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Felix Klein

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Pour les articles homonymes, voir Felix Klein (pretre) et Klein .

Felix Klein
Fonction
Depute de la chambre des seigneurs
-
Biographie
Naissance
Deces
Sepulture
Nom de naissance
Felix Christian Klein Voir et modifier les données sur Wikidata
Nationalites
Formation
Activites
Conjoint
Anna Klein ( d ) Voir et modifier les données sur Wikidata
Autres informations
A travaille pour
Membre de
Conflit
Directeurs de these
Distinctions
Liste detaillee
Membre etranger de la Royal Society ( )
Medaille De Morgan ( )
Ordre bavarois de Maximilien pour la science et l'art ( )
Medaille Copley ( )
Prix Alfred Ackermann-Teubner ( )
Ordre Pour le Merite pour les sciences et arts ( d ) Voir et modifier les données sur Wikidata
Archives conservees par
Œuvres principales
Sincere et Constanter (sincere et constant)

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Felix Christian Klein , ne le a Dusseldorf et mort le a Gottingen ) est un mathematicien allemand , connu pour ses travaux en theorie des groupes , en geometrie non euclidienne , et en analyse . Il a aussi enonce le tres influent programme d'Erlangen , qui ramene l'etude des differentes geometries a celle de leurs groupes de symetrie respectifs.

Biographie [ modifier | modifier le code ]

Premieres annees [ modifier | modifier le code ]

Felix Klein nait le , date au sujet de laquelle il aimait faire remarquer sa composition de trois carres de nombres premiers (5, 2 et 43) [ 2 ] , a Dusseldorf , siege du gouvernement provincial de la Rhenanie prussienne et important centre industriel du Royaume de Prusse . A la difference d'autres regions de Rhenanie, Dusseldorf est principalement protestante, comme la famille Klein. Son pere, Caspar, homme aux idees strictement conservatrices, est secretaire du gouverneur provincial. Apres une education elementaire dispensee par sa mere, Elise, Felix est admis a l'age de six ans dans un college prive qu'il quitte deux ans et demi plus tard et rentre, en 1857, a la demande de son pere, au gymnasium de Dusseldorf. Conformement au modele d'education prussien, une grande attention est accordee essentiellement au latin et au grec, beaucoup moins a la formation mathematique. Comme il porte un grand interet aux disciplines scientifiques, des amis de la famille se chargent de completer son education mathematique. A l'age de seize ans, il integre l' universite de Bonn . Il veut etre physicien et, tres vite, il attire l'attention de Julius Plucker , qui dirige alors le departement de physique et mathematiques de l'universite. En 1866, il devient ainsi son assistant au laboratoire de physique. Apres de nombreuses annees consacrees a la physique, Plucker commence, au moment ou il fait la connaissance de Klein, a s'interesser a la geometrie. En 1868, il publie d'ailleurs le premier tome de Neue Geometrie des Raumes [ n 1 ] , fondee sur une conception de la ligne droite comme objet fondamental de l'espace. Dans ses travaux, Plucker utilise l'idee de la quatrieme dimension [ n 2 ] . Klein passe son doctorat en 1868, sous la direction de Plucker et Lipschitz . Plucker meurt cette meme annee, laissant derriere lui un livre inacheve sur la geometrie des droites projectives (voir coordonnees pluckeriennes ). Felix Klein perd son poste d'assistant du laboratoire de physique a l'universite de Bonn, mais il est la personne la mieux placee pour completer la seconde partie [ 4 ] . Desormais age de dix-neuf ans, il reoriente sa formation vers les mathematiques, sans pour autant en perdre de vue les applications dans le domaine de la physique [ 5 ] .

L'ascension du mathematicien [ modifier | modifier le code ]

Immediatement invite par Alfred Clebsch [ n 3 ] a l' universite de Gottingen , il quitte Bonn afin d'y completer l'edition du second volume de geometrie que son precedent mentor a laisse inacheve [ 4 ] . La minutieuse etude que Klein entreprend afin de publier le travail initie par Plucker lui sert d'inspiration pour ecrire une premiere serie d'articles independants, contribuant a son propre developpement en tant que mathematicien. Aux cotes de Clebsch, il apprend le concept d' ≪  invariant geometrique ≫ . En effet, Clebsch travaille a la theorie des invariants , developpee par des mathematiciens britanniques tels que George Boole , Arthur Cayley et James Joseph Sylvester [ 6 ] .

