El principi de minima accio o principi de Hamilton es un pressupost basic de la mecanica classica i la mecanica relativista per a descriure l'evolucio al llarg del temps de l'estat de moviment d'una particula com d'un camp fisic . Tambe en mecanica quantica Feynman i Kac van produir formulacions inspirades en el principi. ^[1]

Historia [ modifica ]

La primera formulacio del principi es deu a Pierre-Louis Moreau de Maupertuis ( 1744 ), que va dir que la "naturalesa economitza en totes les seves accions" ( D'Alembert havia formulat un any abans el principi de d'Alembert que generalitzava les lleis de Newton ). Entre els que van desenvolupar la idea s'inclouen Euler i Leibniz . Cal dir que, des del punt de vista del calcul de variacions , parlar de principi d'accio estacionaria es mes exacte.

Anteriorment, Pierre de Fermat havia introduit la idea que els raigs de la llum, en situacions optiques com ara la refraccio i la reflexio , seguien un principi de menor temps (veure principi de Fermat ).

El principi de menor accio va conduir al desenvolupament de les formulacions lagrangiana i hamiltoniana de la mecanica classica. Encara que siguin al principi mes dificils de captar, tenen l'avantatge que la seva cosmovisio es mes transferible als marcs de la Teoria de la Relativitat i la mecanica quantica que la de les lleis de Newton . Aixo ha fet pensar a alguna gent que aquest principi es un principi "profund" de la fisica.

Formulacio [ modifica ]

La integral d'accio per a particules [ modifica ]

La formulacio del principi per a un sistema lagrangia es fixat a un sistema de coordenades generalitzades sobre l' espai de configuracio (o una part, anomenada Carta local ), de totes les trajectories possibles que transcorren entre l'instant t ₁ i t ₂ , el sistema escollira la que minimitzi l'accio S . La magnitud accio ve donada per a cada trajectoria per la integral:

${\displaystyle S\left[q_{i},{\dot {q}}_{i}\right]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{i}(t),{\dot {q}}_{i}(t),t)dt}$

On:

${\displaystyle Q_{i}(t)\,}$ son les coordenades parametriques d'una trajectoria possible.

${\displaystyle L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)\,}$ es la funcio lagrangiana del sistema.

Equacions d'Euler-Lagrange per a particules [ modifica ]

Es pot provar mitjancant principis variacionals , que de totes les trajectories possibles, la que fa minima (o, mes aviat, estacionaria) l'anterior expressio es la que correspon per a tot i la seguent equacio:

${\displaystyle 0=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{i}(t),{\dot {q}}_{i}(t),t)dt}$

Es a dir, la variacio de la integral temporal de la funcio lagrangiana es igual a zero. D'aquesta equacio es dedueixen aixi mateix les equacions d'Euler-Lagrange :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}$

La integral d'accio per a camps [ modifica ]

La formulacio anterior es adequada per a particules puntuals, o fins i tot sistemes mecanics amb un nombre finit de graus de llibertat encara que no siguin puntuals com un solid rigid . No obstant aixo per camps fisics que tenen una variacio espacial o per a la mecanica de medis continus la formulacio anterior no es adequada i ha de generalitzar.

La generalitzacio mes obvia es definir l'accio com la integral d'una funcio escalar, anomenada densitat lagrangiana integrada sobre el volum on hi ha el camp o medi continu:

${\displaystyle S[\phi ,\partial _{t}\phi ,\partial _{\mathbf {x} }\phi ]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\int _{V}{\mathcal {L}}(\phi (\mathbf {x} ,t),\partial _{t}\phi (\mathbf {x} ,t),\partial _{\mathbf {x} }\phi (\mathbf {x} ,t),\mathbf {x} ,t)\ d^{3}\mathbf {x} }$

En teoria classica de camps es frequent escriure l'equacio anterior de forma totalment covariant :

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\phi _{r}^{\alpha }]=\int _{R}{{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\phi _{r}^{\alpha },\partial _{\mu }\phi _{r}^{\alpha })\ \mathrm {d} ^{4}x}.}$

I en aquest cas les equacions d'Euler-Lagrange resulten ser:

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi _{r}^{\alpha }}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{r}^{\alpha }}}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{r}^{\alpha })}}\right)=0.}$

Principi de minima accio i lleis de Newton [ modifica ]

A partir de les lleis de Newton es pot provar el principi de minima accio per a particules de la mecanica Newtoniana. Aquesta derivacio es pot fer a partir del principi de D'Alambert que es essencialment equivalent a les lleis de Newton. No obstant aixo, el principi de minima accio es mes general, ja que, a diferencia de les equacions de Newton, es aplicable tambe a sistemes de referencia no inercials .

