L'
interazione gravitazionale
(o
gravitazione
o
gravita
nel linguaggio comune) e una delle quattro
interazioni fondamentali
note in
fisica
.
Nella
fisica classica
newtoniana
, la gravita e interpretata come una
forza conservativa
di attrazione
a distanza
agente fra corpi dotati di
massa
, secondo la
legge di gravitazione universale
. La sua manifestazione piu evidente nell'esperienza quotidiana e la
forza peso
.
Nella
fisica moderna
, l'attuale teoria piu completa, la
relativita generale
, interpreta l'interazione gravitazionale come una conseguenza della curvatura dello
spaziotempo
creata dalla presenza di corpi dotati di
massa
o
energia
. Una piccola massa a grande velocita o una grande massa in quiete hanno lo stesso effetto sulla curvatura dello spaziotempo circostante. Il
campo gravitazionale
che ne deriva e rappresentato matematicamente da un
tensore metrico
, legato alla curvatura dello spaziotempo attraverso il
tensore di Riemann
. In tale contesto, la forza peso diventa una
forza apparente
, conseguenza della geometria dello spaziotempo indotta dalla massa terrestre.
Le prime spiegazioni di una forza agente capace di aggregare i corpi vennero formulate, nella
filosofia greca
, all'interno di una visione
animistica
della natura, come nella dottrina di
Empedocle
, in cui domina l'alternanza di due principi,
Amore
e
Odio
, o in quella di
Anassagora
, dove prevale l'azione ordinatrice di una Mente suprema (
Nous
).
[1]
Platone
riteneva che la
materia
fosse pervasa da una
dynamis
, cioe un'
energia
intrinseca, che spinge il simile ad attrarre il simile.
[1]
Tale concezione fu ripresa da
Aristotele
, per il quale tutto l'universo anela alla perfezione del
primo motore
immobile (
Dio
). Questo anelito si esprime nel movimento circolare di
stelle
,
Sole
,
Luna
e
pianeti
, giungendo tuttavia a corrompersi progressivamente fino a diventare rettilineo nella dimensione terrestre
sublunare
. Soltanto in quest'ambito, dunque, alcuni corpi, quelli che Platone e Aristotele chiamavano
gravi
, risultano soggetti alla gravita: si trattava di composti dei
quattro elementi
fondamentali (
fuoco
,
aria
,
acqua
,
terra
), mentre l'
etere
fluttuava al di sopra di essi. Secondo la teoria aristotelica dei luoghi naturali, tutto cio che e terra tende a ritornare li dove risiede la terra, ovvero al centro dell'universo; al di sopra vi e la sfera dell'acqua che attrae tutto cio che e liquido; analogamente si comportano i cerchi dell'aria e
del fuoco
.
[2]
Come i suoi contemporanei, Aristotele interpretava la
fisica
dell'universo deducendola dalla
fisiologia
umana, sostenendo ad esempio che oggetti di peso diverso cadessero a velocita diverse, in
analogia
all'esperienza dell'uomo che tenti di contrastare il peso di un sasso,
[3]
adottando cosi una prospettiva che, seppur contraddetta nel
VI secolo
d.C. da
Giovanni Filopono
, continuera a essere insegnata fino all'epoca di Galileo. Con lo
stoicismo
, lo studio della gravita porto a scoprire una relazione tra il moto delle
maree
e i movimenti del
Sole
e della
Luna
: l'universo e infatti concepito dagli stoici come un unico organismo vivente, animato dallo
pneuma
, forza vitale che tutto pervade, che si esprime nella reciproca azione di un elemento attivo (
heghemonikon
) e di uno passivo (
hyparchon
) che ne subisce l'attrazione.
[1]
Anche per la
dottrina neoplatonica
, ripresa dalla
teologia cristiana
, il cosmo e animato dal
Logos
divino, dal quale le stelle e i pianeti risultano attratti: nel
Medioevo
il loro movimento viene spiegato in particolare con l'azione di intelligenze motrici,
ordinate gerarchicamente in un coro di angeli
. Si tratta di un universo retto da un principio
armonico
che si irradia in ogni sua parte, strutturato percio in maniera
concentrica
secondo l'insegnamento aristotelico. A fondamento di quest'ordine
geometrico
e posto
Dio
, il quale lo governa attraverso un atto d'
amore
: la gravita, come forza d'amore, cosi descritta ad esempio da
Dante
nell'ultimo verso della
Divina Commedia
.
