Felix Klein
Do?um	Felix Christian Klein 25 Nisan 1849 ( 1849-04-25 ) Dusseldorf , Ren , Prusya Krallı?ı , Alman Konfederasyonu
Olum	22 Haziran 1925 (76 ya?ında) Gottingen , Hannover , Ozgur Prusya Devleti , Weimar Cumhuriyeti
Defin yeri	Stadtfriedhof Gottingen 51°31′56.435″K 9°54′34.758″D ? / ? 51.53234306°K 9.90965500°D ? / 51.53234306; 9.90965500
Milliyet	Alman
Vatanda?lık	Alman Konfederasyonu , Alman ?mparatorlu?u , Weimar Cumhuriyeti
E?itim	Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universitat Bonn (1868), Berlin Humboldt Universitesi
Mezun oldu?u okul(lar)	Bonn Universitesi
Tanınma nedeni	Erlangen programı Klein ?i?esi Beltrami?Klein modeli Klein Matematik Bilimleri Ansiklopedisi
Oduller	De Morgan Madalyası (1893) Bavarian Maximilian Order for Science and Art (1898) Copley Madalyası (1912) Ackermann?Teubner Anma Odulu (1914) Pour le Merite for Sciences and Arts
Kariyeri
Dalı	Matematik , Diferansiyel geometri , Grup teorisi , Geometri
Calı?tı?ı kurum	Erlangen-Nurnberg Universitesi (1872-1875), Munih Teknik Universitesi (1875-1880), Leipzig Universitesi (1880-1886), Gottingen Universitesi (1886-1913), Berlin Teknik Universitesi
Tez	Ueber die Transformation der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades zwischen Linien-Coordinaten auf eine canonische Form   (1868)
Doktora danı?manı	Julius Plucker (1. danı?man), Rudolf Lipschitz (2. danı?man)
Doktora o?rencileri	Ferdinand von Lindemann (1873), Carl Gustav Axel Harnack (1875), Ludwig Bieberbach (1910), Adolf Hurwitz (1881), Grace Chisholm Young , Maxime Bocher , Oskar Bolza (1886), Max Bruckner , Frank Nelson Cole , Friedrich Dingeldey , Friedrich Engel , Ernst Fiedler (1885), Henry Burchard Fine , Otto Fischer , August Foppl (1886), Erwin Finlay-Freundlich , Robert Fricke , Philipp Furtwangler (1896), Georg Helm , Edward Kasner , Conrad Heinrich Muller , Alexander Ostrowski , Erwin Papperitz , Julio Rey Pastor , Hermann Rothe , Friedrich Schilling , Victor Schlegel , Virgil Snyder , Otto Staude , Walther von Dyck (1879), Adolf Weiler (1873), Max Winkelmann (1904), Alexander Witting (1886), Karl Rohn (1878), Henry Seely White (1891), Edward Burr Van Vleck (1893), Adolf Weiler , Anton Aloys Timpe , Reinhold Muller , Max Winkelmann , Mary Frances Winston Newson , Karl Wieghardt , Paul Friedrich Biedermann , Josef Diekmann , Wilhelm Braun , Ludwig Wedekind , Joseph Gierster , Ernst Julius Martin Lange , Guido Weichold , Ernst Wilhelm Fiedler , Paul Richard Domsch , Georg Friedrich , Paul Gustav Heinrich Nimsch , Richard Emil Olbricht , Willibald Alexander Reichardt , Johannes Karl August Schroder , Henry Dallas Thompson , Karl Schellenberg , Ernst Ritter , Th. Glauner , Frederick Shenstone Woods , Charles Jaccottet , W. Ihlenburg , Wilhelm Behrens , Otto Paul Pfitzner , Rudolf Karl Ferdinand Boger , Wilhelm Bretschneider , Bernhard Oscar Herrmann , Gustav Berger , Rudolf Besser

Christian Felix Klein ( Almanca telaffuz:  [kla?n] ; 25 Nisan 1849 - 22 Haziran 1925), grup teorisi , karma?ık analiz , Oklid dı?ı geometri ve geometri ile grup teorisi arasındaki ili?kiler uzerine yaptı?ı calı?malarla tanınan Alman matematikci ve matematik e?itimcisi. Klein'ın geometrileri temel simetri gruplarına gore sınıflandıran 1872 Erlangen programı , doneminin matemati?inin buyuk kısmının etkili bir senteziydi.

