]
ay EXPSPACE-kumpleto, kasi ang nilalahit na ahedres at dama ay EXPTIME-kumpleto. Gayunman, hindi nalalapat ang itong resulta sa Go.
[4]
PSPACE-kumpleto ang magtasa ng nagwagi ng isang karera para hulihin ang isang hagdan. Pinatutunayan ng
simulasyon
ng QBF (Quantum Boolean formula, na kilala bilang PSPACE-kumpleto) sa pamamagitan ng mga hagdan na tumatalbog sa tabla bilang mga
liwanag na sinag
.
[7]
Kasi puwedeng basyo, itim, o puti ang kada posisyon sa tabla, may 3
n
2
posibleng posisyon ng tablang
parisukat
na may
habang
n'
, ngunit hindi lahat ng mga posisyon ay legal. Nabuo nina
John Tromp
at
Gunnar Farneback
ang isang
rekursibong
pormula
para sa mga legal na posisyong
ng isang tablang
parihaba
na may habang
m
at
n
.
[8]
Noong 2016 inalam ang eksaktong
bilang
ng
.
[9]
Nahanap din ang isang
asintotikong
pormulang
, kung saan
,
at
Tinaya na ang
mapagmamasdang uniberso
ay may mga 10
80
atomo
, mas kaunti kaysa sa dami ng mga posibleng legal na posisyon ng isang tabla na may regular na sukat (
m
=
n
= 19). Habang lumalaki ang tabla, nagbabawas ang
persentahe
ng mga posisyong legal.
Sukat ng tablang n×n
|
3
n
2
|
Persentaheng legal
|
(mga posisyong legal) (
Padron:OEIS link
)
[10]
|
1 × 1
|
3
|
33.33%
|
1
|
2 × 2
|
81
|
70.37%
|
57
|
3 × 3
|
19,683
|
64.40%
|
12,675
|
4 × 4
|
43,046,721
|
56.49%
|
24,318,165
|
5 × 5
|
847,288,609,443
|
48.90%
|
414,295,148,741
|
9 × 9
|
4.43426488243 × 10
38
|
23.44%
|
1.03919148791 × 10
38
|
13 × 13
|
4.30023359390 × 10
80
|
8.66%
|
3.72497923077 × 10
79
|
19 × 19
|
1.74089650659 × 10
172
|
1.20%
|
2.08168199382 × 10
170
|
Itinala ni
Victor Allis
, isang
siyentipikong pangkompyuter
, na ang mga tipikal na laro sa pagitan ng mga dalubhasa ay nagtatagal ng mga 150 tira, na may mga 250 pasiya kada tira, na inimumungkahi ang isang
komplehidad ng punong laro
ng 10
360
.
[11]
Para sa dami ng larong
teoretika na posible
, kabilang sa mga larong imposible sa praktika, ibinibigay nina Tromp at Farneback ang mga ibaba at itaas na hangganan ng 10
10
48
at 10
10
171
, ayon sa pagkakabanggit.
[8]
Pinabuti ang ibabang hangganan sa isang
googolplex
nina Walraet at Tromp.
[12]
Ang bilang na pinakakaraniwang tinutukoy para sa dami ng mga posibleng laro, 10
700
[13]
, ay batay sa isang simpleng
permutasyon
ng 361 tira o
361! = 10
768
. Ang ibang karaniwang deribasyon ay ipalagay ang mga
N
interseksiyon at
L
pinakamatagal na laro para sa mga total na larong
N
Padron:I sup
Halimbawa, ang 400 tira, tulad ng nakikita sa ilang mga propesyonal na laro, ay isa sa 361
400
o 1 × 10
1023
posibleng laro.
Ang total na dami ng mga posibleng laro ay isang
punsiyon
ng sukat ng tabla, at saka ng dami ng mga tirang nilaro. Ang karamihan ng mga laro ay nagtatagal ng wala pang 400 o kahit 200 tira, mararaming mas ay posible.
