Стандардна деви?аци?а

Кумулативна вероватно?а нормалне дистрибуци?е са очекиваном вреднош?у 0 и стандардном деви?аци?ом 1

Стандардна деви?аци?а ?е у статистици апсолутна мера дисперзи?е у основном скупу . Она говори, колико у просеку елементи скупа одступа?у од аритметичке средине скупа. Означава се грчким словом сигма, σ . ^[1] Ниска стандардна деви?аци?а указу?е на то да вредности има?у тенденци?у да буду близу сред?е вредности (ко?а се назива и очекиваном вреднош?у ) скупа, док висока стандардна деви?аци?а указу?е да су вредности распоре?ене у ширем опсегу.

Стандардна деви?аци?а може бити скра?ено записана као СД , а на?чеш?е ?е представ?ена у математичким текстовима и ?едначинама малим грчким словом сигма σ , за стандардну деви?аци?у популаци?е, или латиничним словом s , за стандардну деви?аци?у узорка.

Стандардна деви?аци?а случа?не промен?иве , узорка , статистичке популаци?е , скупа података или расподеле вероватно?е ?е квадратни корен ?ене вари?ансе . Она ?е алгебарски ?едноставни?а, иако у пракси ма?е робустна , од просечног апсолутног одступа?а . ^[2]^[3] Корисна особина стандардне деви?аци?е ?е да ?е, за разлику од вари?ансе, изражена у исто? ?единици као и подаци.

Формула за израчунава?е стандардне деви?аци?е ?е: $\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}$ ;

где ?е:
N - бро? елемената у скупу
μ - аритметичка средина скупа
$x_{i}$ - i -ти члан скупа ( i =1,2,..., N )

Стандардна деви?аци?а у узорку нам говори колико у просеку елементи узорка одступа?у од аритметичке средине узорка. Израчунава се по формули:

\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}

;

где ?е:
n - бро? елемената у узорку
${\overline {x}}$ (икс-бар) - аритметичка средина узорка

$x_{i}$ - i -ти члан узорка ( i =1,2,..., n )

Правила за нормално расподе?ене податке [ уреди | уреди извор ]

У пракси, често се претпостав?а да су подаци из приближно нормално расподе?ене популаци?е. Ако ?е та претпоставка оправдана, онда се око 68% вредности налази у интервалу од плус-минус ?едне стандардне деви?аци?е од аритметичке средине, око 95% вредности се налази у интервалу од плус-минус две стандардне деви?аци?е, а око 99,7% се налази унутар плус-минус 3 стандардне деви?аци?е. Ово ?е познато као Правило 68-95-99,7 , или емпири?ско правило .

Интервали повере?а су следе?и:

σ	68,26894921371%
2σ	95,44997361036%
3σ	99,73002039367%
4σ	99,99366575163%
5σ	99,99994266969%
6σ	99,99999980268%
7σ	99,99999999974%

За нормалну расподелу, две тачке на криво? ко?е су уда?ене ?едну стандардну деви?аци?у од криве су тако?е и прево?не тачке .

Основни примери [ уреди | уреди извор ]

Популациона стандардна деви?аци?а оцена осморо ученика [ уреди | уреди извор ]

Претпоставимо да ?е целокупна популаци?а од интереса осам ученика у одре?еном оде?е?у. За коначан скуп бро?ева, стандардна деви?аци?а популаци?е се налази узима?ем квадратног корена просека квадрата одступа?а вредности одузетих од ?ихове просечне вредности. Оцене оде?е?а од осам ученика (т?. статистичке популаци?е ) су следе?их осам вредности:

2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9.

Ових осам тачака података има?у сред?у вредност (просек) од 5:

\mu ={\frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}={\frac {40}{8}}=5.

Прво се израчуна одступа?а сваке тачке података од сред?е вредности и квадрира?у се резултати:

{\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16.\\\end{array}}

Вари?анса ?е сред?а вредност ових вредности:

\sigma ^{2}={\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}={\frac {32}{8}}=4.

а стандардна деви?аци?а популаци?е ?е ?еднака квадратном корену вари?ансе:

\sigma ={\sqrt {4}}=2.

