Ten artykuł od 2021-02 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Nale?y poda? wiarygodne ?rodła w formie przypisow bibliograficznych . Cz??? lub nawet wszystkie informacje w artykule mog? by? nieprawdziwe. Jako pozbawione ?rodeł mog? zosta? zakwestionowane i usuni?te. Sprawd? w ?rodłach: Encyklopedia PWN  • Google Books  •  Google Scholar  •  Federacja Bibliotek Cyfrowych  • BazHum  • BazTech  • RCIN  • Internet Archive ( texts / inlibrary ) Dokładniejsze informacje o tym, co nale?y poprawi?, by? mo?e znajduj? si? w dyskusji tego artykułu . Po wyeliminowaniu niedoskonało?ci nale?y usun?? szablon {{Dopracowa?}} z tego artykułu.

Mno?enie macierzy ? operacja mno?enia macierzy przez skalar lub inn? macierz. Artykuł zawiera opis ro?norodnych sposobow przeprowadzania ich mno?enia.

Standardowe mno?enie macierzy [ edytuj | edytuj kod ]

Jest to najcz?stszy sposob mno?enia macierzy, nazywany te? mno?eniem Cauchy’ego . Działanie to zdefiniowane jest wył?cznie dla macierzy, z ktorych pierwsza ma tyle kolumn, co druga wierszy. Je?eli ${\displaystyle A}$ jest macierz? ${\displaystyle n\times m,}$ a ${\displaystyle B}$ macierz? typu ${\displaystyle m\times p,}$ to ich iloczyn , oznaczany ${\displaystyle AB,}$ czasem te? ${\displaystyle A\cdot B,}$ jest macierz? o wymiarach ${\displaystyle n\times p.}$ Je?eli ${\displaystyle C=AB,}$ a ${\displaystyle c_{i,j}}$ oznacza element ${\displaystyle C}$ na pozycji ${\displaystyle (i,j),}$ to

${\displaystyle c_{i,j}=\sum _{r=1}^{m}a_{i,r}b_{r,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\ldots +a_{i,m}b_{m,j}}$

dla ka?dej pary ${\displaystyle i,j}$ dla ktorej ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}$ oraz ${\displaystyle 1\leqslant j\leqslant p.}$

Obliczanie z definicji [ edytuj | edytuj kod ]

Poni?ej zilustrowany został sposob obliczania elementow ${\displaystyle \color {Red}c_{12}}$ oraz ${\displaystyle \color {Blue}c_{33}}$ macierzy wynikowej ${\displaystyle C_{4\times 3},}$ b?d?cej iloczynem macierzy ${\displaystyle A_{4\times 2}}$ i ${\displaystyle B_{2\times 3}.}$

Przykładowo, element ${\displaystyle \color {Red}c_{12}}$ powstaje z sumy iloczynow odpowiadaj?cych sobie elementow z pierwszego wiersza macierzy ${\displaystyle A}$ i drugiej kolumny macierzy ${\displaystyle B}$ (elementy macierzy składowych bierzemy zgodnie z kierunkiem strzałek). Innymi słowy, aby wyznaczy? element ${\displaystyle \color {Red}c_{12},}$ musimy wymno?y? pierwszy element z pierwszego wiersza macierzy ${\displaystyle A}$ przez pierwszy element z drugiej kolumny macierzy ${\displaystyle B,}$ i do tego doda? iloczyn drugiego elementu z pierwszego wiersza macierzy ${\displaystyle A}$ i drugiego elementu z drugiej kolumny macierzy ${\displaystyle B.}$ Opisane obliczenia poni?ej:

${\displaystyle \color {Red}c_{12}\color {Black}=a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}.}$

Ka?dy element iloczynu macierzy jest iloczynem skalarnym odpowiedniego wiersza pierwszej macierzy i odpowiedniej kolumny drugiej macierzy

${\displaystyle c_{ij}=a_{i}\cdot b_{j}^{\top },}$

gdzie ${\displaystyle b_{j}^{\top }}$ oznacza transpozycj? macierzy b.