Sukat ng laro
|
Sukat ng tablang
N
(mga interseksiyon)
|
N
!
|
Tipikal na tagal ng isang larong
L
|
N
Padron:I sup
|
Pinakamatagal na laro (# ng tira)
|
Ibaba na hangganan ng mga laro
|
Itaas na hangganan ng mga laro
|
2 × 2
|
4
|
24
|
3
|
64
|
|
386,356,909,593
[14]
|
386,356,909,593
|
3 × 3
|
9
|
3.6
×
10
5
|
5
|
5.9
×
10
4
|
|
|
|
4 × 4
|
16
|
2.1
×
10
13
|
9
|
6.9
×
10
10
|
|
|
|
5 × 5
|
25
|
1.6
×
10
25
|
15
|
9.3
×
10
20
|
|
|
|
9 × 9
|
81
|
5.8
×
10
120
|
45
|
7.6
×
10
85
|
|
|
|
13 × 13
|
169
|
4.3
×
10
304
|
90
|
3.2
×
10
200
|
|
|
|
19 × 19
|
361
|
1.0
×
10
768
|
200
|
3
×
10
511
|
10
48
|
10
10
48
|
10
10
171
|
21 × 21
|
441
|
2.5
×
10
976
|
250
|
1.3
×
10
661
|
|
|
|
- ↑
"Go Infinitesimals at Sensei's Library"
.
senseis.xmp.net
(sa wikang Ingles)
. Nakuha noong
2022-02-10
.
{{
cite web
}}
: CS1 maint: date auto-translated (
link
)
- ↑
2.0
2.1
Lichtenstein, David; Sipser, Michael (Abril 1980).
"Go Is Polynomial-Space Hard"
(PDF)
.
Journal of the ACM
(sa wikang Ingles).
27
(2): 393?401.
doi
:
10.1145/322186.322201
.
S2CID
29498352
.
{{
cite journal
}}
: CS1 maint: date auto-translated (
link
)
- ↑
3.0
3.1
Robson, John (1983). "The complexity of Go".
Proceedings of the IFIP 9th World Computer Congress on Information Processing
(sa wikang Ingles): 413?417.
{{
cite journal
}}
: CS1 maint: date auto-translated (
link
)
- ↑
4.0
4.1
4.2
Robson, J (1984). "Combinatorial games with exponential space complete decision problems".
Mathematical Foundations of Computer Science 1984
. pp. 498?506.
doi
:
10.1007/BFb0030333
.
ISBN
978-3-540-13372-8
.
CS1 maint: date auto-translated (
link
)
- ↑
Aviezri Fraenkel
and D. Lichtenstein (1981).
"Computing a perfect strategy for n×n chess requires time exponential in n"
.
J. Comb. Theory A
(sa wikang Ingles).
31
(2): 199?214.
doi
:
10.1016/0097-3165(81)90016-9
.
{{
cite journal
}}
: CS1 maint: date auto-translated (
link
)
- ↑
J. M. Robson (1984). "N by N checkers is Exptime complete".
SIAM Journal on Computing
(sa wikang Ingles).
13
(2): 252?267.
doi
:
10.1137/0213018
.
{{
cite journal
}}
: CS1 maint: date auto-translated (
link
)
- ↑
Cra?maru, Marcel;
Tromp, John
(2000).
Ladders are PSPACE-Complete
. pp. 241?249.
CiteSeerX
10.1.1.24.4665
.
doi
:
10.1007/3-540-45579-5_16
.
ISBN
978-3-540-43080-3
.
CS1 maint: date auto-translated (
link
)
- ↑
8.0
8.1
Tromp, J
; Farneback, G (2007),
Combinatorics of Go
(sa wikang Ingles), Springer, Berlin, Heidelberg,
doi
:
10.1007/978-3-540-75538-8_8
,
ISBN
978-3-540-75537-1
{{
citation
}}
: CS1 maint: date auto-translated (
link
)
- ↑
https://tromp.github.io/go/legal.html
208 168 199 381 979 984 699 478 633 344 862 770 286 522 453 884 530 548 425 639 456 820 927 419 612 738 015 378 525 648 451 698 519 643 907 259 916 015 628 128 546 089 888 314 427 129 715 319 317 557 736 620 397 247 064 840 935
- ↑
"Combinatorics of Go"
(PDF)
.
github.io
(sa wikang Ingles)
. Nakuha noong
17 Hunyo
2023
.
{{
cite web
}}
: CS1 maint: date auto-translated (
link
)
- ↑
Allis 1994
- ↑
Walraet, M;
Tromp, J
(2016),
A Googolplex of Go Games
(sa wikang Ingles), Springer, Berlin, Heidelberg,
doi
:
10.1007/978-3-319-50935-8_18
,
ISBN
978-3-319-50934-1
{{
citation
}}
: CS1 maint: date auto-translated (
link
)
- ↑
"Home - American Go Association"
.
www.usgo.org
(sa wikang Ingles)
. Nakuha noong
17 Hunyo
2023
.
{{
cite web
}}
: CS1 maint: date auto-translated (
link
)
- ↑
Tromp 1999