Nemeuklideszi geometria

A geometriai rendszerek ? geometriak ? az alapozasban megfogalmazott premisszakban ^[1] kulonboznek. Az euklideszi geometria axiomarendszeret?l elter? alapokra epitett rendszereket kozos neven nemeuklideszi geometriaknak nevezzuk. Eleinte csak az els?kent felfedezett Bolyai ? Lobacsevszkij -fele geometriat illettek az elnevezessel, de kes?bb ujabb geometriakat is talaltak.

Az euklideszi parhuzamossag [ szerkesztes ]

Eukleidesz az Elemek I. konyveben definialja az egyenesek parhuzamossagat:

23. definicio: Ket egyenes parhuzamos, ha azok egy sikban fekszenek es mindket iranyban meghosszabbitva nem metszik egymast .

Az evezredes problemat okozo 5. posztulatum pedig kimondja, hogy

Ha egy egyenes ugy metsz ket egyenest, hogy az egyik oldalan keletkez? bels? szogek osszege kisebb ket derekszognel, akkor e ket egyenes a metsz?nek ezen oldalan meghosszabbitva metszi egymast .

A nemeuklideszi parhuzamossag [ szerkesztes ]

Bolyai es Lobacsevszkij a parhuzamost egy kuls? pont korul forgatott szel?k hatarhelyzetekent definialjak. Az $AM$ egyenesen kivul fekv? $B$ pont korul forgatott egyenesek kozul az a $BC$ parhuzamos az $AM$ -mel, amelyik elpattan t?le . Mas fogalmazasban a forgatott egyenesek kozul a parhuzamos az els? nem metsz? . Bolyai ezt a parhuzamost aszimptotikus parhuzamosnak , vagy egyszer?bben aszimptotanak nevezte. ^[2]

Mivel a forgatott egyenes egyre tavolabb metszi az $AM$ egyenest, kiserlettel nem lehet eldonteni, hogy mikor, az $\alpha$ szog milyen ertekenel kovetkezik be ez az elpattanas. A ket kutato ezt a szoget a parhuzamossag szogenek nevezte. Mindketten eljutottak annak felismereseig, hogy a parhuzamossagi szog a $B$ pont es az $AM$ egyenes kozotti tavolsaggal osszefuggesben van: $\Pi (a)$ . Kettejuk munkaja kozott csupan annyi a lenyeges kulonbseg, hogy Lobacsevszkij a definiciot kovet?en szetvalasztja a ket lehetseges esetet es az euklideszit?l elter? hiperbolikus geometria teteleit, mig Bolyai a ket esetet egyutt kezelve a ketfele geometria kozos reszet, az abszolut geometria teteleit dolgozta ki. Az az eredmeny is kozismert, hogy a haromszogek szogeinek osszege is aszerint egyenl? vagy kisebb ket derekszognel, hogy a sikja euklideszi vagy hiperbolikus.

A hiperbolikus elnevezest a parhuzamos egyenes es a hiperbola rokonitasa magyarazza. E geometriaban a parhuzamosok kozotti tavolsag csokken, aszimptotikusan kozelednek egymashoz. Ugyancsak fontos kulonbseget jelent, hogy a balra forgatott egyenes altal meghatarozott parhuzamos nem azonos a jobbra forgatottal. Ez ellentmond az idezett I.23. definicionak.

Egy harmadik parhuzamossag [ szerkesztes ]

Az 5. posztulatum elhagyasaval kapott maradek axiomakbol kovetkezik (bizonyithato), hogy a parhuzamossag szoge nem lehet derekszognel nagyobb, s ennek kovetkezmenye, hogy a haromszogek szogeinek osszege sem lehet ket derekszognel nagyobb. A paralellakkal foglalkozo Gerolamo Saccheri (1667?1733) es Johann Heinrich Lambert (1728?1777) eljutottak egy olyan felismeresig, hogy ezt a lehet?seget sem szabad elvetni. Meg kell vizsgalni olyan geometriai rendszerek lehet?seget is, amelyekben a szogosszeg nagyobb $2\pi$ -nel. Mivel ez a maradek axiomaknak ellentmond, tovabbi axioma(ka)t kell megvaltoztatni, elhagyni vagy masokkal helyettesiteni.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826?1866) ket ilyen valtoztatas lehet?seget mutatta meg, s ezzel ket ujabb nemeuklideszi rendszert konstrualt:

1. Egyszeres elliptikus geometria :

1/a. Az egyenes nem valasztja el egymastol a ket felsik pontjait.

1/b. Ket egyenesnek mindig van egy kozos pontja.

2. Ketszeres elliptikus geometria :

2/0. Az egyenes elvalasztja a ket felsik pontjait.

2/b. Ket egyenesnek pontosan ket kozos pontja van.

Az elliptikus geometria az euklideszi gombfeluleten ervenyes szferikus geometriaval rokon. A hiperbolikus geometria a pszeudoszfera feluleti geometriajaval modellezhet?.

A harom geometria osszevetese [ szerkesztes ]

Felix Klein t?l (1849?1925) szarmazik a haromfele geometria es a kupszeletek nomenklaturajanak osszekapcsolasa, mely ez utobbiak idealis pontjainak szama es az egyeneshez kuls? pontbol huzhato parhuzamosok szama kozotti analogiara utal. Ennek nyoman hasznaljuk ezeket a jelz?ket az Eukleidesz (parabolikus), a Bolyai - Lobacsevszkij (hiperbolikus) es a Riemann (elliptikus) nevehez kapcsolt geometriak megkulonboztetesere.

