예나 只今이나 模糊한 質問에 속 시원히 答해주는 放送이 人氣다. 過去엔 占집 道士처럼 扮裝한 進行者가 有名 人士의 苦悶을 解決해주던 ‘黃金漁場 무릎팍道士’가 있었고, 最近엔 ‘무엇이든 물어보살’이라는 相談 프로그램이 뒤를 잇고 있다. 正答이 없는 世上에서 누군가 明確한 解答을 내려줄 수 있다면 얼마나 좋을까.

그나마 放送에 나오는 質問은 狀況이 나은 便이다. 現實은 더욱 模糊하다. 苦悶이 아닌 日常의 對話조차 그렇다. “오늘은 어제보다 조금 따뜻하네” “洋파 서너 個만 사 와” 같은 말을 보자. 그래서 氣溫이 몇 度가 오른 걸까. 洋파는 몇 個를 사야 할까. 情報 自體가 不分明하다. 世上에는 이렇게 意味가 明確히 傳達되지 않는 것이 많다. 이걸 제대로 表現할 수 있는 方法은 없을까.

모두가 사랑하는 科學은 人類가 쌓아온 經驗을 基盤으로 새로운 原理를 밝히는 過程이다. 따라서 언제나 論理的이고 明確해야 하기에, 數學이라는 매우 嚴密한 道具를 使用한다. 數學에 慈悲란 없다. 하지만 無條件 數學의 嚴格한 잣대만 들이댈 수는 없다. 現實은 그다지 明確하지 않기 때문이다. 누구든 한 班에 眼鏡을 쓴 親舊가 몇 名인지 쉽게 셀 수 있다. 그렇다면 키 큰 親舊는 果然 몇 名일까. 아마 세는 사람마다 全혀 다른 數字가 나올 것이다. 萬若 160㎝ 보다 큰 親舊들이라는 正確한 基準을 준다면 몰라도, 單純히 키 큰 아이들이라는 主觀的 감으로는 몇 名인지 世紀 어렵다. 길거리의 젊은 사람을 찾아보자. 大學生까지만 選擇될지 모르지만, 어떤 面에서는 職場人도 充分히 屬할 수 있다. 젊다는 것 自體가 宏壯히 主觀的이라 어떤 資格의 明確한 基準이 될 수는 없다.

무더운 여름이 오면 適當한 室內 溫度를 맞추기 위해 에어컨 리모컨을 끊임없이 눌러대지만 아무리 努力해도 溫度가 마음에 썩 들지 않는다. ‘適當하다’는 單語가 갖는 意味를 모두 알고는 있지만, 이걸 數値上으로 正確하게 맞추는 건 全혀 다른 이야기이기 때문이다. 不分明한 基準이라면 數學的으로 定義하기가 거의 不可能하다. 好感度나 魅力이 正確한 數値로 表現되는 건 戀愛 시뮬레이션 게임에서나 可能한 일이니까 말이다.

가장 非數學的인 數學的 方式의 始作

이렇듯 定義조차 쉽지 않아 보이는 現實 世界의 曖昧한 問題를 어떻게든 數學的으로 接近해보려고 試圖하는 數學 理論이 있다. 바로 퍼지 理論이다. 퍼지(fuzzy)라는 單語는 ‘曖昧한’ 或은 ‘不分明한’이라는 뜻이다. 이름부터 대놓고 曖昧模糊한 理論이다. 果然 模糊한 槪念을 어떻게 數學的으로 表現했을까. 어디서부터 이런 말도 안 되는 發想이 始作됐을까.



