La geometrie non euclidienne (GNE) est, en mathematiques , une theorie geometrique ayant recours aux axiomes et postulats poses par Euclide dans les Elements , sauf le postulat des paralleles .

Les differentes geometries non euclidiennes sont issues initialement de la volonte de demontrer la proposition du cinquieme postulat, qui apparaissait peu satisfaisant en tant que postulat car trop complexe et peut-etre redondant avec les autres postulats).

Preambule [ modifier | modifier le code ]

Dans les Elements d'Euclide, l' axiome des paralleles ressemble a la conclusion d'un theoreme , mais qui ne comporterait pas de demonstration  :

Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles interieurs du meme cote plus petits que deux droits , ces droites, prolongees a l'infini , se rencontreront du cote ou les angles sont plus petits que deux droits.

qu'on peut comprendre comme :

Par un point exterieur a une droite, il passe toujours une parallele a cette droite, et une seule.

Durant plusieurs siecles, la geometrie euclidienne a ete utilisee sans que l'on mette en doute sa validite. Elle a meme ete longtemps consideree comme l'archetype du raisonnement logico-deductif . Elle presentait en effet l'avantage de definir les proprietes intuitives des objets geometriques dans une construction mathematique rigoureuse.

Approche intuitive de la geometrie non euclidienne [ modifier | modifier le code ]

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En 1902, Henri Poincare propose un modele simple dans lequel le cinquieme postulat d’Euclide n’est pas valable. La droite est ici definie par extension comme la courbe de plus court chemin qui joint deux points de l’espace considere.

≪ Supposons un monde renferme dans une grande sphere et soumis aux lois suivantes : La temperature n'y est pas uniforme ; elle est maxima au centre, et elle diminue a mesure qu'on s'en eloigne, pour se reduire au zero absolu quand on atteint la sphere ou ce monde est renferme. [...] Un objet mobile deviendra alors de plus en plus petit a mesure qu’on se rapprochera de la sphere limite. Observons d’abord que, si ce monde est limite au point de vue de notre geometrie habituelle, il paraitra infini a ses habitants. Quand ceux-ci, en effet, veulent se rapprocher de la sphere limite, ils se refroidissent et deviennent de plus en plus petits. Les pas qu'ils font deviennent donc de plus en plus petits, de sorte qu’ils ne peuvent jamais atteindre la sphere limite. ≫Chapitre 4 "L'espace de la geometrie"

?  Henri Poincare , La Science et l'Hypothese

Etienne Ghys commente ce texte de la facon suivante :

≪ Les etres qui habitent dans ce monde ne peuvent pas savoir qu’ils rapetissent car s’ils se mesurent avec un metre ruban, le metre ruban egalement se rapetisse. Nous savons qu’ils se rapetissent mais eux ont une vie tout a fait normale et tout a fait coherente. S’ils veulent aller d’un point a un autre par le plus court chemin, nous pensons qu’ils auront tendance a se rapprocher du centre, car leurs pas sont plutot plus grands vers le centre.

Alors on peut demontrer que le plus court chemin d’un point a un autre dans cette geometrie imaginaire est un arc de cercle perpendiculaire au cercle limite. Leurs droites a eux sont nos cercles a nous. Et vous voyez que dans leur geometrie, l’axiome d’Euclide n’est pas satisfait. La droite rouge est parallele a la droite verte mais la droite bleue l’est egalement (deux droites qui ne se coupent pas sont en effet paralleles).

Il y a une infinite de paralleles qui passent par un point. Et ces gens sont raisonnables, ils ne savent pas qu’ils rapetissent. Mais ils sont tout aussi raisonnables que nous qui ignorons probablement beaucoup d’autres choses.

La morale de cette petite histoire de Poincare est qu’on peut tres bien envisager beaucoup de mondes extremement raisonnables, chacun ayant sa geometrie, chacun ayant sa logique et qui chacun peuvent nous apporter une vision de notre monde concret […].

Le mathematicien d'aujourd’hui pour resoudre un probleme, pour etudier une question, va utiliser une geometrie, va prendre sa boite a outils, et va choisir la geometrie la plus convenable pour comprendre le probleme etudie.