D'altra banda admetent el principi de minima accio d'una sola particula i certs principis de simetria poden derivar les equacions de Newton. A continuacio es presenten diverses deduccions i exemples il·lustratius que mostren l'equivalencia parcial de la mecanica newtoniana i el principi de minima accio.

Principi de d'Alembert i segona llei de Newton [ modifica ]

En aquesta seccio provarem com a partir de la segona llei de Newton o equivalentment el principi de D'Alembert es pot derivar que per a una particula que obeeix aquest principi es compleix tambe el principi de minima accio. Partint de la segona llei s'ha de:

${\displaystyle F\,=ma\qquad \rightarrow \qquad F-ma\,=0}$

Aquesta forma es totalment equivalent al principi de D'Alembert que estableix que sota qualsevol desplacament virtual compatible amb les equacions de moviment:

${\displaystyle (F-ma)\cdot \delta {\mathbf {r} }_{i}=0\qquad \rightarrow \qquad \int _{t_{1}}^{t_{2}}(F\cdot \delta {\mathbf {r} }_{i})dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\cdot \delta {\mathbf {r} }_{i}dt\,=0}$

Com es ben sabut per una forca conservativa que deriva d'un potencial s'ha de ${\displaystyle \delta {\mathbf {U} }_{i}\,=-(F\cdot \delta {\mathbf {r} }_{i})}$, es a dir, l'energia potencial ${\displaystyle O\,}$ es igual al negatiu del producte escalar de la forca pel desplacament del cos. Reescrivint l'ultima equacio introduint la definicio de l'acceleracio:

${\displaystyle -\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathbf {U} }_{i}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}m{\frac {d}{dt}}({v_{i}})\cdot \delta {\mathbf {r} }_{i}dt\,=0}$

Procedim a integrar per parts el segon terme del costat esquerre de l'equacio: 1) aplicant la derivada temporal a la variacio de la distancia ${\displaystyle ({\frac {d}{dt}}\delta {\mathbf {r} }_{i})}$, en lloc de fer-ho a la velocitat ${\displaystyle ({\frac {d}{dt}}(v))}$, i 2) introduint un terme limit, que fa referencia a la diferencia del valor de la funcio ${\displaystyle \left[mv\cdot \delta {\mathbf {r} }_{i}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}}$ entre els punts ${\displaystyle t_{2}}$ i ${\displaystyle t_{1}}$:

${\displaystyle -\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathbf {U} }_{i}dt+\int _{t_{1}}^{t_{2}}m{v_{i}}\cdot {\frac {d}{dt}}\delta {\mathbf {r} }_{i}dt\,-\left[m{v_{i}}\cdot \delta {\mathbf {r} }_{i}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}=0}$

Els punts de partida i d'arribada de totes les trajectories son els mateixos, i per aixo en aquests llocs la variacio es zero ${\displaystyle (\delta {\mathbf {r} }_{i}\,=0)}$. Aixo implica que la condicio limit ${\displaystyle \left[m{v_{i}}\cdot \delta {\mathbf {r} }_{i}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}}$ sigui aixi mateix igual a zero en aquests llocs. Per aixo, desapareix de l'equacio:

${\displaystyle -\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathbf {U} }_{i}dt+\int _{t_{1}}^{t_{2}}mv\cdot \delta {\mathbf {v} }_{i}dt\,=0}$

Procedim a la integracio de ${\displaystyle v_{i}\,}$ en el segon terme:

${\displaystyle -\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\mathbf {U} }_{i}dt+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {m}{2}}\delta {\mathbf {v} }_{i}^{2}dt\,=0}$

Les regles del calcul ens permeten traslladar els simbols de la variacio fora de les dues integrals:

${\displaystyle -\Delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathbf {U} }_{i}dt+\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {m{\mathbf {v} }_{i}^{2}}{2}}dt\,=0}$

En aquesta equacio son presents les expressions de l'energia potencial ${\displaystyle (O\,)}$ i l'energia cinetica ${\displaystyle (T\,={\frac {m{\mathbf {v} }_{i}^{2}}{2}})}$. Per tant, pot reformular de la seguent manera:

${\displaystyle \Delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}(T-V)dt\,=0}$

On la diferencia ${\displaystyle T-V\,}$ s'anomena funcio lagrangiana i es representa amb la lletra ${\displaystyle L\,}$:

${\displaystyle \Delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}Ldt\,=0}$

Primera llei de Newton i particula lliure [ modifica ]

La primera llei de Newton pot deduir a partir del principi de minima accio de les propietats d'homogeneitat i isotropia de l' espai euclidia tridimensional. Per a una particula lliure la funcio lagrangiana causa de les propietats d'homogeneitat de l'espai no depen explicitament de les coordenades de posicio. Igualment a causa de la isotropia, la dependencia en la velocitat de la particula nomes pot dependre del modul al quadrat de la velocitat. Aixo ens porta al fet que el lagrangia ha de ser de la forma: ^[2]

${\displaystyle L(x,y,z,v_{x},v_{i},v_{z})={\tilde {L}}(v_{x}^{2}+v_{i}^{2}+v_{z}^{2})}$

Si prenem un sistema de referencia inercial K 'que es mou respecte al sistema anterior a una velocitat molt petita V , tenim que la velocitat i el lagrangia es transformen d'acord amb les seguents lleis:

${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {v} +\mathbf {V} }$

${\displaystyle L'(x',i',z';v'_{x},v'_{y},v'_{z})={\tilde {L}}(\|v\|^{2}+2\mathbf {v\cdot V} +\|V\|^{2})}$

Per tant haurem de per a velocitats V petites les formes funcionals dels dos lagrangians estan relacionades per:

${\displaystyle {\tilde {L}}(\|v'\|^{2})\approx {\tilde {L}}(\|v\|^{2})+2{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial v^{2}}}\mathbf {v\cdot V} }$

Com les trajectories nomes poden ser iguals si les dues funcions anteriors nomes difereixen en una derivada total del temps, cal que existeixi una funcio de les coordenades i del temps, tal que la seva derivada coincideixi amb aquest sumant. Aixo nomes pot passar si el segon terme es una funcio lineal de la velocitat cosa que nomes passa si la derivada del segon terme s'anul. Aixo ultim al seu torn requereix que:

${\displaystyle {\tilde {L}}(\|v\|^{2})=a\|v\|^{2}=a(v_{x}^{2}+v_{i}^{2}+v_{z}^{2})}$

Si introduim aquesta forma del lagrangia en les equacions d'Euler-Lagrange tenim la primera llei de Newton:

${\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}=a{\frac {d}{dt}}\left(v_{i}\right)}$

Aquesta ultima equacio diu que una particula lliure mante la seva velocitat constant.

Principi de minima accio i mecanica quantica [ modifica ]

"El moviment del sistema entre els temps ${\displaystyle t_{1}}$ i ${\displaystyle t_{2}}$ es tal que el valor de la integral curvilinia. ${\displaystyle I=\int _{t_{2}}^{t_{1}}{Ldt}}$

on L = TEU es la lagrangiana, te un valor estacionari per al moviment correcte ".

A la integral J se l'anomena integral d'accio .

Per valor estacionari entenem que es aquell per al qual δJ = 0, es a dir, que el valor de la integral curvilinia quan recorre el cami correcte no varia respecte dels camins veins infinitesimalment propers (almenys, quan aquests infinitesims son de primer ordre).

Referencies [ modifica ]

• Landau & Lifschitz: Mecanica , Ed Reverte, Barcelona, 1991 (pp. 2-7) ISBN 84-291-4081-6 .

Vegeu tambe [ modifica ]

• Calcul de variacions
• Integracio funcional
• Accio

Enllacos externs [ modifica ]

• http://www.eftaylor.com/leastaction.html