Hayatı [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Felix Klein 25 Nisan 1849'da Prusyalı bir ailenin cocu?u olarak Dusseldorf 'ta ^[1] do?du. Babası Caspar Klein (1809-1889), Ren Eyaleti'nde gorevli bir Prusya hukumet yetkilisinin sekreteriydi. Annesi, Sophie Elise Klein'dı (1819-1890, Evlilik oncesi soyadı Kayser). ^[2] Dusseldorf'taki Gymnasium 'a katıldı, daha sonra fizikci olma niyetiyle ^[3] 1865-1866 Bonn Universitesi 'nde matematik ve fizik okudu. O zamanlar Julius Plucker , Bonn'un matematik ve deneysel fizik profesoruydu, ancak Klein asistanı oldu?unda, 1866'da Plucker'in ilgisi esas olarak geometri idi. Klein doktorasını 1868'de Bonn Universitesi'nden Plucker'ın gozetiminde yaptı.

Plucker 1868'de oldu ve cizgi geometrisinin temeli hakkındaki kitabını eksik bıraktı. Klein, Plucker'in Neue Geometrie des Raumes'ın ikinci bolumunu tamamlayan en bariz ki?iydi ve boylece 1868'de Gottingen'e ta?ınan Alfred Clebsch ile tanı?tı. Klein ertesi yıl Berlin ve Paris ziyaretleri esnasında Clebsch'i de ziyaret etti. Temmuz 1870'te, Fransa-Prusya Sava?ı 'nın ba?ında Paris'teydi ve ulkeyi terk etmek zorunda kaldı. 1871'in ba?larında Gottingen'de kısa bir sure icin o?retim gorevlisi olarak atanmadan once Prusya Ordusunda sa?lık memuru olarak gorev yaptı.

Erlangen , 1872'de henuz 23 ya?ındayken Klein profesoru olarak atandı. ^[4] Bunun icin, onu zamanının en iyi matematikcisi olarak goren Clebsch tarafından uygun bulundu. Klein, cok az o?rencinin oldu?u Erlangen'de kalmak istemedi ve 1875'te Munih'teki Technische Hochschule'de profesorluk teklif edilmesinden memnun oldu. Orada Alexander von Brill ile birlikte, Adolf Hurwitz , Walther von Dyck , Karl Rohn , Carl Runge , Max Planck , Luigi Bianchi ve Gregorio Ricci-Curbastro dahil olmak uzere bircok mukemmel o?renciye ileri kurslar verdiler.

1875'te Klein, filozof Georg Wilhelm Friedrich Hegel 'in torunu Anne Hegel ile evlendi. ^[5]

Technische Hochschule'de be? yıl gecirdikten sonra Klein, Leipzig 'de bir geometri kursusune atandı. Meslekta?ları arasında Walther von Dyck , Rohn, Eduard Study ve Friedrich Engel de vardı. Klein'ın Leipzig'deki 1880-1886 yılları, hayatını temelden de?i?tirdi. 1882'de sa?lı?ı coktu; 1883-1884'te depresyona girdi. ^[6] Yine de ara?tırmalarına devam etti; Onun hiperelliptik sigma fonksiyonları uzerine 1886 ve 1888 yılları arasında yayınlanan ufuk acıcı calı?ması bu donemden kalmadır.

Klein, 1886'da Gottingen Universitesi 'nde profesorlu?u kabul etti. O andan itibaren, 1913 emekli olana kadar, Gottingen'i matematik ara?tırmaları icin dunyanın en onemli merkezi olarak yeniden kurmaya calı?tı. Bununla birlikte, geometri geli?tiricisi olarak kendi ba?rolunu Leipzig'den Gottingen'e asla transfer etmeyi ba?aramadı. Gottingen'de matematik ve fizik arasındaki arayuz, ozellikle de mekanik ve potansiyel teori ile ilgili ce?itli dersler verdi.