Podobnie post?pujemy z wyro?nionym na niebiesko elementem macierzy ${\displaystyle C}$ z trzeciego wiersza i trzeciej kolumny:

${\displaystyle \color {Blue}c_{33}\color {Black}=a_{31}\cdot b_{13}+a_{32}\cdot b_{23}.}$

Przykładowo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\cdot 3+0\cdot 2+2\cdot 1)&(1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0)\\(-1\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1)&(-1\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\end{bmatrix}}.}$

Metoda wspołczynniki-wektory [ edytuj | edytuj kod ]

To mno?enie macierzy mo?e by? rozwa?ane z nieco innego punktu widzenia: sumuje ono wektory po przemno?eniu ich uprzednio przez ro?ne wspołczynniki. Je?eli

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots \\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$   oraz   ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\ldots \\b_{2,1}&b_{2,2}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \end{bmatrix}},}$

to

${\displaystyle AB={\begin{bmatrix}a_{1,1}B_{1}+a_{1,2}B_{2}+\ldots \\\\a_{2,1}B_{1}+a_{2,2}B_{2}+\ldots \\\vdots \end{bmatrix}}.}$

Dla powy?szych danych jest:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}+0{\begin{bmatrix}2&1\end{bmatrix}}+2{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\\-1{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}+3{\begin{bmatrix}2&1\end{bmatrix}}+1{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}-3&-1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}6&3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\end{bmatrix}}.}$

Wiersze macierzy po lewej s? list? wspołczynnikow. Macierz po prawej jest list? wektorow. W przykładzie pierwszy wiersz to ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}},}$ czyli bierzemy 1 raz pierwszy wektor, 0 razy drugi wektor i 2 razy trzeci wektor. Rownanie mo?na jeszcze upro?ci? za pomoc? iloczynu zewn?trznego :

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&\ldots \end{bmatrix}}\implies AB=\sum _{i}A_{i}B_{i}.}$

Elementy tej sumy s? macierzami tego samego kształtu, z ktorych ka?da opisuje działanie jednej kolumny z ${\displaystyle A}$ i jednego wiersza z ${\displaystyle B}$ na wynik. Kolumny ${\displaystyle A}$ mog? by? postrzegane jako układ wspołrz?dnych przekształcenia, np. dla danego wektora ${\displaystyle x}$ jest ${\displaystyle Ax=A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}+\dots ,}$ gdzie ${\displaystyle x_{i}}$ s? wspołrz?dnymi wzdłu? ?osi” ${\displaystyle A_{i}.}$ Wyrazy ${\displaystyle A_{i}B_{i}}$ s? analogiczne do ${\displaystyle A_{i}x_{i}}$ z tym, ?e ${\displaystyle B_{i}}$ zawiera i -t? wspołrz?dn? ka?dego wektora kolumnowego macierzy ${\displaystyle B,}$ z ktorej ka?da jest rownocze?nie przekształcana niezale?nie od pozostałych.

Raz jeszcze stosuj?c dane przykładowe, mamy:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}1\cdot 3&1\cdot 1\\-1\cdot 3&-1\cdot 1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\cdot 2&0\cdot 1\\3\cdot 2&3\cdot 1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 0\\1\cdot 1&1\cdot 0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\end{bmatrix}}.}$

Wektory ${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&2&1\end{bmatrix}}^{\top }}$ oraz ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0\end{bmatrix}}^{\top }}$ zostały rownocze?nie przekształcone na ${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&4\end{bmatrix}}^{\top }}$ oraz ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\top }.}$ Mo?na je rownie? przekształci? po kolei, czyni?c te same kroki:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}3+{\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}}2+{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}1={\begin{bmatrix}1\cdot 3\\-1\cdot 3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\cdot 2\\3\cdot 2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2\cdot 1\\1\cdot 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\4\end{bmatrix}}.}$

Metoda list wektorowych [ edytuj | edytuj kod ]

O zwykłym iloczynie macierzy mo?na my?le? jak o iloczynie skalarnym listy kolumnowej wektorow przez list? wierszow? wektorow. Je?eli