A Gottingen, aupres de Clebsch, Klein trouve une atmosphere propice a sa formation. Neanmoins, il eprouve la necessite de decouvrir d'autres ecoles et courants mathematiques. Il se rend a Berlin a l'automne 1869 pour assister aux seminaires organises par Karl Weierstrass et y croise d'autres jeunes mathematiciens qui auront plus tard une grande influence sur ses travaux, dont l'Autrichien Otto Stolz et le Norvegien Sophus Lie . Par contre, sa rencontre avec Karl Weierstrass est moins plaisante [ n 4 ] , les relations entre Weierstrass et Klein seront marquees par l'absence de communication et de comprehension [ 7 ] .

Encourage par Clebsch, qui est en contact avec Camille Jordan dont Klein connait les travaux, il prend la route de Paris en compagnie de Sophus Lie au cours de l'ete 1870. Ils prennent contact avec Jordan et Gaston Darboux , des liens interrompus le 19 juillet par la guerre franco-allemande de 1870 . Klein retourne en Allemagne ou il sert un temps dans l'armee prussienne [ n 5 ] avant d'etre habilite a enseigner en tant que Privatdozent a Gottingen en 1871.

La meme annee, il publie dans Mathematische Annalen la premiere partie de l'article intitule ≪ Sur la geometrie dite non euclidienne ≫ , dont la seconde partie paraitra deux ans plus tard. Dans ce premier essai, il demontre qu'il est possible de considerer les geometries euclidienne et non euclidienne comme des cas particuliers de la geometrie projective [ 9 ] .

Erlangen [ modifier | modifier le code ]

En 1872, a l'age de 23 ans, Klein obtient une chaire a l' Universite d'Erlangen [ 10 ] grace a l'aide providentielle de Clebsch, qui voit en lui l'un des futurs plus grands mathematiciens de son temps [ 11 ] . Selon la coutume, il doit donner une conference inaugurale. Il prepare un texte qui circule initialement entre un nombre restreint de lecteurs, sous le titre de Vergleichende Betrachtungen uber neuere geometrische Forschungen [ n 6 ] . Il s'agit du fameux Programme d'Erlangen dans lequel il propose un point de vue revolutionnaire sur la geometrie. Bien que ses qualites d'enseignant soient appreciees a Erlangen, il n'a au debut que deux eleves dans sa classe [ 12 ] .

Dans un premier temps, le Programme d'Erlangen n'est pas bien accueilli, sans doute parce que le manuscrit n'a pas beneficie d'une large diffusion [ n 7 ] . Felix Klein ne reste que trois ans a Erlangen ? il n'a pas beaucoup d'eleves ?, mais a assez de temps a consacrer a la recherche. En 1872, Clebsch succombe a la diphterie a l'age de 39 ans. Klein s'occupe alors de la publication de la revue Mathematische Annalen ? responsabilite qu'il assumera presque jusqu'a la fin de sa vie ? et parvient a en faire la plus importante publication mathematique de l'epoque, ce qui contribue a renforcer son aura scientifique a l'echelle internationale. En 1875, une nouvelle chaire lui est proposee a Munich [ 13 ] .

De Munich a Leipzig [ modifier | modifier le code ]

