Atraktor Lorenza
dla parametrow ρ=28, σ = 10, β = 8/3
Chaos deterministyczny
? własno?? rowna? lub
układow rowna?
, polegaj?ca na du?ej wra?liwo?ci rozwi?za? na dowolnie małe zaburzenie parametrow. Dotyczy to zwykle
nieliniowych
rowna? ro?niczkowych
i
ro?nicowych
, opisuj?cych
układy dynamiczne
.
Przesłank? prowadz?c? do sformułowania teorii chaosu były badania
Edwarda Lorenza
nad modelami prognozowania pogody. Zgodnie z owczesnym, deterministycznym rozumieniem rzeczywisto?ci minimalna zmiana warunkow pocz?tkowych powinna prowadzi? do proporcjonalnie niewielkich zmian wyniku modelu. W trakcie pracy nad modelem, z natury dynamicznym (dane z iteracji wcze?niejszych s? danymi wej?ciowymi dla iteracji nast?puj?cych), w celu ułatwienia pracy wprowadził zaokr?glone warto?ci wyj?ciowe. Okazało si?, ?e wynik modelu diametralnie odbiegał od tego, co przewidywał ten sam model przy danych wprowadzonych z wi?ksz? dokładno?ci?.
Dalsze badania nad układami dynamicznymi doprowadziły do wniosku, i? wbrew powszechnym przekonaniom w nauce, niewielkie zaburzenie warunkow pocz?tkowych powoduje rosn?ce
wykładniczo
z czasem zmiany w zachowaniu układu. Popularnie nazywane jest to
efektem motyla
? znikoma ro?nica na jakim? etapie mo?e po dłu?szym czasie urosn?? do dowolnie du?ych rozmiarow. Powoduje to, ?e cho? model jest
deterministyczny
, w dłu?szej skali czasowej wydaje si? zachowywa? w sposob
losowy
.
Zachowanie takie mo?na zaobserwowa? w wielu zjawiskach fizycznych, mi?dzy innymi w zmianach
pogody
, oscyluj?cych
reakcjach chemicznych
, zachowaniu niektorych
obwodow elektrycznych
i ruchu ciał oddziałuj?cych
grawitacyjnie
.
Zachowanie układow chaotycznych
[
edytuj
|
edytuj kod
]
Diagram
bifurkacji
, pokazuj?cy doj?cie do zachowania chaotycznego.
?cisłym kryterium chaotyczno?ci jest okre?lenie warto?ci
wykładnikow Lapunowa
. Układ jest chaotyczny, je?li ma co najmniej jeden dodatni wykładnik Lapunowa. W takim wypadku w
przestrzeni fazowej
blisko le??ce
trajektorie
mog? po pewnym czasie dowolnie si? od siebie oddali? (to oddalanie si? ?z czasem” ro?nych trajektorii obliczonych dla odmiennych warto?ci parametru le?y w definicji chaotyczno?ci wzgl?dem tego parametru). Cho? dla idealnie dokładnie zadanych parametrow pocz?tkowych jeste?my w stanie dokładnie przewidzie? zachowanie si? układu, w praktyce, gdzie warunki pocz?tkowe znane s? zawsze ze sko?czon? dokładno?ci?, w krotkim czasie układ staje si? nieprzewidywalny.
Szczegoln? cech? układow chaotycznych jest tzw.
mieszanie topologiczne
. Oznacza ono, ?e je?li we?miemy dowolny region (
zbior otwarty
) w przestrzeni fazowej układu, to w miar? jego ewolucji w czasie pokryje si? on cz??ciowo z dowolnym innym wybranym regionem.
Warto nadmieni?, ?e niektore rownania i układy liniowe posiadaj? tak?e rozwi?zania niestabilne. Tym samym niestabilno?? rozwi?za? jest własno?ci? słabsz? ni? chaotyczno??. W przypadkach liniowych niestabilno?? dotyczy jednak jedynie specjalnie dobranych warunkow pocz?tkowych. Układ jest uwa?any za chaotyczny, gdy niestabilno?? dotyczy prawie wszystkich warunkow pocz?tkowych (formalnie zestawy tych warunkow tworz?
zbior g?sty
).