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\ldots \\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\ldots \\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\\vdots \end{bmatrix}}}$   oraz   ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&b_{1,3}&\ldots \\b_{2,1}&b_{2,2}&b_{2,3}&\ldots \\b_{3,1}&b_{3,2}&b_{3,3}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}B_{1}&B_{2}&B_{3}&\ldots \end{bmatrix}},}$

gdzie:

${\displaystyle A_{1}}$ to wektor wierszowy wszystkich elementow postaci ${\displaystyle a_{1,x},}$ ${\displaystyle A_{2}}$ to wektor wierszowy wszystkich elementow postaci ${\displaystyle a_{2,x}}$ itd.,

a ${\displaystyle B_{1}}$ jest wektorem kolumnowym wszystkich elementow postaci ${\displaystyle b_{x,1},}$ ${\displaystyle B_{2}}$ wektorem kolumnowym wszystkich elementow postaci ${\displaystyle b_{x,2}}$ itd.,

to wtedy

${\displaystyle AB={\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\\vdots \end{bmatrix}}*{\begin{bmatrix}B_{1}&B_{2}&B_{3}&\ldots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(A_{1}\cdot B_{1})&(A_{1}\cdot B_{2})&(A_{1}\cdot B_{3})&\ldots \\(A_{2}\cdot B_{1})&(A_{2}\cdot B_{2})&(A_{2}\cdot B_{3})&\ldots \\(A_{3}\cdot B_{1})&(A_{3}\cdot B_{2})&(A_{3}\cdot B_{3})&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$

Własno?ci [ edytuj | edytuj kod ]

Mno?enie macierzy nie jest w ogolno?ci przemienne , tj. ${\displaystyle AB\neq BA.}$ Mo?na zaobserwowa? to nast?puj?co: nie mo?na spodziewa? si?, i? zmiana proporcji wektorow da ten sam wynik . Innym sposobem jest te? zwrocenie uwagi na kolejno?? czynnikow ? liczba kolumn w macierzy proporcji musi by? rowna liczbie wierszy w macierzy wektorow: musz? one reprezentowa? t? sam? liczb? wektorow. Przypadkiem szczegolnym jest np. mno?enie macierzy diagonalnych rownego stopnia, ktore jest przemienne.

Cho? mno?enie macierzy nie jest przemienne, to wyznaczniki ${\displaystyle AB}$ oraz ${\displaystyle BA}$ s? zawsze rowne (je?eli ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ s? macierzami kwadratowymi tego samego stopnia), co wyja?nione jest w artykule o wyznaczniku.

Mno?enie Cauchy’ego jest istotne, poniewa? je?li macierze ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ reprezentuj? przekształcenia liniowe (co powszechnie si? czyni), to ich iloczyn ${\displaystyle AB}$ odpowiada zło?eniu tych przekształce?, w ktorym odwzorowanie ${\displaystyle B}$ wykonywane jest w pierwszej kolejno?ci.

Dodatkowo wszystkie sposoby mno?enia opisane w tym artykule dziel? zestaw wspolnych własno?ci opisanych ni?ej.

Algorytmy [ edytuj | edytuj kod ]

Naiwny algorytm standardowego mno?enia macierzy typu ${\displaystyle x\times y}$ przez macierz typu ${\displaystyle y\times z}$ wymaga ${\displaystyle xyz}$ mno?e?. Dla macierzy kwadratowych daje to algorytm o zło?ono?ci ${\displaystyle \Theta (n^{3}).}$

Istniej? wydajniejsze algorytmy rozwi?zywania tego zadania. Pierwszy z takich algorytmow podał w 1969 r. Volker Strassen ? zło?ono?? tego algorytmu to około ${\displaystyle O(n^{2{,}807}).}$ Nie jest on jednak zwykle u?ywany w praktyce z powodu braku numerycznej stabilno?ci . Najlepszy obecnie znany algorytm mno?enia macierzy, podany przez Dona Coppersmitha i Shmuela Winograda , ma zło?ono?? rz?du ok. ${\displaystyle O(n^{2{,}376}).}$ Dolne oszacowanie zło?ono?ci mno?enia macierzy, wynikaj?ce z konieczno?ci obliczenia ${\displaystyle n^{2}}$ warto?ci, to ${\displaystyle \Omega (n^{2}).}$