Bouteille de Klein artisanale

Il est heureux de se voir offrir une chaire a la Technische Hochschule de Munich en 1875 [ 11 ] . Cette meme annee, il epouse Anne Hegel (1851-1927), petite-fille du philosophe Hegel , ≪ entamant ainsi une vie rangee ≫ , comme il l'ecrit des annees plus tard. L'idealisation et la construction de modeles mathematiques sont une activite que Felix Klein a pratiquee bien avant de creer la fameuse surface qui porte son nom. A Munich, il rencontre le mathematicien Alexander von Brill , qui partage sa passion pour les modeles mathematiques. Ensemble, ils fondent un laboratoire pour developper ce type de modeles. Leur construction fait partie du travail du Seminaire de mathematiques qu'ils organisent, et de nombreux etudiants y contribuent en concevant des modeles qu'ils utilisent dans leurs memoires [ n 8 ] . A l'universite de Munich, il enseigne les mathematiques a des eleves ingenieurs. Il doit egalement donner des cours de geometrie a de futurs professeurs de mathematiques tels que Adolf Hurwitz , Walther von Dyck , Carl Runge , Max Planck , Luigi Bianchi et Gregorio Ricci-Curbastro . Tout en s'occupant de ses nombreux eleves, il continue de travailler sur l'algebre et la theorie des variables complexes. Il developpe ainsi son point de vue geometrique de la theorie de Galois et prepare la voie a ce qui sera, selon ses propres mots, sa contribution la plus profonde et originale a la discipline : la theorie des fonctions automorphes. Cinq ans plus tard, en 1880, Klein obtient une chaire de geometrie a l' universite de Leipzig , une des plus prestigieuses d'Allemagne, mais dont la faculte de mathematiques manque serieusement de dynamisme [ 11 ] . Il y poursuit ses travaux sur la theorie des groupes , la geometrie et les ≪ fonctions automorphes ≫ , un type special de fonctions complexes d'une variable complexe, explore aussi par Henri Poincare . Tres vite, Poincare fait de tels progres que Klein a quelque mal a suivre la cadence. Une rivalite s'instaure entre eux pour savoir qui obtiendra les resultats les meilleurs et les plus nombreux, competition dont Klein finit par faire les frais. Apres la publication, en 1882, de quelques-unes de ses decouvertes sur les surfaces de Riemann , il tombe dans une depression profonde, imputable au surmenage. Jusqu'en 1884, il abandonne, des lors, les avant-postes de la recherche mathematique , mais d'autres domaines l'accaparent et il s'y consacre avec ardeur. Un des premiers travaux auxquels il se consacre apres sa convalescence est de reprendre l'etude des solutions de l'equation du cinquieme degre, en mettant a contribution les symetries de l' icosaedre , la theorie de Galois et les fonctions modulaires elliptiques, deja presentes dans la solution de Charles Hermite et qui constituent un type particulier de fonctions automorphes, une categorie de fonctions sur lesquelles lui-meme et Poincare s'etaient penches si intensement des annees auparavant [ n 9 ] , [ 16 ] .

Renaissance de Gottingen [ modifier | modifier le code ]

En 1886, Klein accepte sur-le-champ un poste a l' Universite de Gottingen [ 11 ] , [ 10 ] . Friedrich Althoff [ n 10 ] est un des artisans majeurs de son affectation a la chaire de mathematiques. Klein prend comme assistant son neveu Robert Fricke, dont il avait dirige la these de doctorat, afin de collaborer a la redaction et la publication du traite en quatre tomes Lecons sur la theorie des fonctions modulaires [ n 11 ] . Son idee est de faire de Gottingen un centre ou les mathematiciens travailleront avec des physiciens et des ingenieurs. Ces tentatives se heurtent a l'opposition active de ses collegues Ernst Schering et surtout Hermann Amandus Schwarz , responsable du departement des mathematiques. En 1892, Schwarz est pressenti pour remplacer Karl Weierstrass a l' universite Humboldt de Berlin , et Klein a ainsi les mains libres pour faire de Gottingen le centre de recherches mathematiques dont il reve depuis longtemps. Les annees suivantes, son universite s'impose comme l'institut allemand de reference pour les mathematiques et la physique, devant Berlin [ 19 ] .

Schwarz parti a Berlin, Klein tente vainement de faire venir Adolf Hurwitz et David Hilbert dont il connait la grande valeur. Il echoue et le poste est attribue a Heinrich Weber qui occupe la chaire jusqu'a son affectation, en 1895, a l' universite de Strasbourg . A ce moment, Klein ? dont le pouvoir decisionnel s'est significativement renforce ? reussit a offrir la chaire a David Hilbert [ n 12 ] . Hilbert revolutionne la vie de l'universite des son arrivee, il noue des liens d'amitie avec les Privatdozent et ses etudiants. Il restera a Gottingen jusqu'a la fin de ses jours, apportant a l'universite, sous la direction de Klein, plus de force et de prestige qu'aucun autre mathematicien de son epoque n'aurait pu le faire [ 21 ] .

En 1898, Klein soutient la creation de l'Association de Gottingen pour le developpement des mathematiques et de la physique appliquees , a laquelle participent une cinquantaine d'industriels, dans le but de creer et soutenir des instituts de recherche favorisant la collaboration entre les sciences et l'industrie. L'association de la physique et des mathematiques est une constante a Gottingen tout au long du mandat de Klein. En 1902, Hilbert obtient de Friedrich Althoff la creation d'une nouvelle chaire de mathematiques pour son ami Hermann Minkowski . En 1904, Klein obtient la creation d'une nouvelle chaire de mathematiques appliquees pour le physicien et mathematicien Carl Runge . En 1905, Hilbert et Minkowski assurent la coordination d'un seminaire sur l'Electrodynamique des corps en mouvement , ou ils abordent des problemes qui, plus tard, seront englobes dans la relativite . Klein s'interesse immediatement aux theories relativistes d' Einstein , car il saisit d'emblee que les nouvelles theses du physicien s'accordent parfaitement a sa nouvelle conception de la geometrie, incarnee dans le Programme d'Erlangen . Son interet pour la relativite se repand a Gottingen, qui est ainsi un des premiers endroits ou Einstein est invite a exposer ses theories [ 22 ] .