Klein'ın Gottingen'de kurdu?u ara?tırma unitesi, dunya capında bu tur unitelerin en iyisi icin ornek te?kil etti. Haftalık tartı?ma toplantılarını ba?lattı ve matematiksel bir okuma odası ve kutuphane olu?turdu. 1895'te Klein, David Hilbert 'i Konigsberg Universitesi 'nde i?e aldı. Bu atamanın buyuk onemi oldu?unu kanıtladı; Hilbert, Gottingen'in matematikteki onceli?ini 1932'de emekli olana kadar geli?tirmeye devam etti.

Klein'ın editorlu?unde Mathematische Annalen , dunyanın en iyi matematik dergilerinden biri oldu. Clebsch tarafından kuruldu, Klein'ın yonetimi altında buyudu, Berlin Universitesi 'ndeki Crelle's Journal 'a rakip oldu ve sonunda gecti. Klein, duzenli olarak toplanan ve demokratik bir ruhla kararlar alan kucuk bir editorler ekibi kurdu. Dergi ilk olarak karma?ık analiz , cebirsel geometri ve de?i?mezlik teorisi alanlarında uzmanla?tı. Ayrıca gercel analiz ve yeni grup teorisi icin onemli bir cıkı? noktası sa?ladı.

1893'te Klein, Dunya Kolomb Sergisi 'nin bir parcası olarak Chicago'da duzenlenen Uluslararası Matematik Kongresi'nde onemli bir konu?macıydı. ^[7] Gottingen, kısmen Klein'in cabalarından dolayı 1893'te kadınları kabul etmeye ba?ladı. Klein, hayranlık duydu?u Arthur Cayley 'nin ?ngiliz o?rencisi Grace Chisholm Young tarafından Gottingen'de bir kadın tarafından yazılan ilk matematik doktora tezini yonetti. 1897'de Klein, Hollanda Kraliyet Sanat ve Bilim Akademisi 'nin yabancı bir uyesi oldu. ^[8]

1900'lerde Klein, okullarda matematik o?retimiyle ilgilenmeye ba?ladı. 1905'te analitik geometrinin , diferansiyel ve integral Kalkulusun temellerinin ve fonksiyon kavramının ortaokullarda o?retilmesini oneren bir planın formule edilmesinde etkili oldu. ^{[9] [10]} Bu oneri, dunyanın bircok ulkesinde kademeli olarak uygulanmı?tır. 1908'de Klein, Roma Uluslararası Matematikciler Kongresi 'nde Uluslararası Matematiksel O?retim Komisyonu 'nun ba?kanı secildi. ^[11] Onun rehberli?inde, Komisyon'un Almanlardan olu?an kısmı, Almanya'daki her seviyede matematik o?retimi uzerine bircok cilt yayınladı.

1893'te London Mathematical Society , Klein'a De Morgan Madalyası verdi. 1885'te Royal Society uyeli?ine secildi ve 1912'de Copley Madalyası ile odullendirildi. Ertesi yıl sa?lı?ı bozuk oldu?u icin emekli oldu, ancak birkac yıl daha evinde matematik o?retmeye devam etti.

Klein, I. Dunya Sava?ı 'nın ilk a?amalarında Almanya'nın Belcika'yı i?galini desteklemek icin kaleme alınan Doksan Ucler Manifestosu 'nun doksan uc imzacısından biriydi.

1925'te Gottingen'de oldu.

Calı?maları [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Klein'ın tezi, cizgi geometrisi ve mekani?e uygulamaları, Weierstrass 'ın temel bolenler teorisini kullanarak ikinci derece cizgi komplekslerini sınıflandırdı.

Klein'ın ilk onemli matematiksel ke?ifleri 1870'te yapıldı. Sophus Lie ile birlikte Kummer yuzeyindeki asimptotik cizgilerin temel ozelliklerini ke?fetti. Daha sonra bir grup izdu?umsel donu?um altında de?i?meyen e?riler olan W-e?rilerini ara?tırdılar. Daha sonraki calı?malarında onemli bir role sahip olacak olan grup kavramını Klein'a tanıtan Lie idi. Klein ayrıca Camille Jordan 'dan da grupları o?rendi. ^[12]