[4]
L'analogia neoplatonica tra Dio e il
Sole
condurra tuttavia la
filosofia rinascimentale
a fare di quest'ultimo il centro di attrazione della Terra e dei pianeti.
[5]
In
Keplero
, il primo a descrivere in maniera
ellittica
le loro
orbite
, permane la concezione
animistica
e
astrologica
dell'universo, basata sulla corrispondenza armonica tra i cieli e la terra.
[6]
Egli interpretava la forza immateriale della gravita come una sorta di emanazione
magnetica
.
[1]
A partire dal
Seicento
la visione animistica della gravita verra progressivamente sostituita da una puramente
meccanicista
;
Galileo Galilei
ne forni una descrizione limitata all'aspetto quantitativo e, riprendendo l'antica idea di Filopono, teorizzo che
[7]
facendo
cadere due corpi
di masse differenti nello stesso momento, entrambi sarebbero arrivati al suolo in contemporanea.
Cartesio
nego che la gravita consistesse in una forza intrinseca, spiegandola sulla base di vortici di
etere
e riconducendo ogni fenomeno fisico al
principio di conservazione del moto
, dato dalla massa per la velocita (
mv
).
[1]
Leibniz
obiettera a Cartesio che la
quantita di moto
non bastava a definire l'essenza di una
forza
e ripristino il concetto
vitalistico
di
energia
o
vis viva
, espressa dal prodotto della massa per la velocita al quadrato (
e=mv
2
): era questa per lui a essere conservata in natura.
[8]
Un concetto di forza affine a quello di Cartesio era stato peraltro espresso da Newton, che fece della
massa
, cioe della quantita di
materia
(data dal
volume
per la
densita
) il concetto fondamentale della
meccanica gravitazionale
:
[1]
quanto piu e grande la massa di un corpo, tanto piu potente e la sua forza di gravita.
[9]
Newton
capi che la stessa forza che causa la caduta di una mela sulla
Terra
mantiene i pianeti in
orbita
attorno al
Sole
, e la
Luna
attorno alla
Terra
. Egli cosi riabilitava in parte le concezioni
astrologiche
di Keplero:
≪L'
astrologia
, pur abbandonando il
politeismo
, aveva continuato non soltanto ad attribuire un significato
magico
ai vecchi nomi divini, ma anche poteri tipicamente divini ai
pianeti
, poteri che essa trattava come "influssi" calcolabili.
Non ci si deve stupire del fatto che essa venisse rifiutata dagli
aristotelici
e da altri
razionalisti
. Essi pero la rifiutarono per i motivi in parte sbagliati e andarono troppo oltre nel loro rifiuto.
[...] La teoria newtoniana della gravitazione universale mostro non solo che la Luna poteva influenzare "
eventi sublunari
" ma,
[10]
oltre a cio, che alcuni corpi celesti superlunari esercitavano un influsso, un'attrazione gravitazionale, sulla Terra, e quindi sugli eventi sublunari, in contraddizione con la teoria aristotelica. Percio Newton accetto, consapevolmente anche se con riluttanza, una dottrina che era stata rifiutata da alcuni dei migliori cervelli, Galileo incluso.≫
Nel libro
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
, del
1687
, Newton enuncio pertanto la legge di gravitazione universale, che dimostro con il ≪metodo delle flussioni≫, un procedimento analogo alla derivazione. In seguito
Huygens
, nel suo
Horologium oscillatorium
, chiarifico la natura delle
forze centrifughe
che impediscono ai pianeti di cadere sul sole pur essendone attratti.
[1]
Restava aperto tuttavia il problema di spiegare l'
azione a distanza
tra i corpi celesti, priva di contatto materiale, al quale verra data una soluzione soltanto ai primi del
Novecento
da parte di
Einstein
, che sostitui l'etere con la tessitura dello
spazio-tempo
.
[11]
In
meccanica classica
l'interazione gravitazionale e generata da un
campo vettoriale conservativo
e descritta da una
forza
, detta
forza peso
, che agisce sugli oggetti dotati di massa.