Dernieres annees [ modifier | modifier le code ]

Il prend sa retraite en 1913, apres une longue maladie qui l'a contraint a plusieurs sejours en sanatorium, mais continue d'enseigner les mathematiques, la science et son histoire a des cercles restreints d'etudiants et de collegues. Le fruit de ses causeries est la matiere de son dernier livre Lecon sur le developpement des mathematiques au XIX e  siecle , publie en 1926. Il poursuit au cote de Hilbert ses recherches sur certains aspects de la relativite generale . Jusqu'au bout, il trouve de nouvelles idees et facons d'expliquer les choses. Grace Chisholm Young raconte que lorsqu'il donnait des cours a d'autres professeurs, il leur disait toujours : ≪ Ne soyez jamais ennuyeux ! ≫ . En octobre 1914, il est signataire du tres controverse manifeste des 93 . Il decede le [ 23 ] .

Les femmes mathematiciennes de Gottingen [ modifier | modifier le code ]

La Russe Sofia Kovalevskaia fait partie des grandes mathematiciennes dont le nom est associe a Gottingen : grace a l'intercession de Karl Weierstrass , elle se voit decerner en 1874, in absentia , le titre de docteur en mathematiques par l'universite de Gottingen, qui consacre trois memoires qu'elle avait presentes sur les equation aux derivees partielles , sur la forme des anneaux de Saturne et sur les integrales abeliennes . Pendant le mandat de Klein, une etudiante britannique diplomee de Cambridge , Grace Chisholm , s'inscrit a Gottingen en 1893 et obtient en 1895 son doctorat, sous la direction de Klein, grace a une these ou elle applique la theorie des groupes de Klein a la trigonometrie spherique . En 1902, Emmy Noether assiste aux cours de David Hilbert , Hermann Minkowski et Klein. En 1915, elle est invitee par Hilbert et Klein a rejoindre le renomme departement de mathematiques de l'universite pour y dispenser des cours, au nom de Hilbert [ n 13 ] . En 1922, elle sera promue professeur associee sans statut et sera la premiere femme a diriger des theses de doctorat a Gottingen [ 25 ] , [ 26 ] .

Klein et l'enseignement des mathematiques [ modifier | modifier le code ]

A partir de 1900, Klein s'interesse a l'apprentissage des mathematiques dans les ecoles. En 1905, il recommande d'enseigner la representation dans l'espace et les rudiments du calcul integral et differentiel des le secondaire. Cette recommandation est progressivement appliquee dans de nombreux pays a travers le monde. Il s'est engage egalement dans la didactique des mathematiques.

Activites diverses [ modifier | modifier le code ]

Sous la direction de Klein, les Mathematische Annalen deviennent un des journaux de mathematiques les plus connus du monde. Fonde par Clebsch , ce journal rivalise puis surpasse le Journal de Crelle . Klein a mis en place une petite equipe de redacteurs qui se reunissent regulierement pour prendre des decisions democratiques. Le journal se specialise dans l' analyse complexe et la geometrie algebrique . Il publie aussi sur l' analyse reelle et la theorie naissante des groupes .

Posterite [ modifier | modifier le code ]

En 2008, l' Union mathematique internationale et la Commission internationale de l'enseignement mathematique lancent le ≪ projet Klein ≫ pour renouer avec l'ambition de Klein, exprimee en 1908 dans son livre Mathematiques elementaires d'un point de vue superieur [ n 14 ] , dont le premier tome est consacre a l'arithmetique, a l'algebre et a l'analyse, et le deuxieme tome a la geometrie. Un troisieme et dernier volume complete la collection sous le titre Mathematiques de la precision et de l'approximation , paru en 1928, apres son deces. Le texte a d'emblee un grand retentissement en Allemagne, mais aussi dans toute l'Europe [ 28 ] .