Az alabbiakban a harom rendszerben ervenyes nehany trigonometriai osszefuggesb?l lathato a kulonbseg, de a rokonsag is:

1. A sikharomszogek szinusztetele :

1.a. Euklideszi:

{\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}

.

1.b. Hiperbolikus:

{\frac {\sin \alpha }{\mathrm {sh} a}}={\frac {\sin \beta }{\mathrm {sh} b}}={\frac {\sin \gamma }{\mathrm {sh} c}}

.

1.c. Elliptikus:

{\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}={\frac {\sin \gamma }{\sin c}}

.

2. A sikharomszogek koszinusztetele :

2.a. Euklideszi:

a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma =c^{2}

.

2.b. Hiperbolikus:

\mathrm {ch} a\cdot \mathrm {ch} b+\mathrm {sh} a\cdot \mathrm {sh} b\cdot \cos \gamma =\mathrm {ch} c

.

2.c. Elliptikus:

\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma =\cos c

.

(Az elliptikus tetelek a gombharomszogtan ismert osszefuggesei.)

Meg tobb geometria [ szerkesztes ]

Arthur Cayley (1821-1895) korabbi kutatasaira tamaszkodva Felix Klein hivta fel a figyelmet arra, hogy a harom geometria az egyenesen harom elter? metrikat hasznal: (A. abra)

A parabolikus (euklideszi) metrika a szakaszok hosszat az egyseghez ( $OE$ ) viszonyitott aranyukkal meri: $d_{p}(AB)=AB:OE$ .
Az elliptikus metrika a kuls? $O$ pontbol indulo egyenesek szogevel meri a szakaszt: $d_{e}(AB)=AOB\angle$ .
A hiperbolikus metrika az $X$ es $Y$ alappontokkal alkotott kett?sviszonyt hasznalja: $d_{h}(AB)=k\cdot \ln(ABXY)$ .

A pontsor analogiajara definialhato a sugarsorok metrikaja, a szogmeres (B. abra):

Parabolikus metrika: $\delta _{p}(ab)=AB$ . (A csucsot elkerul? egyenesen lev? metszet)
Elliptikus metrika: $\delta _{e}(ab)=ab\angle$ . (A "kozonseges" szogmertek)
Hiperbolikus metrika: $\delta _{h}(ab)=k\cdot \ln(abxy)$ .

A sikban a lehetseges geometriak ugy adodnak, hogy valasztunk egy szakasz?metrikat es egy szog?metrikat, tehat 3´3 = 9 sikbeli geometriai rendszert konstrualhatunk. (A terben ezekhez meg a lapszogek metrikajat kell csatolnunk, s ezzel 3´3´3 = 27-fele geometriai rendszert valaszthatunk.) A kovetkez? tablazat mutatja a lehetseges sikgeometriakat:

Ezeknek a sikgeometriaknak a "letezeset" modellek segitsegevel lehet igazolni. Ezekben a modellekben az egyenesek es/vagy a pontok szerepet mas alakzatok veszik at. A veges modellek hasznalata vezetett a veges geometriak megalkotasahoz.

Jegyzetek [ szerkesztes ]

↑ <A definiciok, axiomak, posztulatumok kozos megnevezese>
↑ <A torteneti h?seghez tartozik, hogy Lobacsevszkij es Bolyai szemlelete kozott a lenyeget nem erint? elteres van: Lobacsevszkij a kuls? ponton atmen? egyenesek ket osztalyat ? a metsz?ket es a nem-metsz?ket ? elvalaszto ket egyenest nevezi parhuzamosnak, mig Bolyai a kuls? pontbol indulo felegyenesekr?l es ezek forgatasarol beszel.>

Kapcsolodo szocikkek [ szerkesztes ]

projektiv geometria

Forrasok [ szerkesztes ]

Hajos Gyorgy : Bevezetes a geometriaba - Tankonyvkiado, Budapest, 1960.
Bonola, Roberto: A nemeuklideszi geometria tortenete ? (inedita) [1]
Reinhardt,F.-Soeder,H.: SH atlasz-Matematika, Springer-Verlag, Budapest-Berlin, 1993.
Euklidesz: Elemek (Mayer Gyula ford.), Gondolat, 1983. http://mek.oszk.hu/00800/00857
Bolyai Janos : Appendix, a ter tudomanya (Akademiai Kiado, 1973)
Lobacsevszkij, N.I.: Geometriai vizsgalatok …( Akademiai Kiado , 1951)
Einstein, Albert: A specialis es altalanos relativitas elmelete (Gondolat, 1963)
Ribnyikov, K.A.: A matematika tortenete (Tankonyvkiado, 1968)
Kerekjarto Bela: A geometria alapjairol (Akademiai Kiado, 19??)
Jaglom, I.M.: Galilei relativitasi elve es egy nemeuklideszi geometria (Gondolat,1985)
Kerekjarto Bela: A geometria alapjairol (Akademiai Kiado, 19??)
Karteszi Ferenc: Bevezetes a veges geometriakba (Akademiai Kiado, 1972)

Matematikaportal ? osszefoglalo, szines tartalomajanlo lap

[1] <A definiciok, axiomak, posztulatumok kozos megnevezese>

[2] <A torteneti h?seghez tartozik, hogy Lobacsevszkij es Bolyai szemlelete kozott a lenyeget nem erint? elteres van: Lobacsevszkij a kuls? ponton atmen? egyenesek ket osztalyat ? a metsz?ket es a nem-metsz?ket ? elvalaszto ket egyenest nevezi parhuzamosnak, mig Bolyai a kuls? pontbol indulo felegyenesekr?l es ezek forgatasarol beszel.>

[1]

[2]