La legge di gravitazione universale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensita
direttamente proporzionale
al prodotto delle masse dei singoli corpi e
inversamente proporzionale
al quadrato della loro distanza. Questa legge, espressa vettorialmente, diventa:
dove
e la forza con cui l'oggetto 1 e attratto dall'oggetto 2,
e la
costante di gravitazione universale
, che vale circa
,
e
sono le masse dei due corpi,
e il
vettore
congiungente i due corpi (supposti puntiformi) e
e il suo modulo; nella seconda espressione della forza (che evidenzia il fatto che il modulo della forza e inversamente proporzionale al quadrato della distanza)
rappresenta il
versore
che individua la retta congiungente i due punti materiali.
Definito il vettore
accelerazione di gravita
:
la legge di gravitazione universale puo essere espressa come:
In prossimita della superficie terrestre il valore di
e convenzionalmente:
anche espressa in
newton
su
chilogrammo
.
Il campo gravitazionale e un
campo di forze
conservativo
. Il campo generato nel punto
nello spazio dalla presenza di una
massa
nel punto
e definito come:
dove
e la
costante di gravitazione universale
e
la massa. E quindi possibile esprimere la forza esercitata sul corpo di massa
come:
L'unita di misura del campo gravitazionale nel
Sistema internazionale
e:
Il campo gravitazionale e descritto dal
potenziale gravitazionale
, definito come il valore dell'
energia gravitazionale
rilevato da una massa posta in un punto dello spazio per unita di massa. L'energia gravitazionale della massa e il livello di energia che la massa possiede a causa della sua posizione all'interno del campo gravitazionale; pertanto il potenziale gravitazionale della massa e il rapporto tra l'energia gravitazionale e il valore della massa stessa, cioe:
Essendo il campo gravitazionale conservativo, e sempre possibile definire una
funzione scalare
il cui
gradiente
, cambiato di segno, coincida con il campo:
Nel precedente paragrafo si e detto che il valore medio dell'accelerazione di gravita nei pressi della superficie terrestre e stimato in
. In realta questo valore e diverso da quello reale perche non tiene conto di fattori, come la
forza centrifuga
causata dalla rotazione terrestre e la non perfetta sfericita della terra (la terra ha la forma di un
geoide
). Il valore convenzionalmente assunto e quindi
, deciso nella terza
CGPM
nel
1901
e corrisponde all'accelerazione subita da un corpo alla latitudine di
.
Per molte applicazioni fisiche e ingegneristiche e quindi utile utilizzare una versione approssimata della forza di gravita, valida nei pressi della superficie terrestre:
dove
e un
versore
diretto lungo la
verticale
.
[12]
In sostanza la forza di gravita e approssimata con una forza di modulo costante, indipendente dalla quota del corpo, e come direzione il
basso
, nel senso comune del termine. Naturalmente anche in questa approssimazione corpi con masse diverse hanno la stessa accelerazione di gravita.
L'
energia potenziale gravitazionale
e data da:
dove
e la quota del corpo rispetto a un riferimento fisso.
In questo caso approssimato e molto semplice ricavare le leggi del moto, mediante
integrazioni
successive: per un corpo in caduta libera, chiamando
z
l'asse verticale (sempre diretto verso il basso) e proiettando il moto su di esso, valgono le seguenti leggi:
Inoltre, dalla conservazione dell'
energia meccanica
si ottiene un risultato notevole per corpi in caduta libera inizialmente fermi. Scriviamo l'energia meccanica del sistema a un tempo generico:
dove
e la
velocita
del corpo e
la sua quota. Supponiamo ora che all'istante iniziale
il corpo si trovi a una quota
e all'istante finale
abbia una velocita
e si trovi a quota
; scriviamo quindi l'energia del sistema ai due istanti:
Dato che l'energia meccanica si conserva possiamo uguagliare le due ultime equazioni e ricavarci il
modulo
della velocita dopo una caduta di una quota
:
Il problema generale della gravitazione, cioe la determinazione del campo gravitazionale creato da un insieme di masse, si puo esprimere con il
teorema di Gauss
e il
teorema della divergenza
.