Felix Klein etait un travailleur ordonne et systematique. La plus impressionnante des collections de Gottingen est sans doute celle du Seminar-Protokolle de Felix Klein. Il s'agit d'un registre detaille de plus de 8 000 pages manuscrites rassemblant en 29 volumes quarante annees de seminaires, conferences et cours dispenses par Klein, ses confreres, ses eleves et les visiteurs invites. Les Protocoles commencent avec les seminaires et conferences du semestre de l'ete 1872 et se poursuivent jusqu'a sa retraite en 1913. Les Protocoles peuvent desormais etre consultes en version numerique grace a un projet de l' Institut de mathematiques Clay [ 29 ] .

Le travail editorial le plus ambitieux de Felix Klein est l'edition d'une encyclopedie relative aux mathematiques et a leurs applications [ n 15 ] . L'integration des applications repond a sa conviction qu'elles sont essentielles pour mieux comprendre les mathematiques. Le premier volume parait en 1898 et le dernier en 1933, et il y en a six au total, distribues en une trentaine de tomes, qui occupent plus de 20 000 pages. Le responsable du projet est Walther von Dyck , mais Klein a pris une part active a la construction du plan global, raison pour laquelle on appelle parfois l'ouvrage ≪ l'Encyclopedie de Klein ≫ [ 31 ]

Hommages et honneurs [ modifier | modifier le code ]

Klein est elu membre etranger de la Royal Society le [ 32 ] .

La London Mathematical Society lui decerne la medaille De Morgan en 1893.

Il est laureat de la medaille Copley en 1912.

Un asteroide de la ceinture principale , decouvert le porte son nom : le (12045) Klein .

Ses etudiants les plus eminents [ modifier | modifier le code ]

Klein a dirige la these de nombreux etudiants : Ludwig Bieberbach , Maxime Bocher , Oskar Bolza , Frank Nelson Cole , Henry Fine   (de) , Erwin Freundlich   (de) , Robert Fricke , Philipp Furtwangler , Axel Harnack , Adolf Hurwitz , Edward Kasner , Ferdinand von Lindemann , Alexander Ostrowski , Erwin Papperitz   (de) , Karl Rohn   (en) , Hermann Rothe , Virgil Snyder , Otto Staude   (de) , Anton Aloys Timpe   (de) , William Edward Story , Edward Burr Van Vleck , Henry Seely White , Alexander Witting   (en) , Grace Chisholm Young , Walther von Dyck …

Travaux [ modifier | modifier le code ]

Le programme d'Erlangen [ modifier | modifier le code ]

Sophus Lie presente a Klein le concept de groupes, qu'il a aussi etudie aux cotes de Camille Jordan . Les premieres decouvertes importantes de Klein datent de 1870. En collaboration avec Lie, il etudie les proprietes fondamentales des lignes asymptotiques sur la surface de Kummer   (en) . Ils en viennent a s'interesser a des courbes invariantes sous un groupe de transformations projectives.

En 1871, alors a Gottingen, Klein fait d'importantes decouvertes en geometrie. Il publie deux articles, dont Sur la geometrie dite non euclidienne , placant les geometries euclidiennes et non euclidennes sur un meme plan, et mettant un terme a la controverse autour de la geometrie non euclidienne .

La synthese de Klein de la geometrie comme etude des invariants sous un groupe de transformations donne, connue sous le nom de programme d'Erlangen (1872), influenca profondement l'evolution de la geometrie et des mathematiques dans leur ensemble. Ce programme etait le cours inaugural de Klein comme professeur a Erlangen. Il propose une vision unifiee de la geometrie. Klein decrit en detail comment les proprietes centrales d'une geometrie donnee se traduisent par l'action d'un groupe de transformations.

Aujourd'hui, cette vision est devenue tellement banale dans l'esprit des mathematiciens qu'il est difficile de juger de son importance, d'apprecier sa nouveaute et de comprendre l'opposition a laquelle elle a du faire face.

Analyse [ modifier | modifier le code ]

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Notes et references [ modifier | modifier le code ]

(en) Cet article est partiellement ou en totalite issu de l’article de Wikipedia en anglais intitule ≪  Felix Klein  ≫ ( voir la liste des auteurs ) .