Je?li to mo?liwe, nale?y skorzysta? z algorytmow wykorzystuj?cych szczegolne własno?ci macierzy, np. istnieje prosty algorytm mno?enia macierzy diagonalnych klasy ${\displaystyle \Theta (n).}$

Pot?gowanie macierzy [ edytuj | edytuj kod ]

Definiujemy pot?g? macierzy kwadratowej ${\displaystyle A}$ rekurencyjnie za pomoc? wzorow:

${\displaystyle A^{0}=I_{k}}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest wymiarem macierzy ${\displaystyle A,}$

${\displaystyle A^{n+1}=A\cdot A^{n}}$ dla całkowitego nieujemnego ${\displaystyle n.}$

A zatem

${\displaystyle A^{1}=A,}$

${\displaystyle A^{2}=A\cdot A,}$

${\displaystyle A^{3}=A\cdot A\cdot A,}$

itd.

Operacja pot?gowania macierzy ma nast?puj?ce własno?ci:

• ${\displaystyle A^{n+m}=A^{n}\cdot A^{m},}$
• ${\displaystyle (A^{n})^{m}=A^{nm}.}$

Naiwny algorytm obliczenia pot?gi ${\displaystyle A^{n}}$ wymaga ${\displaystyle \Theta (n)}$ mno?e?.

Za pomoc? algorytmu szybkiego pot?gowania pot?g? ${\displaystyle A^{n}}$ mo?emy obliczy? w czasie ${\displaystyle \Theta (\log n).}$

Mo?liwe jest rownie? pot?gowanie za pomoc? diagonalizacji ? wymaga to podniesienia macierzy diagonalnej do ${\displaystyle n}$-tej pot?gi (zob. zło?ono?? obliczeniowa iloczynu macierzy ); je?eli macierz ${\displaystyle A}$ ma wspołczynniki całkowite, to macierz diagonalna nie musi zachowa? tej wła?ciwo?ci, co mo?e spowodowa? bł?dy zaokr?gle?, dlatego jest to metoda mniej ogolna.

Mno?enie macierzy ${\displaystyle n}$-wska?nikowych [ edytuj | edytuj kod ]

Macierz ${\displaystyle n}$-wska?nikowa ${\displaystyle A}$ zawiera ${\displaystyle n}$ wska?nikow przebiegaj?cych ${\displaystyle m}$ warto?ci. Taka macierz zawiera ${\displaystyle m^{n}}$ elementow macierzowych o warto?ciach zespolonych,

${\displaystyle a_{k_{1},\dots ,k_{n}}.}$

Dla macierzy ${\displaystyle A}$ zdefiniowana jest operacja transpozycji cyklicznej , ${\displaystyle T_{c}}$ przesuwaj?cej wska?niki o jeden do przodu

${\displaystyle (a_{k_{1},\dots ,k_{n-1},k_{n}})^{T_{c}}=a_{k_{n},k_{1},\dots ,k_{n-1}}.}$

Mno?enie (iloczyn) macierzy ${\displaystyle n}$-wska?nikowych, zdefiniowane jest jako ${\displaystyle n}$-arne działanie wewn?trzne dla dokładnie ${\displaystyle n}$ macierzy, z ktorych ka?da ma ${\displaystyle n}$ wska?nikow przebiegaj?cych ${\displaystyle m}$ warto?ci. Ka?da macierz zawiera ${\displaystyle m^{n}}$ warto?ci. Wynikiem jest rownie? macierz ${\displaystyle n}$-wska?nikowa.