Klein, kendi adını ta?ıyan " Klein ?i?esini " tasarladı, uc boyutlu Oklid uzayına gomulemeyen tek taraflı kapalı bir yuzey, ancak "iceriden" di?er ucuyla birle?mek icin kendi icinden geri donen bir silindir olarak kendi icine daldırılır. 4 ve daha yuksek boyutlardaki Oklid uzayına gomulmu? olabilir. Klein ?i?esi konsepti, 3 boyutlu bir Mobius ?eridi olarak tasarlandı ve bir yapım yontemi, iki Mobius ?eridinin kenarlarının ba?lanmasıydı. ^[13]

1890'larda Klein matematiksel fizi?i daha yo?un bir ?ekilde calı?maya ba?ladı ve Arnold Sommerfeld ile jiroskop uzerine yazdı. ^[14] 1894'te, Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften adını alan, uygulamalarını da iceren bir matematik ansiklopedisi fikrini ba?lattı. 1935 yılına kadar ayakta kalan bu giri?im, kalıcı de?er konusunda onemli bir standart referans sa?lamı?tır. ^[15]

Erlangen programı [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

1871'de Gottingen'deyken Klein geometride buyuk ke?ifler yaptı. Oklidyen ve Oklidyen olmayan geometrilerin Cayley-Klein metri?iyle belirlenen metrik uzaylar olarak kabul edilebilece?ini gosteren Oklid Olmayan Geometri Uzerine (On the So-called Non-Euclidean Geometry) adlı iki makale yayınladı. Bu icgoru, Oklid dı?ı geometrinin ancak ve ancak Oklid geometrisi oldu?u takdirde tutarlı oldu?u, Oklidyen ve Oklid dı?ı geometrilere aynı statuyu veren ve Oklid dı?ı geometri hakkındaki tum tartı?maları sona erdiren sonuca sahipti. Arthur Cayley dongusel oldu?una inandı?ı icin Klein'ın argumanını asla kabul etmedi.

Erlangen programı (1872) olarak bilinen belirli bir donu?um grubu altında de?i?meyen bir uzayın ozelliklerinin incelenmesi olarak Klein'ın geometri sentezi, matemati?in evrimini derinden etkiledi. Bu program, Klein'ın Erlangen'de profesor olarak yaptı?ı acılı? konu?masıyla ba?latıldı, ancak bu vesileyle yaptı?ı asıl konu?ma de?ildi. Program, kabul goren modern yontem haline gelen birle?ik bir geometri sistemi onerdi. Klein, belirli bir geometrinin temel ozelliklerinin, bu ozellikleri koruyan donu?um grubu tarafından nasıl temsil edilebilece?ini gosterdi. Boylece programın geometri tanımı hem Oklidyen hem de Oklid dı?ı geometriyi kapsıyordu.

?u anda, Klein'ın geometriye katkılarının onemi acıktır. Matematiksel du?uncenin o kadar buyuk bir parcası oldular ki, ilk sunuldu?unda yeniliklerini takdir etmek ve ca?da?larının tumu tarafından hemen kabul edilmediklerini anlamak zordur.

Karma?ık analiz [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Klein, karma?ık analiz uzerindeki calı?masını matemati?e yaptı?ı en buyuk katkı olarak gordu, ozellikle ?u konulardaki calı?maları:

• Riemann 'ın belirli fikirleri ile de?i?mezlik teorisi arasındaki ba?lantı,
• Sayı teorisi ve soyut cebir ;
• Grup teorisi ;
• 3'ten fazla boyutta geometri ve diferansiyel denklemler , ozellikle kendi icat etti?i denklemler,

eliptik moduler fonksiyonlar ve otomorfik fonksiyonlar tarafından sa?lanır.

Klein, moduler grubun , duzlemi mozaiklemek icin karma?ık duzlemin temel bolgesini hareket ettirdi?ini gosterdi. 1879'da moduler grubun bir goruntusu olarak kabul edilen PSL (2, 7) 'nin hareketini inceledi ve ?imdi Klein dortleni?i olarak adlandırılan bir Riemann yuzeyinin acık bir temsilini elde etti. Denklemi ${\displaystyle x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x=0}$ olan e?irinin izdu?umsel uzayda karma?ık bir e?ri ve simetri grubunun 168 dereceden PSL (2, 7) oldu?unu gosterdi. Ueber Riemann'ın Theorie der cebebraischen Funktionen und ihre Integrale (1882) adlı eseri, karma?ık analizi geometrik bir ?ekilde ele alır ve potansiyel teori ile acıkorur gonderimleri birbirine ba?lar. Bu calı?ma akı?kanlar dinami?inden gelen fikirlere dayanıyordu.