Notes [ modifier | modifier le code ]

  1. ↑ Nouvelle geometrie de l'espace [ 3 ]
  2. ↑ Ce concept sera par la suite abondamment employe en physique comme en mathematiques [ 3 ]
  3. ↑ Ce jeune et influent professeur de 35 ans, qui venait d'integrer l'universite, etait bien decide a faire de Gottingen un centre de recherche mathematique capable de concurrencer Berlin . Des son arrivee a Gottingen, Alfred Clebsch avait fonde avec Carl Neumann la prestigieuse revue scientifique Mathematische Annalen , publication qui sera plus tard dirigee par Klein et David Hilbert [ 6 ]
  4. ↑ Autorite mathematique supreme a Berlin, Karl Weierstrass avait une conception des mathematiques diametralement opposee a celle qui accompagna Klein durant toute sa vie. Klein etait connu pour illustrer assez frequemment ses cours et ses presentations a l'aide de graphiques et d'idees physiques, demarche qui, pour Weierstrass, s'apparentait a un impardonnable manque de rigueur mathematique [ 7 ]
  5. ↑ Il y fut affecte comme auxiliaire d'infirmerie ; ayant immediatement contracte le typhus , il fut demobilise pour lui permettre de se soigner [ 8 ]
  6. ↑ Etude comparee de differentes recherches recentes en geometrie [ 12 ]
  7. ↑ A partir de 1880, des versions en italien, francais et anglais sont editees. Le fait de voir les mathematiques se developper dans la direction de ses propres idees l'a convaincu de lui offrir une plus large circulation [ 13 ]
  8. ↑ En 1880, Brill publie meme un catalogue des modeles concus par le laboratoire, et un de ses freres, Ludwig, cree une entreprise afin de les commercialiser dans le monde entier aupres des departements de mathematiques [ 14 ]
  9. ↑ La methode de Klein fut publiee en 1884 dans l'ouvrage Lecons sur l'icosaedre et la solution des equations du cinquieme degre . Elle reflete sa maniere extremement habile de transformer un probleme algebrique en probleme geometrique [ 15 ]
  10. ↑ Friedrich Althoff , alors directeur du ministere de l'Education de Prusse ? qui avait ete son compagnon d'armes durant sa breve mobilisation lors du conflit franco-prussien et avait ensuite suivi de pres sa carriere ? etait convaincu qu'en faisant venir Klein, Gottingen retrouverait sa splendeur d'antan [ 17 ]
  11. ↑ La collaboration de Fricke avec Klein se poursuit pendant de nombreuses annees. Fricke est la premiere personne chargee de publier, avec la collaboration de Hermann Vermeil , les œuvres completes de Klein [ 18 ] .
  12. ↑ Hilbert et Klein avaient deux personnalites tres differentes, mais ils formerent un duo scientifique tres productif [ 20 ]
  13. ↑ Les femmes ne pouvaient pas ? officiellement ? enseigner a l'universite [ 24 ]
  14. ↑ Elementarmathematik von einem hoheren Standpunkte aus [ 27 ]
  15. ↑ Encyclopadie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen [ 30 ]

References [ modifier | modifier le code ]

  1. ↑ ≪  https://www.sub.uni-goettingen.de/sub-aktuell/  ≫
  2. ↑ (en) ≪  Felix Christian Klein  ≫, sur MacTutor History of Mathematics Archive (consulte le )
  3. ↑ a et b Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  28
  4. ↑ a et b Gray 2005 , On the biography of Klein, p.  545
  5. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  27-28.
  6. ↑ a et b Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  30-31
  7. ↑ a et b Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  32
  8. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  56
  9. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  34/37/56.
  10. ↑ a et b Jacques Meyer, ≪  Felix Klein (1849-1925)  ≫, sur Encyclopædia Universalis (consulte le ) .
  11. ↑ a b c et d (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson , ≪  Felix Christian Klein  ≫, sur MacTutor , universite de St Andrews .
  12. ↑ a et b Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  58
  13. ↑ a et b Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  61
  14. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  72
  15. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  85
  16. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  72-73/82/84-85.
  17. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  100
  18. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  101
  19. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  87/100-102.
  20. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  105
  21. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  102/104-106.
  22. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  108-110.
  23. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  118-119/149.
  24. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  116
  25. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  114/116-117.
  26. ↑ ≪  Klein  ≫, sur extras.springer.com (consulte le )
  27. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  124
  28. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  123-124.
  29. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  130-131.
  30. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  144
  31. ↑ Rodriguez del Rio et Joulia 2018 , p.  144-146.
  32. ↑ (en) The Royal Society, ≪  Klein, Christian Felix (1849 - 1925) : Fellow details  ≫, sur catalogues.royalsociety.org (consulte le ) .

Voir aussi [ modifier | modifier le code ]

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Bibliographie [ modifier | modifier le code ]

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Articles connexes [ modifier | modifier le code ]

Liens externes [ modifier | modifier le code ]

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Laureats de la medaille De Morgan
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