Je?eli ${\displaystyle B=A^{(1)}A^{(2)}\ldots A^{(n-1)}A^{(n)},}$ a ${\displaystyle b_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}}$ oznacza element ${\displaystyle B}$ na pozycji ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}),}$ to

${\displaystyle b_{k_{1},\dots ,k_{n}}=\sum _{l_{1},\dots ,l_{n-1}=1}^{m}a_{k_{1},l_{1}\dots ,l_{n-1}}^{(1)}*a_{l_{n-1},k_{2},l_{1}\dots ,l_{n-2}}^{(2)}*\ldots *a_{l_{2},\dots ,k_{n-1},l_{1}}^{(n-1)}*a_{l_{1},l_{2},\dots ,k_{n}}^{(n)}}$

dla ka?dego wska?nika ${\displaystyle k_{i},l_{j}}$ dla ktorych ${\displaystyle 1\leqslant k_{i}\leqslant m}$ oraz ${\displaystyle 1\leqslant l_{j}\leqslant m.}$

Własno?ci mno?enia macierzy ${\displaystyle n}$-wska?nikowych [ edytuj | edytuj kod ]

Mno?enie macierzy ${\displaystyle n}$-wska?nikowych nie jest działaniem ł?cznym, np. dla ${\displaystyle n=3}$ istnieje macierz ${\displaystyle A,}$ taka ?e ${\displaystyle A*A*(A*A*A)\neq A*(A*A*A)*A.}$

Transpozycja cykliczna iloczynu macierzy ${\displaystyle B=A^{(1)}\ldots A^{(n-1)}A^{(n)}}$ ma posta?

${\displaystyle B^{T_{c}}=(A^{(n)})^{T_{c}}(A^{(1)})^{T_{c}}\ldots (A^{(n-1)})^{T_{c}}.}$

Szczegolne macierze ${\displaystyle n}$-wska?nikowe [ edytuj | edytuj kod ]

Macierze jednostkowe

Macierze jednostkowe definiuje si? z pomoc? macierzy pomocniczej ${\displaystyle A}$ (numer w nawiasie oznacza poło?enie macierzy jednostkowych cyklicznie za macierz pomocnicz?, gdy macierz pomocnicza jest w innym poło?eniu to przy pomocy transpozycji cyklicznej przestawi? na ostatnie miejsce rownania):

${\displaystyle A=I^{(1)}\ldots I^{(n-1)}A.}$

Dla macierzy binarnych (przyjmuj?cych tylko warto?ci 0 i 1) rownanie jest jednoznacznie rozwi?zywalne.

${\displaystyle I_{k_{1},\dots ,k_{n}}^{(p)}=\delta _{k_{p},k_{2p}},}$

gdzie ${\displaystyle \delta _{k_{p},k_{2p}}}$ jest symbolem Kroneckera.

Podindeksy uwa?amy za cyklicznie rownowa?ne gdy ro?ni? si? o wielokrotno?? ${\displaystyle n.}$

Gdy przemie?cimy macierz pomocnicz? o ${\displaystyle q}$ miejsc, to

${\displaystyle I_{k_{1},\dots ,k_{n}}^{(p)}=\delta _{k_{p+q},k_{2p+q}}.}$

Dla pełnego zagadnienia z dowolnym poło?eniem macierzy pomocniczej i z uwzgl?dnieniem symetrii symbolu Kroneckera otrzymujemy ${\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$ macierzy jednostkowych. Macierz jednostkowa w niewła?ciwym poło?eniu nie musi by? w nim macierz? jednostkow?.

Macierze jednostkowe dla ka?dego poło?enia wyro?niaj? par? wska?nikow. Dogodnie jest traktowa? macierz ${\displaystyle n}$-wska?nikow? jako zbior ${\displaystyle m^{n-2}}$ dwuwska?nikowych warstw numerowanych przez pozostałe ${\displaystyle n-2}$ wska?niki.

Macierze diagonalne

Je?eli ka?da warstwa macierzy ${\displaystyle B}$ jest dwuwska?nikow? macierz? diagonaln? to tak? macierz nazywamy macierz? diagonaln?.