Essendo la forza di gravita conservativa, si puo esprimere
come:
dove
e proporzionale all'energia potenziale gravitazionale come segue:
Dal teorema di Gauss:
Per il teorema della divergenza, il primo integrale, cioe il
flusso
della forza gravitazionale, e esprimibile come integrale di volume della sua divergenza:
Sostituendo a
la sua espressione come gradiente:
che, dovendo valere per ogni volume di integrazione, implica:
- .
Quest'ultima e una
equazione differenziale alle derivate parziali
del secondo ordine, detta
equazione di Poisson
, da completare con le opportune condizioni al contorno.
La teoria di
Newton
della gravitazione ha permesso di descrivere con accuratezza la grande maggioranza dei fenomeni gravitazionali nel Sistema Solare.
Tuttavia, da un punto di vista sperimentale essa presenta alcuni punti deboli, successivamente affrontati a partire dalla teoria della
relativita generale
:
- La teoria di Newton presuppone che la forza gravitazionale sia trasmessa istantaneamente con un meccanismo fisico non ben definito e indicato con il termine "
azione a distanza
". Lo stesso Newton tuttavia riteneva tale
azione a distanza
una spiegazione insoddisfacente del modo in cui la gravita agisse.
- Il modello di Newton di spazio e di tempo assoluti e stato contraddetto dalla teoria di Einstein della
relativita ristretta
. Tale teoria prevede che la simultaneita temporale di due eventi sia una proprieta relativa al singolo osservatore, e non una proprieta assoluta indipendente dall'osservatore. Pertanto, nessuna interazione fisica puo dipendere dalle posizioni di due corpi in uno stesso istante, dato che per un diverso osservatore le stesse posizioni nello spazio saranno assunte dai due corpi in istanti diversi. In relazione a questo, si dimostra che un'interazione fisica deve trasmettersi attraverso un campo (che risulta quindi un ente fisico a tutti gli effetti, come nell'elettromagnetismo, e non una mera costruzione matematica come e il "campo gravitazionale" nella teoria newtoniana); le variazioni del campo, infine, possono propagarsi solo a velocita finita, non superiore alla velocita della radiazione elettromagnetica nel vuoto.
- La teoria di Newton non prevede correttamente la precessione del
perielio
dell'
orbita
del pianeta
Mercurio
, dando un risultato in disaccordo con le osservazioni di alcune decine di
secondi d'arco
al secolo.
- La teoria di Newton predice che la luce sia deviata dalla gravita, ma questa deviazione e meta di quanto osservato sperimentalmente.
[13]
- Il concetto per cui
masse gravitazionali e inerziali
sono la stessa cosa (o almeno proporzionali) per tutti i corpi non e spiegato all'interno del sistema di Newton.
Einstein sviluppo una nuova teoria della gravitazione, denominata
relativita generale
, pubblicata nel
1915
.
Nella teoria di Einstein, la gravita non e una forza, come tutte le altre, ma e la proprieta della materia di deformare lo spazio-tempo. Propriamente, la gravita non e un'interazione a distanza fra due masse, ma e un
fenomeno mediato
da una deformazione dello spazio-tempo. La presenza di massa (piu in generale, di energia e impulso) determina una curvatura della geometria (piu esattamente, della struttura metrica) dello spazio-tempo: poiche i corpi che si muovono in "caduta libera" seguono nello spazio-tempo traiettorie
geodetiche
, e queste ultime non sono rettilinee se lo spazio-tempo e curvo, ecco che il moto degli altri corpi (indipendentemente dalla loro massa) subisce le accelerazioni che classicamente sono attribuite alla "forza di gravita".
I pianeti del Sistema Solare quindi hanno orbite ellittiche non per effetto di una forza di attrazione esercitata direttamente dal Sole, ma perche la massa del Sole incurva lo spazio-tempo. Il campo gravitazionale attorno a una stella e rappresentato dalla soluzione di Schwarzschild delle equazioni di Einstein, soluzione che si ottiene semplicemente assumendo le proprieta di simmetria sferica nello spazio tridimensionale di indipendenza dal tempo. Le equazioni del moto geodetico nella
metrica
di
Schwarzschild
permettono di calcolare l'orbita di un pianeta attorno a una stella: per quasi tutti i pianeti del Sistema Solare, la differenza fra queste orbite e i moti descritti dalle leggi di Keplero (soluzioni delle equazioni di Newton) non e osservabile in quanto e molto piu piccola degli effetti perturbativi dovuti all'interazione dei pianeti fra loro. L'unica eccezione e rappresentata dal moto di Mercurio, in cui la precessione dell'asse dell'orbita che si osserva e molto maggiore di quanto previsto dalla gravita newtoniana (anche tenendo conto dell'influenza degli altri pianeti), ed e invece in perfetto accordo con la previsione delle equazioni relativistiche. L'osservazione della precessione del perielio di Mercurio e quindi una delle evidenze a favore della relativita generale rispetto alla teoria gravitazionale newtoniana.