아제르바이잔의 首都 바쿠에서 태어난 愛妻家 數學者 로트피 자데(Lotfi A. Zadeh, 1921~2017)는 문득 궁금症이 생겼다. ‘내 아내가 果然 얼마나 아름다운지 數學的으로 答할 수 있을까.’ 美國 UC버클리대 敎授였던 그는 自動制御 分野의 相當한 權威者였지만, 그가 내놓은 質問에 同僚 數學者들은 荒唐해했다. 旣存 數學을 現實에 그대로 適用할 수 없기에 常識的으로 처음부터 말이 안 되는 소리였다. 斬新한 아이디어였지만 아무도 呼應해주지 않았고, 甚至於 切親한 親舊이자 現代 制御理論의 開拓者 루돌프 칼만(Rudolf E. Kalman)조차 그의 便을 들어주지 않았다. 그 程度로 퍼지 理論은 虛無孟浪한 장난처럼 보였다. 只今까지 한 番도 이런 式으로 問題에 接近해본 적이 없었기 때문이다. 하지만 자데는 抛棄하지 않았다. 1965年 그는 퍼지 集合이라는 새로운 槪念을 提示했고 以後 퍼지 數字, 퍼지 論理 等이 包含된 퍼지 알고리즘을 論文으로 發表했다. 가장 非(非)數學的이면서도 數學的인 思考方式의 始作이었다. 마치 가난한 財閥이나 키 큰 난쟁이라는 表現 같았다.

0과 1뿐이던 世界에 펼쳐진 스펙트럼

現實 世界의 曖昧한 問題를 數學的으로 보여주는 게 果然 무슨 意味일까. 이제 컴퓨터는 人類 삶에서 한時도 멀리할 수 없는 親近한 道具이며, 우리는 하루도 컴퓨터 없이 살아갈 수 없다. 單純히 冊床에 놓인 데스크톱이나 노트북컴퓨터를 除外하더라도, 每日 만나는 수많은 小型 家電製品이나 電子 裝備는 이미 大部分 컴퓨터를 통해 制御되고 있다. 元來대로라면 우리가 해야 할 小小한 日까지 代身하고 있지만, 컴퓨터가 사람을 代身하기란 正말 쉽지 않다. 人間의 行動은 大部分 曖昧模糊한 情報를 利用하기 때문이다. 오늘 무엇을 시켜 먹을지에 “아무거나”라고 對答하는 사람도 컴퓨터가 正말 無作爲로 注文해버린다면 配達 온 飮食이 마음에 들 理 없다. 따라서 오직 0과 1로만 決定을 내리는 컴퓨터에 맞도록 模糊한 情報를 模糊하지 않은 作業에 活用할 수 있는 數學的 言語로 最大限 바꿔줘야 한다. 處한 狀況으로부터 正確한 數字를 받고, 이걸 計算해 제대로 된 結果를 導出해야만 비로소 컴퓨터는 價値 있는 行動을 할 수 있는 것이다. 퍼지 理論은 曖昧한 表現을 可能한 限 單純化해 情報 損失을 줄이는 過程에서 技倆을 發揮하게 된다.

다시 길거리의 젊은 사람이라는 模糊한 基準으로 돌아가보자. 果然 젊다는 건 몇 살부터 몇 살까지 範圍를 의미할까. 이 問題를 解決하기 위해서는 먼저 젊다는 用語부터 明確하게 定義해야 한다. ‘젊다’의 辭典的 定義는 ‘生理的으로 血氣 旺盛하거나, 싱싱하고 彈力 있는 狀態’이며, 普通 10代 後半부터 30代 사이로 본다. 하지만 이 範圍를 그대로 使用할 수는 없다. 젊은 사람의 數를 세려면 于先 數學的으로 이러한 集團을 定義해야 한다. 數學에서는 特定 條件에 맞는 數字들의 모임을 集合이라고 부른다. 나이로 어떤 數字가 주어졌을 때 그 數字가 젊다는 集合에 屬하는지 아닌지를 確實하게 判斷할 수 있으면 簡單하다. 그런데 一般的 狀況에서는 이게 어렵다. 基準이 없기 때문이다.