Macierze odwrotne

Macierze odwrotne definiuje si? przez rozwi?zanie poni?szych dwoch rowna? (macierze ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle D}$ s? w tym samym poło?eniu, uzupełniaj?ce macierze jednostkowe nie zostały zaznaczone)

${\displaystyle C=\ldots B\ldots A,}$

${\displaystyle A=\ldots D\ldots C.}$

Macierz ${\displaystyle D}$ jest macierz? odwrotn? do ${\displaystyle B.}$

Ka?da warstwa macierzy ${\displaystyle D}$ jest macierz? odwrotn? (dwuwska?nikow?) warstwy o tym samym numerze macierzy ${\displaystyle B.}$

Zadanie jest wykonalne je?eli iloczyn wszystkich wyznacznikow warstw macierzy ${\displaystyle B}$ jest ro?ny od zera. Taki iloczyn nazwiemy wyznacznikiem macierzy ${\displaystyle B.}$

Dla macierzy diagonalnej wyznacznik jest rowny iloczynowi wszystkich diagonalnych elementow macierzowych wszystkich warstw.

Macierz osobliwa

Macierz nazwiemy osobliw?, gdy jej wyznacznik jest rowny zero.

Zagadnienie odwrotne [ edytuj | edytuj kod ]

Zagadnieniem odwrotnym nazywamy wyznaczenie macierzy ${\displaystyle X}$ z rownania

${\displaystyle B=A^{(1)}A^{(2)}\ldots A^{(n-1)}X.}$

Zagadnienie odwrotne jest rozwi?zywalne gdy wspolne działanie ${\displaystyle n-1}$ macierzy: ${\displaystyle A^{(1)}A^{(2)}\ldots A^{(n-1)}}$ jest nieosobliwe.

Je?eli co najwy?ej jedna macierz ${\displaystyle A^{(p)}}$ jest niediagonalna to działanie jest nieosobliwe gdy wszystkie macierze s? nieosobliwe.

Je?eli co najmniej dwie macierza ${\displaystyle A^{(p)},}$ ${\displaystyle A^{(q)}}$ s? niediagonalne to osobliwo?? działania jest nieokre?lona.

Mno?enie macierzy ${\displaystyle n}$-wska?nikowych jako działanie zewn?trzne [ edytuj | edytuj kod ]

Mno?enie

${\displaystyle Y=A^{(1)}A^{(2)}\ldots A^{(n-1)}X}$

mo?emy traktowa? jako przekształcenie ${\displaystyle m^{n}}$ wymiarowego wektora ${\displaystyle X}$ przez wspolne działanie ${\displaystyle n-1}$ macierzy ${\displaystyle A^{(1)}A^{(2)}\ldots A^{(n-1)},}$ zapisujemy to w postaci

${\displaystyle Y=MX,}$ gdzie ${\displaystyle M}$ jest ${\displaystyle m^{n}\times m^{n}}$ macierz?.

Przekształcenie macierzy ${\displaystyle A^{(p)}}$ w macierz ${\displaystyle M}$ jest jednoznaczne, a przekształcenie odwrotne jest niejednoznaczne, a po wykonaniu przekształce? macierzy ${\displaystyle M}$ mo?e by? nieodwracalne.

Elementy macierzowe macierzy ${\displaystyle M}$ s? nast?puj?ce

${\displaystyle m_{k,l}=a_{k_{1},l_{1}\dots ,l_{n-1}}^{(1)}*a_{l_{n-1},k_{2},l_{1}\dots ,l_{n-2}}^{(2)}*\ldots *a_{l_{2},\dots ,k_{n-1},l_{1}}^{(n-1)}*\delta _{k_{n},l_{n}},}$

gdzie:

${\displaystyle k=k_{1}+(k_{2}-1)*m^{1}+(k_{3}-1)*m^{2}+\ldots +(k_{n}-1)*m^{n-1},}$

${\displaystyle l=l_{1}+(l_{2}-1)*m^{1}+(l_{3}-1)*m^{2}+\ldots +(l_{n}-1)*m^{n-1}.}$

Macierz ${\displaystyle M}$ ma posta? quasidiagonaln? zawieraj?c? ${\displaystyle m}$ podmacierzy ${\displaystyle m^{n-1}\times m^{n-1}.}$