Dowiedzenie, ?e dany, konkretny układ rowna? jest chaotyczny dla pewnych warto?ci parametrow modelu, jest na ogoł procesem zło?onym. Dlatego niewła?ciwe jest nazywanie chaotycznym ka?dego układu przejawiaj?cego skomplikowane zachowania. Przykładami układow mylnie nazywanych chaotycznymi s?
turbulencje
i zachowanie
giełdy
. Nie udowodniono chaotyczno?ci dla pełnego układu
rowna? Naviera-Stokesa
, a dla zachowania giełdy nie znamy nawet rowna? ro?nicowych czy ro?niczkowych, opisuj?cych j? w zadowalaj?cy sposob. Tym samym nie potrafimy si? wypowiedzie? o chaotyczno?ci ich rozwi?za?.
Niektore układy dynamiczne s? chaotyczne wsz?dzie, ale w wi?kszo?ci wypadkow takie zachowanie dotyczy jedynie pewnego podzbioru przestrzeni fazowej. Najbardziej interesuj?cy przypadek zachodzi, gdy chaotyczno?? dotyczy jakiego?
atraktora
, gdy? trajektorie z całego jego obszaru przyci?gania maj? t? własno??.
Atraktory w układach liniowych s? zwykle punktami lub okr?gami. W układach chaotycznych pojawiaj? si?
dziwne atraktory
? o bardzo zło?onej budowie, cz?sto
fraktalnej
. Jednym z najsłynniejszych przykładow jest trojwymiarowy
atraktor Lorenza
, przypominaj?cy kształtem motyla.
W celu badania własno?ci chaosu rozwini?to wiele technik w zakresie analizy rowna? ro?niczkowych oraz wykorzystano w nowy sposob wiele istniej?cych narz?dzi matematycznych. Na potrzeby
symulacji komputerowych
dla układow chaotycznych korzysta si? z
przekrojow Poincarego
, umo?liwiaj?cych zmniejszenie wymiaru przestrzeni fazowej. Nast?pnie z własno?ci tych przekrojow wnioskuje si? na temat własno?ci pełnej przestrzeni fazowej rozwi?za?.
Pierwsze odkrycia dotycz?ce chaosu mo?na przypisa?
Hadamardowi
, ktory opublikował w 1898 roku prac? dotycz?c? bil poruszaj?cych si? bez tarcia po powierzchni o ujemnej krzywi?nie. Hadamard pokazał, ?e w takich warunkach wszystkie trajektorie s? niestabilne w tym sensie, ?e oddalaj? si? od siebie wykładniczo, z dodatnim wykładnikiem Lapunowa.
Na pocz?tku XX wieku
Henri Poincare
pokazał, ?e w
problemie n-ciał
istniej? orbity, ktore s? aperiodyczne, ale nie s? zbie?ne ani rozbie?ne. Problem ten był badany w kolejnych latach przez wielu matematykow i fizykow. Efektem tych prac było pokazanie podobnego zachowania dla wielu układow, takich jak turbulentne przepływy i
oscylacje
w obwodach elektrycznych. Zbudowanie teorii opisuj?cej te zjawiska wymagało jednak dopiero zastosowania symulacji komputerowych.
Pionierem teorii chaosu stał si?
Edward Lorenz
, ktory w 1961 przeprowadzał numeryczne analizy zjawisk pogodowych. Symulowany przez niego układ opisywał własno?ci ogrzewanej, prostok?tnej komorki gazowej. Składał si? z pi?ciu rowna? ro?niczkowych nieliniowych, b?d?cych ograniczon? wersj?
rowna? Naviera-Stokesa
. Lorenz, chc?c upro?ci? obliczenia przerwane bł?dem sprz?towym, zamiast przeprowadza? je od pocz?tku, rozpocz?ł kontynuacj? symulacji od wynikow po?rednich uzyskanych przed momentem awarii. Jak zauwa?ył pod koniec, otrzymane wyniki w znaczny sposob odbiegały od symulacji przeprowadzonych od pocz?tku do ko?ca. Okazało si? to skutkiem zaokr?glenia wprowadzanych r?cznie wynikow. Rownania okazały si? zaskakuj?co czułe na niewielk? zmian? warunkow pocz?tkowych, poniewa? program wzmacniał ro?nic?, a? do zupełnego rozej?cia si? wynikow. I tak powstała reguła, ktor? Lorenz nazwał efektem motyla, a ktor? wyra?a anegdota o tym, ?e machni?cie skrzydeł motyla mo?e miesi?c po?niej doprowadzi? do huraganu
[1]
.
Przykłady układow chaotycznych
[
edytuj
|
edytuj kod
]
Istniej? przykłady układow przejawiaj?cych skomplikowane zachowanie, ktorych chaotyczno?? nie została do tej pory udowodniona. Np.
- Agnijo Banerjee, David Darling:
Dziwna matematyka
. Helion S.A., 2020.
ISBN
83-283-5687-2
.