Klein, derecesi > 4 olan denklemleri de?erlendirdi ve ozellikle be?inci derecenin genel denklemini cozmek icin a?kın yontemlerle ilgileniyordu. Charles Hermite ve Leopold Kronecker 'in yontemlerine dayanarak, Brioschi'ninkilere benzer sonuclar verdi ve daha sonra problemi (yirmi e?kenar ucgen yuzlu) ikosahedral grubu aracılı?ıyla tamamen cozdu. Bu calı?ma, eliptik moduler fonksiyonlar uzerine bir dizi makale yazmasını sa?ladı.

Klein, ikosahedron uzerine 1884 tarihli kitabında cebir ve geometriyi ili?kilendiren bir otomorfik fonksiyonlar teorisini kurdu. Poincare , 1881'de otomorfik fonksiyonlar teorisinin bir tasla?ını yayınladı ve bu, iki adam arasında dostane bir rekabetle sonuclandı. Her ikisi de yeni teoriyi daha eksiksiz bir ?ekilde kuracak buyuk bir Tekduzelik teoremini ifade etmeye ve kanıtlamaya calı?tı. Klein boyle bir teoremi formule etmeyi ve bunu ispatlamak icin bir strateji tanımlamayı ba?ardı.

Klein, otomorfik ve eliptik moduler fonksiyonlar hakkındaki calı?masını, Robert Fricke ile 20 yıllık bir sure boyunca yazdı?ı dort ciltlik bir incelemede ozetledi.

Bazı calı?maları [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

• 1882: Uber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale , JFM   14.0358.01  
• Gutenberg Projesi 'nde e-text , also available from Cornell
• 1884: Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungen vom 5ten Grade
  • English translation by G. G. Morrice (1888) Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree via Internet Archive
• 1886: Uber hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz p. 323?356, Mathematische Annalen Bd. 27,
• 1888: Uber hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz p. 357?387, Math. Annalen, Bd. 32,
• 1894: Uber die hypergeometrische Funktion , 9 A?ustos 2018 tarihinde kayna?ından ar?ivlendi , eri?im tarihi: 12 Aralık 2020  
• 1894: Uber lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung
• 1897: ( Arnold Sommerfeld ile) Theorie des Kreisels (later volumes: 1898, 1903, 1910)
• 1890: ( Robert Fricke ile) Vorlesungen uber die Theorie der elliptischen Modulfunktionen (2 cilt) ^[16] and 1892)
• 1894: Evanston Colloquium (1893) reported and published by Ziwet (New York, 1894) ^[17]
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1897), Vorlesungen uber die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen (Almanca), Leipzig: B. G. Teubner, ISBN   978-1-4297-0551-6 , JFM   28.0334.01   ^[18] Zweiter Band. 1901. ^[18]
• 1901: Gauss' wissenschaftliches Tagebuch, 1796?1814. Mit Anwendungen von Felix Klein , 9 A?ustos 2018 tarihinde kayna?ından ar?ivlendi , eri?im tarihi: 12 Aralık 2020   ^[19]
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen uber die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausfuhrungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen (Almanca), Leipzig: B. G. Teubner., ISBN   978-1-4297-0552-3 , JFM   32.0430.01  
• 1897: Mathematical Theory of the Top (Princeton address, New York) ^[20]
• 1895: Vortrage uber ausgewahlte Fragen der Elementargeometrie ^[21]
  • 1897: English translation by W. W. Beman & D. E. Smith Famous Problems of Elementary Geometry via Internet Archive
• 1908: Elementarmathematik vom hoheren Standpunkte aus (Leipzig)
• 1926: Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert (2 Bande), Julius Springer Verlag, Berlin ^[22] & 1927. S. Felix Klein, Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert , 25 Aralık 2015 tarihinde kayna?ından ar?ivlendi  
• 1928: Vorlesungen uber nichteuklidische Geometrie , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer Verlag ^[23]
• 1933: Vorlesungen uber die hypergeometrische Funktion , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer Verlag