Je?eli w wyra?eniu ${\displaystyle A^{(1)}A^{(2)}\ldots A^{(n-1)}}$ jest tylko ${\displaystyle q}$ macierzy niediagonalnych to przy zmianie kolejno?ci (wska?niki primowane) wyliczanych wska?nikow (najpierw ${\displaystyle q}$ wska?nikow macierzy niediagonalnych, a nast?pnie ${\displaystyle n-1-q}$ macierzy diagonalnych)

${\displaystyle k'=k'_{1}+(k'_{2}-1)*m^{1}+(k'_{3}-1)*m^{2}+\ldots +(k'_{n}-1)*m^{n-1},}$

${\displaystyle l'=l'_{1}+(l'_{2}-1)*m^{1}+(l'_{3}-1)*m^{2}+\ldots +(l'_{n}-1)*m^{n-1},}$

macierz ${\displaystyle M}$ przyjmie posta? quasidiagonaln? zawieraj?c? ${\displaystyle m^{n-q}}$ podmacierzy ${\displaystyle m^{q}\times m^{q}.}$

Tak wyznaczona macierz ${\displaystyle M}$ daje formaln? podstaw? do wyznaczania macierzy odwrotnych, rozwi?zywania zagadnienia odwrotnego, jak rownie? do badania zagadnienia własnego wspolnego działania jednej lub wi?cej macierzy ${\displaystyle A^{(p)}.}$

Mno?enie przez skalar [ edytuj | edytuj kod ]

  Zobacz te?: mno?enie przez skalar .

Mno?enie macierzy ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ przez skalar ${\displaystyle r}$ daje w wyniku iloczyn ${\displaystyle rA}$ b?d?cy macierz? tego samego typu co ${\displaystyle A.}$ Jej wspołczynniki dane s? wzorem

${\displaystyle (rA)_{ij}=r\cdot a_{ij}.}$

Na przykład je?li

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},}$

to

${\displaystyle 7A={\begin{bmatrix}7\cdot 1&7\cdot 2\\7\cdot 3&7\cdot 4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7&14\\21&28\end{bmatrix}}.}$

Je?eli jeste?my zainteresowani macierzami nad pier?cieniem , to powy?sze mno?enie nazywa si? czasem mno?eniem lewostronnym , podczas gdy mno?enie prawostronne definiowane jest jako

${\displaystyle (Ar)_{ij}=a_{ij}\cdot r.}$

Je?eli pier?cie? jest przemienny , np. ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych , to powy?sze mno?enia s? to?same. Jednak?e je?li pier?cie? nie jest przemienny, jak np. kwaterniony , mog? si? one ro?ni?. Przykładowo

${\displaystyle i{\begin{bmatrix}i&0\\0&j\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&k\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-k\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i&0\\0&j\end{bmatrix}}i.}$

Iloczyn Hadamarda [ edytuj | edytuj kod ]

Dla dwoch macierzy tego samego typu definiuje si? iloczyn Hadamarda , znany tak?e jako iloczyn Schura lub iloczyn po wspołrz?dnych . Mo?e by? on uogolniony tak?e na operatory. Iloczyn Hadamarda dwoch macierzy ${\displaystyle A,B}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ oznaczany przez ${\displaystyle A\bullet B}$ jest rownie? macierz? typu ${\displaystyle m\times n}$ dan? wzorem

${\displaystyle (A\bullet B)_{ij}=a_{ij}b_{ij}.}$

Dla przykładu:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&1\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}0&3\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 0&2\cdot 3\\3\cdot 2&1\cdot 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&6\\6&1\end{bmatrix}}.}$

Zauwa?my, ?e iloczyn Hadamarda jest podmacierz? iloczynu Kroneckera (zob. ni?ej). Iloczyn Hadamarda badany jest w teorii macierzy i pojawia si? w algorytmach kompresji stratnej takiej jak JPEG , jednak wła?ciwie nie pojawia si? w algebrze liniowej ^{[ wymaga weryfikacji? ]} . Dyskusja na ten temat zawarta jest w Horn & Johnson, 1994, rozdz. 5 .