Ова формула важи само ако осам вредности са ко?има ?е започето чине комплетну популаци?у. Ако су вредности уместо тога биле случа?ни узорак извучен из неке велике родите?ске популаци?е (на пример, било ?е 8 ученика насумично и независно изабраних из класе од 2 милиона), онда се дели са 7 (што ?е n ? 1) уместо са 8 (што ?е n ) у имениоцу послед?е формуле, а резултат ?е ${\textstyle s={\sqrt {32/7}}\approx 2.1.}$ У том случа?у, резултат оригиналне формуле би био називан стандардна деви?аци?а узорка и означава са s уместо са $\sigma .$ Де?е?е са n ? 1 уместо са n да?е непристрасну процену вари?ансе ве?е родите?ске популаци?е. Ово ?е познато као Беселова корекци?а . ^[4]^[5] Грубо речено, разлог за то ?е да се формула за вари?ансу узорка осла?а на израчунава?е разлика запажа?а од сред?е вредности узорка, а сама сред?а вредност узорка ?е конструисана да буде што ?е могу?е ближа запажа?има, тако да би само де?е?е са n потценило вари?абилност.

Стандардна деви?аци?а просечне висине за одрасле мушкарце [ уреди | уреди извор ]

Ако ?е популаци?а од интереса приближно нормално распоре?ена, стандардна деви?аци?а да?е информаци?е о пропорци?и запажа?а изнад или испод одре?ених вредности. На пример, просечна висина одраслих мушкараца у С?еди?еним Државама ?е око 70 инча (177,8 cm), са стандардном деви?аци?ом од око 3 инча (7,62 cm). То значи да ве?ина мушкараца (око 68%, под претпоставком нормалне дистрибуци?е ) има висину унутар 3 инча (7,62 cm) од сред?е вредности (67?73 инча (170,18?185,42 cm)) ? ?една стандардна деви?аци?а ? и скоро сви мушкарци (око 95%) има висину унутар 6 инча (15,24 cm) од сред?е вредности (64?76 инча (162,56?193,04 cm)) ? две стандардне деви?аци?е. Ако ?е стандардна деви?аци?а нула, онда би сви мушкарци били високи тачно 70 инча (177,8 cm). Ако би стандардна деви?аци?а била 20 инча (50,8 cm), онда би мушкарци имали много вари?абилни?у висину, са типичним распоном од око 50?90 инча (127?228,6 cm). Три стандардне деви?аци?е чине 99,7% популаци?е узорка ко?а се проучава, под претпоставком да ?е дистрибуци?а нормална или у облику звона (погледа?те правило 68-95-99,7 или емпири?ско правило за више информаци?а).

Дефиници?а популационих вредности [ уреди | уреди извор ]

Нека ?е μ очекивана вредност (просек) случа?не промен?иве X са густином f ( x ):

\mu \equiv \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\,dx

Стандардна деви?аци?а σ од X ?е дефинисана као

\sigma \equiv {\sqrt {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}}={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{2}f(x)\,dx}},

што се може показати ?еднаким са

{\textstyle {\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}}}.}

Користе?и речи, стандардна деви?аци?а ?е квадратни корен вари?ансе од X .

Стандардна деви?аци?а дистрибуци?е вероватно?е ?е иста као и случа?на промен?ива ко?а има ту дистрибуци?у.

Нема?у све случа?не промен?иве стандардну деви?аци?у. Ако дистрибуци?а има велике репове ко?и иду до бесконачности, могу?е ?е да стандардна деви?аци?а не посто?и, ?ер интеграл можда не?е конвергирати. Нормална дистрибуци?а има репове ко?и иду у бесконачност, али ?ена сред?а вредност и стандардна деви?аци?а посто?е, ?ер се репови дово?но брзо сма?у?у. Парето расподела са параметром $\alpha \in (1,2]$ има сред?у вредност, али не и стандардну деви?аци?у (слободно говоре?и, стандардна деви?аци?а ?е бесконачна). Коши?ева расподела нема сред?у вредност, ни стандардну деви?аци?у.

Дискретна случа?на промен?ива [ уреди | уреди извор ]

У случа?у када X поприма случа?не вредности из коначног скупа података x ₁, x ₂, …, x _N, при чему свака вредност има исту вероватно?у, стандардна деви?аци?а ?е

\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left[(x_{1}-\mu )^{2}+(x_{2}-\mu )^{2}+\cdots +(x_{N}-\mu )^{2}\right]}},{\text{ where }}\mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N}),

или, користе?и запис сумира?а ,

\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}},{\text{ where }}\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}.

Ако, уместо да има?у ?еднаке вероватно?е, вредности има?у различите вероватно?е, нека x ₁ има вероватно?у p ₁, x ₂ има вероватно?у p ₂, …, x _N има вероватно?у p _N. У овом случа?у, стандардна деви?аци?а ?е бити

\sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}},{\text{ where }}\mu =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}.

Континуирана случа?на промен?ива [ уреди | уреди извор ]

Стандардна деви?аци?а континуиране случа?не промен?иве X реалне вредности са функци?ом густине вероватно?е p ( x ) ?е

\sigma ={\sqrt {\int _{\mathbf {X} }(x-\mu )^{2}\,p(x)\,dx}},{\text{ where }}\mu =\int _{\mathbf {X} }x\,p(x)\,dx,

и где су интеграли дефинитивни у односу на x у распону преко скупа могу?их вредности случа?не промен?иве X .