Bibliografya [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

• Ewald, William B., (Ed.) (1996) [1887], "The arithmetizing of mathematics", Kant'tan Hilbert'e: Matemati?in Temellerinde Bir Kaynak Kitap (From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics) , 2 vols [ Matemati?in aritmetikle?tirilmesi ] (PDF) , Oxford Uni. Press, ss. 965-71, 27 Haziran 2020 tarihinde kayna?ından ar?ivlendi (PDF) , eri?im tarihi: 12 Aralık 2020  
• R. Fricke & A. Ostrowski, (Ed.) (1921), Felix Klein gesammelte mathematische Abhandlungen (3 cilt) , Berlin: Springer, 19 Temmuz 2023 tarihinde kayna?ından ar?ivlendi , eri?im tarihi: 12 Aralık 2020   KB1 bakım: Editorler parametresini kullanan ( link )
• Nicht-Euklidische Geometrie (Almanca), 1890, 19 Temmuz 2023 tarihinde kayna?ından ar?ivlendi , eri?im tarihi: 12 Aralık 2020  

Ayrıca bakınız [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Kaynakca [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Konuyla ilgili yayınlar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

• David Mumford , Caroline Series, and David Wright Indra'nın ?ncileri: Felix Klein'ın Vizyonu . Cambridge Univ. Press. 2002.
• Tobies, Renate (Fritz Konig ile birlikte) Felix Klein . Teubner Verlag, Leipzig 1981.
• Rowe, David "Felix Klein, David Hilbert ve Gottingen Matematiksel Gelene?i (Felix Klein, David Hilbert, and the Gottingen Mathematical Tradition)", Almanya'da Bilim: Kurumsal ve Entelektuel Sorunların Kesi?imi'nde (in Science in Germany: The Intersection of Institutional and Intellectual Issues), Kathryn Olesko , ed., Osiris, 5 (1989), 186?213.
• Federigo Enriques (1921). "L'oeuvre mathematique de Klein" . Scientia . 30 Haziran 2015 tarihinde kayna?ından ar?ivlendi.   .

Dı? ba?lantılar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Wikimedia Commons'ta Felix Klein ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır.

Vikisoz 'de Felix Klein ile ilgili sozleri bulabilirsiniz.

• Felix Klein calı?maları – Gutenberg Projesi
• Internet Archive 'daki Felix Klein tarafından olu?turulan ya da hakkındaki eserler
• O'Connor, John J. ; Robertson, Edmund F. , "Felix Klein" , MacTutor Matematik Tarihi ar?ivi  
• Mathematics Genealogy Project 'te Felix Klein
• Weisstein, Eric Wolfgang ((Ed.)). "Klein, Felix (1849?1925)" . ScienceWorld . 20 ?ubat 2002 tarihinde kayna?ından ar?ivlendi . Eri?im tarihi: 16 ?ubat 2021 .  
• "Felix Klein Protokolle" . 16 Nisan 2015 tarihinde kayna?ından ar?ivlendi . Eri?im tarihi: 16 ?ubat 2021 .  
• "Felix Klein" . Encyclopædia Britannica . 26 Haziran 2015 tarihinde kayna?ından ar?ivlendi . Eri?im tarihi: 16 ?ubat 2021 .  
• F. Klein. "On the theory of line complexes of first and second order" [Birinci ve ikinci dereceden cizgi kompleksleri teorisi uzerine] (PDF) . D. H. Delphenich tarafından cevrildi. 21 Ekim 2013 tarihinde kayna?ından (PDF) ar?ivlendi . Eri?im tarihi: 16 ?ubat 2021 .  
• F. Klein. "On line geometry and metric geometry" [Cizgi uzerinde geometri ve metrik geometri] (PDF) . D. H. Delphenich tarafından cevrildi. 21 Ekim 2013 tarihinde kayna?ından (PDF) ar?ivlendi . Eri?im tarihi: 16 ?ubat 2021 .  
• F. Klein. "On the transformation of the general second-degree equation in line coordinates into canonical coordinates" [Cizgi koordinatlarındaki genel ikinci derece denklemin kanonik koordinatlara donu?turulmesi uzerine] (PDF) . D. H. Delphenich tarafından cevrildi. 21 Ekim 2013 tarihinde kayna?ından (PDF) ar?ivlendi . Eri?im tarihi: 16 ?ubat 2021 .