Iloczyn Kroneckera [ edytuj | edytuj kod ]

  Osobny artykuł: iloczyn Kroneckera .

Dla dowolnych dwoch macierzy ${\displaystyle A}$ oraz ${\displaystyle B}$ definiuje si? iloczyn prosty lub iloczyn Kroneckera (od nazwiska Leopolda Kroneckera ) jako

${\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&a_{12}B&\ldots &a_{1n}B\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&a_{m2}B&\ldots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}$

Zauwa?my, ?e je?li ${\displaystyle A}$ jest macierz? typu ${\displaystyle m\times n,}$ za? ${\displaystyle B}$ macierz? typu ${\displaystyle p\times r,}$ to ${\displaystyle A\otimes B}$ jest macierz? typu ${\displaystyle mp\times nr.}$ To mno?enie rownie? nie jest przemienne.

Na przykład

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&3\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 0&1\cdot 3&2\cdot 0&2\cdot 3\\1\cdot 2&1\cdot 1&2\cdot 2&2\cdot 1\\3\cdot 0&3\cdot 3&1\cdot 0&1\cdot 3\\3\cdot 2&3\cdot 1&1\cdot 2&1\cdot 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&3&0&6\\2&1&4&2\\0&9&0&3\\6&3&2&1\end{bmatrix}}.}$

Je?eli ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ reprezentuj? przekształcenia liniowe, odpowiednio ${\displaystyle V_{1}\to W_{1}}$ oraz ${\displaystyle V_{2}\to W_{2},}$ to ${\displaystyle A\otimes B}$ reprezentuje iloczyn tensorowy dwoch odwzorowa?, ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\to W_{1}\otimes W_{2}.}$

Wspolne własno?ci [ edytuj | edytuj kod ]

Wszystkie rodzaje mno?enia macierzy s? ł?czne :

${\displaystyle A(BC)=(AB)C,}$

rozdzielne wzgl?dem dodawania :

${\displaystyle A(B+C)=AB+AC}$

oraz

${\displaystyle (A+B)C=AC+BC}$

i zgodne z mno?eniem przez skalar :

${\displaystyle c(AB)=(cA)B,}$

${\displaystyle (Ac)B=A(cB),}$

${\displaystyle (AB)c=A(Bc).}$

Nale?y wspomnie?, ?e w powy?sze trzy wyra?enia b?d? sobie to?same, je?li mno?enie i dodawanie w ciele skalarow b?dzie przemienne, np. b?dzie ono pier?cieniem przemiennym. Zobacz sekcj? mno?enie przez skalar wy?ej, aby zobaczy? kontrprzykład dla ciała skalarow kwaternionow.

Iloczyn wewn?trzny Frobeniusa [ edytuj | edytuj kod ]

Iloczyn Frobeniusa , oznaczany czasem ${\displaystyle A:B,}$ jest iloczynem wewn?trznym po składowych dwoch macierzy traktowanych jako wektory. Innymi słowy jest to suma elementow iloczynu Hadamarda, czyli

${\displaystyle A:B=\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\operatorname {tr} (A^{\top }B)=\operatorname {tr} (AB^{\top }).}$

Ten iloczyn skalarny indukuje norm? Frobeniusa .

Zobacz te? [ edytuj | edytuj kod ]

• algorytm Strassena
• Basic Linear Algebra Subprograms
• dodawanie macierzy
• eksponenta macierzy
• iloczyn skalarny
• krakowian (kolejny iloczyn macierzy)
• macierz odwrotna
• problem nawiasowania ci?gu macierzy
• zło?enie relacji

Linki zewn?trzne [ edytuj | edytuj kod ]

• Przemysław P.   Kiciak   Przemysław P. , Schemat Falka , [w:] pismo ? Delta ”, deltami.edu.pl, luty 2014 , ISSN 0137-3005 [dost?p 2022-07-19]   ( pol. ) .