曖昧한 問題를 解決하는 놀라운 數學的 方法

퍼지 理論에서는 判斷 基準이 明確하지 않은 數字들의 모임에 對해서도 數學的 試圖가 可能하다. 바로 퍼지 集合을 利用하면 된다. ‘젊다’고 表現할 때 이 範圍에 屬하는 나이를 퍼지 集合으로 表現할 수 있다. 여기서 重要한 건 所屬 函數라는 槪念이다. 全體 集合에 屬한 各 元素가 集合에 얼마나 제대로 屬해 있는지 그 程度를 나타내는 것이 바로 所屬 函數다. 여기서는 나이를 젊다고 判斷할 可能性이 所屬 函數가 된다. 18歲 高等學生이 果然 젊은 集合에 包含될 수 있는지를 물었을 때 아니라고 할 사람은 거의 없을 것이다. 따라서 이때 所屬 函數는 1이다. 하지만 젊다고 생각하는 사람이 10名 中 7名이고, 나머지 3名은 아니라고 答하는 나이라면, 所屬 函數는 0.7이 된다. 같은 方式으로 91歲 어르신에 對한 所屬 函數는 0이라고 볼 수 있다. 卽 一般的으로 컴퓨터가 判斷하는 過程에서 주어지는 選擇肢가 0과 1이라는 2個 數字만으로 存在한다면, 퍼지 理論은 可能性에 對한 數値를 0부터 1까지 失手로 表現한다. 빛과 그림자 두 가지 選擇지만 存在하던 論理의 어둠 속에서 이제 人類는 無限한 무지갯빛 스펙트럼을 만나게 되는 것이다.

確實하지 않은 狀況을 理解하기 위해 努力한다는 點에서 얼핏 퍼지 理論은 確率論처럼 보이기도 한다. 하지만 確率論에서 數値를 使用하는 方式은 퍼지 理論과 매우 다르다. 確率論은 언젠가 結果가 나오지만 먼저 豫測하는 것이 不可能할 때 便宜上 使用한다. 마치 주사위 던지기처럼 말이다. 하지만 퍼지 理論은 다르다. 結果 自體가 不確實하기 때문이다. 어떤 狀態를 미리 決定할 수 있도록 確率로 表現하는 것이 아니라, 젊거나 젊지 않은 그 사이의 可能性을 表現하는 게 바로 퍼지 理論이다. 事實 모든 結果 사이에는 明確하게 線을 그을 수 없는 수많은 選擇肢가 存在할 것이다. 集合의 境界 亦是 模糊하다. 하지만 事實上 表現이 不可能한 可能性을 正義해냈기에 이제 數學的 接近과 演算을 해내기가 수월해졌다.

이제 샤워하기 딱 좋은 따뜻한 물을 만들어낼 수도 있다. 適當히 어떤 溫度가 따뜻한 集合에 包含되는지를 考慮해 可能性을 基盤으로 한 所屬 函數로 퍼지 集合만 만들어내면 된다. 周邊 環境에 맞춰 最適의 밝기를 維持하는 照明이나 스마트폰 畵面도 마찬가지다. 細密하게 溫度를 統制해 맛있는 밥을 먹을 수 있게 해주는 電氣밥솥이나 여러 段階로 나눠 速度를 調節하는 地下鐵 停止 方式에도 퍼지 理論이 適用된다. 이미 꽤 오래前부터 퍼지 理論은 우리 生活 속에 緊密하게 存在해왔다.

어느새 셀 수 없이 많은 情報를 處理하는 게 가장 重要한 社會가 됐다. 빅데이터 時代에는 悠然한 思考와 合理的 解釋이 重要하다. 퍼지 理論 自體는 數學 分野에서 깊이 있는 學問 分野로 探究되기는 어렵지만, 效率的 推論 方式의 門을 처음으로 열었다. 未來形 컴퓨터나 人工知能을 具現하는 過程에도 퍼지 理論의 根本 槪念은 必要하다. 如前히 數學처럼 正確한 學問 體系는 없다. 曖昧함조차 明瞭하게 表現하려는 數學的 試圖는 앞으로도 보이지 않는 뒤便에서 우리가 解決할 수 없는 수많은 問題를 解決해내리라 믿는다.