У случа?у параметарске породице дистрибуци?а , стандардна деви?аци?а се може изразити у смислу параметара. На пример, у случа?у лог-нормалне дистрибуци?е са параметрима μ и σ ², стандардна деви?аци?а ?е

{\sqrt {\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}}.

Види ?ош [ уреди | уреди извор ]

Референце [ уреди | уреди извор ]

^ Bland, J.M.; Altman, D.G. (1996). ?Statistics notes: measurement error” . BMJ . 312 (7047): 1654. PMC 2351401   . PMID 8664723 . doi : 10.1136/bmj.312.7047.1654 .
^ Gauss, Carl Friedrich (1816). ?Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen”. Zeitschrift fur Astronomie und Verwandte Wissenschaften . 1 : 187?197.
^ Walker, Helen (1931). Studies in the History of the Statistical Method . Baltimore, MD: Williams & Wilkins Co. стр. 24?25.
^ Weisstein, Eric W. ?Bessel's Correction” . MathWorld .
^ ?Standard Deviation Formulas” . www.mathsisfun.com . Приступ?ено 21. 8. 2020 .

Литература [ уреди | уреди извор ]

Edwards, A.W.F (2002). Pascal's arithmetical triangle: the story of a mathematical idea (2nd изд.). JHU Press. ISBN 0-8018-6946-3 .
Huygens, Christiaan (1657). De ratiociniis in ludo aleæ (English translation, published in 1714) .
Blitzstein, Joe; Hwang, Jessica (2014). Introduction to Probability . CRC Press. ISBN 9781466575592 .
Fristedt, Bert; Gray, Lawrence (1996). A modern approach to probability theory . Boston: Birkhauser. ISBN 3-7643-3807-5 .
Kallenberg, Olav (1986). Random Measures (4th изд.). Berlin: Akademie Verlag . ISBN 0-12-394960-2 . MR 0854102 .
Kallenberg, Olav (2001). Foundations of Modern Probability (2nd изд.). Berlin: Springer Verlag . ISBN 0-387-95313-2 .
Papoulis, Athanasios (1965). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (9th изд.). Tokyo: McGraw?Hill . ISBN 0-07-119981-0 .
Yates, Daniel S.; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). The Practice of Statistics (2nd изд.). New York: Freeman . ISBN 978-0-7167-4773-4 . Архивирано из оригинала 2005-02-09. г.
?Random Variables” . www.stat.yale.edu . Приступ?ено 2020-08-21 .
Dekking, Frederik Michel; Kraaikamp, Cornelis; Lopuhaa, Hendrik Paul; Meester, Ludolf Erwin (2005). ?A Modern Introduction to Probability and Statistics” . Springer Texts in Statistics (на ?езику: енглески). ISBN 978-1-85233-896-1 . ISSN 1431-875X . doi : 10.1007/1-84628-168-7 .
L. Castaneda; V. Arunachalam; S. Dharmaraja (2012). Introduction to Probability and Stochastic Processes with Applications . Wiley. стр. 67. ISBN 9781118344941 .
Bertsekas, Dimitri P. (2002). Introduction to Probability . Tsitsiklis, John N., Τσιτσικλ??, Γι?ννη? Ν. Belmont, Mass.: Athena Scientific. ISBN 188652940X . OCLC 51441829 .

Спо?аш?е везе [ уреди | уреди извор ]

Hazewinkel Michiel, ур. (2001). ?Quadratic deviation”. Encyclopaedia of Mathematics . Springer. ISBN 978-1556080104 .
" Standard Deviation Calculator "
Lawler, Greg. ?Notes on Probability” (PDF) . University of Chicago. Архивирано из оригинала (PDF) 25. 10. 2021. г . Приступ?ено 24. 10. 2021 .

[StatNotes-1] Bland, J.M.; Altman, D.G. (1996). ?Statistics notes: measurement error” . BMJ . 312 (7047): 1654. PMC 2351401   . PMID 8664723 . doi : 10.1136/bmj.312.7047.1654 .

[2] Gauss, Carl Friedrich (1816). ?Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen”. Zeitschrift fur Astronomie und Verwandte Wissenschaften . 1 : 187?197.

[3] Walker, Helen (1931). Studies in the History of the Statistical Method . Baltimore, MD: Williams & Wilkins Co. стр. 24?25.

[4] Weisstein, Eric W. ?Bessel's Correction” . MathWorld .

[5] ?Standard Deviation Formulas” . www.mathsisfun.com . Приступ?ено 21. 8. 2020 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]