Voici la phrase de Poincare : Une geometrie ne peut etre plus vraie qu’une autre, elle peut simplement etre plus commode.  ≫

? Etienne Ghys ^{[ 1 ]}

Histoire des geometries non euclidiennes [ modifier | modifier le code ]

Les geometries a n dimensions et les geometries non euclidiennes sont deux branches separees de la geometrie, qui peuvent etre combinees, mais pas obligatoirement. Une confusion s'est etablie dans la litterature populaire a propos de ces deux geometries. Parce que la geometrie euclidienne etait a deux ou trois dimensions, on en concluait, a tort, que les geometries non euclidiennes comportaient necessairement des dimensions superieures ^{[ 2 ]} .

Antiquite [ modifier | modifier le code ]

La prehistoire de la geometrie non euclidienne est la longue suite de recherches et de tentatives d'eclaircissement du cinquieme postulat d'Euclide (l' axiome des paralleles ). Ce postulat ? notamment car il fait appel au concept d'infini ? a toujours paru un peu ≪ a part ≫ et non evident aux mathematiciens, qui ont cherche soit a le remplacer par un postulat plus simple et plus direct, soit a le demontrer a partir des autres postulats d'Euclide. Ainsi, les mathematiciens arabes et perses dont notamment Th?bit ibn Qurra , Alhazen , et surtout Omar Khayyam ont etudie les liens entre le postulat des paralleles et la somme des angles des quadrilateres et des triangles. Khayyam propose ainsi des le XI ^e  siecle une alternative au cinquieme postulat d'Euclide, et des tentatives de demonstration de ce postulat par l'absurde ^{[ 3 ]} .

XVII ^e  siecle [ modifier | modifier le code ]

Au XVII ^e  siecle, John Wallis et surtout Giovanni Girolamo Saccheri se sont inspires des travaux de ces mathematiciens et ont tente de demontrer le postulat des paralleles. Saccheri consacra sa vie entiere a essayer de demontrer le postulat des paralleles par l'absurde, sans y parvenir. Mais, postulant ≪ l'hypothese de l'angle aigu ≫, qui postule que la somme des angles d'un quadrilatere est inferieure a quatre angles droits , non seulement il n'aboutit a aucune contradiction mathematique flagrante, mais de plus il decouvre tout un ensemble de nouveaux theoremes, coherents et riches. Il est sur le point de decouvrir une geometrie non euclidienne (la geometrie hyperbolique , dans laquelle l'espace peut admettre une infinite de paralleles a une droite donnee et passant par un point hors de cette droite), mais il n'acceptera jamais ces nouveaux theoremes qu'il considere comme ≪ repugnants ≫ ^{[ a ]} .

Reprenant les travaux de Saccheri en 1766, Jean-Henri Lambert reprend l'hypothese de l'angle aigu, mais ne conclut pas a une contradiction. Il realise, au moins dans les toutes dernieres annees de sa vie, qu'il doit etre possible de batir des geometries coherentes, soit a partir de l'hypothese de l'angle aigu ( geometrie hyperbolique ), soit celle de l'angle obtus ^{[ b ]} ( geometrie elliptique ).

Lambert obtient notamment la formule ${\displaystyle \pi -(\alpha +\beta +\gamma )=C\,\Delta }$, ou C est une constante ^{[ c ]} , qui donne l'aire Δ d'un triangle dont les trois angles sont α , β et γ dans une geometrie fondee sur l'angle aigu (nommee de nos jours une geometrie hyperbolique ).

XIX ^e  siecle [ modifier | modifier le code ]

Gauss , des 1813 ^{[ 4 ]} , a formule la possibilite qu'il existe d'autres geometries que celle d'Euclide. Cependant il n'a jamais ose publier les resultats de ses reflexions en ce sens ≪ par crainte des cris des Beotiens ≫, comme il l'ecrivit lui-meme ^{[ 5 ]} .

On distingue les geometries a courbure negative, comme celle de Lobatchevski (1829) et Bolyai (1832) ( somme des angles d'un triangle inferieure a 180°, nombre infini de paralleles possibles a une droite par un point, par exemple la geometrie hyperbolique), des geometries a courbure positive comme celle de Riemann (1867) (somme des angles d'un triangle superieure a 180°, paralleles se rejoignant aux poles, par exemple la geometrie elliptique).

La geometrie communement appelee ≪ geometrie de Riemann ≫ est un espace spherique a trois dimensions, espace fini et cependant sans bornes, a courbure positive reguliere, alternative au postulat euclidien des paralleles. Riemann a concu par ailleurs une theorie etendue des geometries non euclidiennes a n dimensions (conference de 1854).