Un'ulteriore evidenza osservativa, riscontrata per la prima volta nel corso dell'eclissi solare del 1919, ma definitivamente confermata da osservazioni su scala extragalattica a partire dal 1980) consiste nell'effetto detto
lente gravitazionale
: l'immagine di un corpo celeste visto dalla Terra appare spostata rispetto alla posizione reale del corpo, talvolta anche sdoppiata, a causa della deflessione che la luce subisce quando rasenta una regione dello spazio con alta densita di massa. Questo conferma il fatto che la gravitazione deforma lo spazio-tempo, e che tale deformazione e avvertita anche da particelle prive di massa, i
fotoni
.
Sono state sviluppate alcune teorie (ancora non provate sperimentalmente) che hanno lo scopo di descrivere l'interazione gravitazionale nell'ambito della meccanica quantistica. Alcune di queste sono la
gravita quantistica a loop
e la
teoria delle stringhe
.
Il fisico matematico
Erik Verlinde
propone, rivedendo idee gia in circolazione, che la gravita sia interpretabile come la manifestazione di una forza emergente in senso
entropico
: citando le sue parole la gravita altro non e che un
≪effetto collaterale della propensione naturale verso il disordine.≫
Derivazione delle leggi della gravitazione dalla meccanica statistica applicata al principio olografico
[
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Nel 2009,
Erik Verlinde
formalizzo un modello concettuale che descrive la gravita come una forza entropica
[14]
, che suggerisce che la gravita e una conseguenza del comportamento statistico dell'informazione associata alla posizione dei corpi materiali. Questo modello combina l'approccio termodinamico della gravita con il
principio olografico
, e implica che la gravita non sia una interazione fondamentale, ma un fenomeno che emerge dal comportamento statistico dei gradi di liberta microscopici codificati su uno schermo olografico.
La legge di gravita puo essere derivata dalla meccanica statistica classica applicata al principio olografico, che afferma che la descrizione di un volume di spazio puo essere rappresentato come
bit d'informazione binaria, codificata ai confini della regione, una superficie di area
.
L'informazione e distribuita casualmente su tale superficie e ciascun bit immagazzinato in una superficie elementare dell'area.
dove
e la
lunghezza di Planck
.
Il teorema statistico di equipartizione lega la temperatura
di un sistema (espressa in
joule
, basandosi sulla
costante di Boltzmann
) con la sua energia media:
Questa energia puo essere identificata con la massa
per la relazione di equivalenza di massa ed energia:
- .
La temperatura effettiva sperimentata da un rivelatore uniformemente accelerato in un campo di vuoto o stato di vuoto e data dall'
effetto Unruh
.
Questa temperatura e:
dove
e la
costante di Planck
ridotta e
e l'accelerazione locale, che e legata alla forza
dalla
seconda legge di Newton
del moto:
- .
Assumendo ora che lo schermo olografico sia una sfera di raggio
, la sua superficie e data da:
- ,
Da questi principi si deriva la
legge di gravitazione universale
di Newton:
- .
L'iter e reversibile: leggendolo dal basso, dalla legge di gravitazione, risalendo per i principi della termodinamica si ricava l'equazione che descrive il principio olografico.
- ^
a
b
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Le sfere omocentriche di Eudosso, di Callippo e di Aristotele
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≪Ai tempi del filosofo greco non era minimamente possibile percepire un sasso che cade come qualcosa di completamente esterno all'uomo. L'esperienza era a quei tempi tale per cui l'uomo sentiva interiormente come doveva lui stesso sforzarsi e spronarsi per muoversi alla stessa velocita del sasso che cadeva ? in opposizione all'attrazione passiva esercitata dalla gravita dal di fuori≫ (Pietro Archiati,
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