L'idee de ≪ geometrie non euclidienne ≫ sous-entend generalement l'idee d'un espace courbe, mais la geometrie d'un espace courbe n'est qu'une representation de la geometrie non euclidienne, precise Duncan Sommerville dans The Elements of Non-Euclidean Geometry (Londres, 1914). Il existe des espaces non euclidiens a trois dimensions.

Differents types de geometrie non euclidienne [ modifier | modifier le code ]

Geometrie hyperbolique [ modifier | modifier le code ]

Lobatchevski , Klein et Poincare ont cree des modeles de geometrie dans lesquelles on peut tracer une infinite de paralleles a une droite donnee et passant par un meme point.

Il est remarquable que seul le cinquieme postulat d'Euclide ait ete leve ; les geometries non euclidiennes respectent par ailleurs toutes les autres definitions d'Euclide. En particulier, une droite est toujours definie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface. Il existe plusieurs modeles de geometrie hyperbolique a deux dimensions : le disque de Poincare , le demi-plan de Poincare …

Geometrie elliptique [ modifier | modifier le code ]

Riemann a introduit un autre modele de geometrie non euclidienne, la geometrie spherique (parfois appelee geometrie elliptique spherique ). Dans ce cas, par un point exterieur a une droite, on ne peut mener aucune parallele (autrement dit, toutes les droites passant par un point exterieur a une droite donnee sont secantes a cette droite, ou encore toutes les droites de l'espace sont secantes entre elles). Le modele est tres simple :

• les points sont les paires de points antipodes d'une sphere ;
• les droites sont les grands cercles (c'est-a-dire les cercles ayant le meme centre que la sphere).

Cette geometrie donne une courbure positive de l'espace (la somme des angles d'un triangle est superieure a deux droits, ou la somme de deux angles successifs d'un quadrilatere est superieure a deux droits, ou encore il existe un triangle dont tous les angles sont droits).

Notes et references [ modifier | modifier le code ]

Notes [ modifier | modifier le code ]

References [ modifier | modifier le code ]

Voir aussi [ modifier | modifier le code ]

Bibliographie [ modifier | modifier le code ]

Aspects historiques [ modifier | modifier le code ]

• Luciano Boi, Le probleme mathematique de l'espace - Une quete de l'intelligible , Springer-Verlag (1995)
  Une histoire philosophique du concept mathematique d'espace, de la geometrie euclidienne au developpement des geometrie modernes non euclidiennes, dont la version riemannienne est indispensable pour la formulation de la relativite generale ; niveau premier cycle universitaire minimum.
• (en) Marvin J. Greenberg, Euclidean & Non-Euclidean geometries - Development & History , W.H. Freeman & Co., New-York ( 3 ^e edition-1996)
  Un livre de mathematiques qui retrace l'histoire et le developpement des geometries non euclidiennes, essentiellement a deux dimensions (geometries de Gauss, Bolai et Lobachevsky) ; accessible a l'≪ honnete homme cultive ≫.
• (en) Max Jammer, Concepts of space - The history of theories of space in physics , Dover Publications , Inc. ( 3 ^e edition-1993)
  Une histoire erudite du concept d'espace, depuis l'Antiquite jusqu'a nos jours ; niveau premier cycle universitaire.
• Jean-Claude Pont , L'aventure des paralleles : histoire de la geometrie non euclidienne, precurseurs et attardes , Berne, Lang, 1986 , 736  p. ( ISBN   3-261-03591-9 )
• (en) Boris Abramovich Rosenfeld ( trad.  du russe), A history of non-euclidean geometry : evolution of the concept of a geometric space , New York, Springer, 1988 ( DOI   10.1007/978-1-4419-8680-1 )
• A. Papadopoulos et Guillaume Theret, La theorie des paralleles de Johann Heinrich Lambert (edition critique du memoire de Lambert, traduction francaise, avec commentaires mathematiques et historiques), ed. Blanchard, coll. Sciences dans l'Histoire, Paris, 214 p., 2014. ( ISBN   978-2-85367-266-5 )

Ouvrages de mathematiques [ modifier | modifier le code ]

• Jean-Pierre Bourguignon , Espaces courbes [ detail des editions ]
• (en) Norbert A'Campo et Athanase Papadopoulos, Notes on hyperbolic geometry , in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1--182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zurich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, 2012 ( ISBN   978-3-03719-105-7 ) , DOI   10.4171/105
• Marcel Berger et Bernard Gostiaux , Geometrie differentielle : varietes, courbes et surfaces [ detail des editions ]
• (en) Marcel Berger , A Panoramic View of Riemannian Geometry , 2003 [ detail de l’edition ]
  Comme l'indique son titre, le grand geometre francais nous convie ici a une longue (824 pages) promenade panoramique dans le monde de la geometrie riemannienne ; les divers resultats sont pour la plupart donnes sans demonstrations detaillees, mais avec les references idoines pour le lecteur qui souhaiterait mettre ≪ les mains dans le cambouis ≫ ; le dernier chapitre donne les bases techniques du domaine.
• Jean-Marc Daudonnet, Bernard Fischer, Courbure des surfaces. Introduction aux geometries non euclidiennes , JIPTO 2009 ( ISBN   2-35175-028-4 )
• Boris Doubrovine   (de) , Anatoli Fomenko et Serguei Novikov , Geometrie contemporaine - Methodes et applications , 1984 [ detail des editions ] (Premiere partie : geometrie des surfaces, des groupes de transformations et des champs).
  Une introduction tres pedagogique a la geometrie, avec des applications a la physique, ecrite par des specialistes russes. L'approche etant plutot intuitive, cet ouvrage est accessible a partir du premier cycle universitaire pour un ≪ bon ≫ etudiant motive.
• (en) Birger Iversen, Hyperbolic Geometry , London Mathematical Society Student Texts 25, Cambridge University Press , 1992 ( ISBN   0-521-43528-5 )
• (en) Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, Translator and Editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010
• (en) Michael Spivak , (A Comprehensive Introduction to) Differential Geometry [ detail des editions ]
  Traite de reference en cinq volumes.
• (en) John Stillwell , Geometry of Surfaces , 1992 , coll.  ≪ Universitext ≫, 1995 , 236  p. ( ISBN   978-0-387-97743-0 , lire en ligne )

Ouvrages pour physiciens theoriciens [ modifier | modifier le code ]

• (en) Yvonne Choquet-Bruhat et Cecile DeWitt-Morette , Analysis, Manifolds and Physics - Part I: Basics , North-Holland, 1989 ( ISBN   978-0-44486017-0 )
• (en) Theodore Frankel, The Geometry of Physics - An introduction , Cambridge University Press, 2004, 2 ^e ed. revisee et illustree ( ISBN   978-0-52153927-2 )
• (en) Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics , Institute of Physics Publishing, 2003, 2 ^e ed. illustree ( ISBN   978-0-75030606-5 )
• (en) Charles Nash et Siddhartha Sen, Topology and Geometry for Physicists , Academic Press , 1983 ( ISBN   978-0-12514080-5 )

Ouvrages de philosophie [ modifier | modifier le code ]

• Gaston Bachelard , Le nouvel esprit scientifique , 1934.
  Introduction non technique au sujet.
• Imre Toth , Liberte et verite. Pensee mathematique et speculation philosophique , Paris, Editions de l'Eclat, 2009, 144 p.
  Une critique des reticences fregeennes sur la GNE.
• Imre Toth, Palimpseste. Propos avant un triangle , Paris, Presses universitaires de France , 2000, 528 p., ( ISBN   9782130500032 ) .

Aspects ludiques [ modifier | modifier le code ]

Jean-Pierre Petit , Le Geometricon , bande dessinee de la collection Les Aventures d' Anselme Lanturlu , ed. Belin, ( ISBN   2-7011-0372-X )

Articles connexes [ modifier | modifier le code ]

Liens externes [ modifier | modifier le code ]

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• Notices dans des dictionnaires ou encyclopedies generalistes  :

  • Britannica
  • Den Store Danske Encyklopædi
  • Store norske leksikon
• Les geometries non-euclidiennes , Denis van Waerebeke, Cedric Piktoroff (realisation), dans Voyages au pays des maths  sur Arte ( 2022 , 10 minutes) Consulte le 20 mai 2023 .
• Promenade non euclidienne , conference donnee par Charles Boubel, ENS Lyon .
• Tractrices, pseudosphere
• Geometries planes non euclidiennes sur le site universitaire associe a Cabri Geometre
• Plan hyperbolique , par Xavier Hubaut

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