Евкл?д?в прост?р
Названо на честь	Евкл?д
Досл?джу?ться в	математика
П?дтриму?ться В?к?про?ктом	В?к?пед?я:Про?кт:Математика
Характеристика Ейлера	1
Протилежне	curved space d

Евкл?д?в прост?р  ? ск?нченновим?рний д?йсний векторний прост?р ${\displaystyle E}$ з? скалярним добутком ^[1] . Названий на честь давньогрецького математика Евкл?да з Александр?? . ^[2] Кожна точка тривим?рного Евкл?дового простору визнача?ться трьома координатами (див. рис.). Розширю? двовим?рну евкл?дову площину до тривим?рного простору , ? ? поняттям Евкл?дово? геометр?? . Терм?н ≪евкл?довий≫ дозволя? в?др?зняти ц? простори в?д ?нших тип?в простор?в, що можуть розглядатися в сучасн?й геометр??. Евкл?д?в прост?р також узагальнюють ? до б?льшо? к?лькост? вим?р?в .

В класичн?й давньогрецьк?й геометр?? ?сну? визначення евкл?дово? площини й тривим?рного евкл?дового простору, що ?рунту?ться на певних постулатах , в той час, як ?нш? властивост? цих простор?в виведен? як теореми . Також використовувалися геометричн? побудови для визначення рац?ональних чисел , що ? в?дношеннями сп?вм?рних довжин ^{[en] [ джерело? ] [ сумн?вно ? обговорити ]} . Коли алгебра ? математичний анал?з набули достатнього розвиту, цей зв'язок збер?гся ? тепер б?льш загальним стало визначення Евкл?дового простору на основ? векторних простор?в , що дозволяють використовувати декартов? координати ? методи алгебри та диференц?ального та ?нтегрального числення . Це означа?, що точки визначають за допомогою тр?йок д?йсних чисел , як? називаються координатними векторами, а геометричн? ф?гури описують р?вняннями ? нер?вностями , що визначають сп?вв?дношення цих координат. Цей п?дх?д також дозволя? легко узагальнити w. геометр?ю до евкл?дових простор?в до простор?в б?льшо? розм?рност?.

Евкл?д?в прост?р визначено за допомогою акс?ом, як? не вказують як саме мають бути представлен? точки цього простору. ^[3] Евкл?д?в прост?р може бути побудований за допомогою декартово? системи координат, як один ?з можливих способ?в його представлення. В такому випадку, Евкл?д?в прост?р моделюють застосовуючи д?йсний прост?р координат ( ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), що ма? таку ж розм?рн?сть. Для одного вим?ру це була б шкала д?йсних чисел; для двох вим?р?в, в?н представля?ться декартовою системою координат на площин?; ? для б?льшо? к?лькост? вим?р?в, це ? координатний прост?р ^[en] ?з трьома або б?льше координатами, що представлен? д?йсними числами. Математики позначають ${\displaystyle n}$-вим?рний Евкл?д?в прост?р як ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$, якщо вони хочуть п?дкреслити його природу та властивост?, але також використовують позначення ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, оск?льки ц? дв? структури мають под?бн? властивост? ? ?х як правило не розр?зняють. Евкл?дов? простори мають ск?нченну к?льк?сть вим?р?в. ^[4]

Нехай декартов? координати в тривим?рному простор? так?, що якщо точц? ${\displaystyle P}$ в?дпов?дають три ?? координати ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$, а точц? ${\displaystyle Q}$ ? координати ${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3})}$. Тод?, якщо квадрат довжини прямол?н?йного в?др?зку , що з'?дну? ${\displaystyle P}$ та ${\displaystyle Q}$ дор?вню?: ${\displaystyle l^{2}=(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}$, то такий прост?р називають евкл?довим простором , а декартов? координати з такими властивостями називають евкл?довими координатами .

Узагальнюючи на випадок n вим?р?в, отрима?мо ${\displaystyle l^{2}=(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\dots (x_{n}-y_{n})^{2}=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^{2}}$.

Функц?я в?дстан? м?ж двома точками ма? назву метрики , а наведений вище вид тако? функц?? для евкл?дового простору ма? назву евкл?дово? метрики .

З точками евкл?дового простору зручно з?ставити вектори . Назвемо вектор, направлений в?д початку координат у точку ${\displaystyle P}$ рад?ус-вектором ц??? точки. Декартов? координати ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ точки ${\displaystyle P}$ будемо називати координатами рад?ус-вектора. Два вектори, як? направлен? з початку координат до точок ${\displaystyle P}$ та ${\displaystyle Q}$ з координатами ${\displaystyle \mathbf {p} =(x_{1},x_{2},x_{3})}$ та ${\displaystyle \mathbf {q} =(y_{1},y_{2},y_{3})}$ можна складати покоординатно. Тобто отримати вектор ${\displaystyle \mathbf {p} +\mathbf {q} }$ з координатами ${\displaystyle (x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3})}$.

Можна також помножити вектор на число (скаляр). Одиничн? вектори ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,0)}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(0,1,0)}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}=(0,0,1)}$ мають довжину, яка дор?вню? ${\displaystyle 1}$, а сам? вектори вза?мно перпендикулярн?.

Будь-який вектор ${\displaystyle \mathbf {v} =(x_{1},x_{2},x_{3})}$ може бути розкладений по одиничних векторах: ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{1}x_{1}+\mathbf {e} _{2}x_{2}+\mathbf {e} _{3}x_{3}}$. Тут прост?р тривим?рний. Для ${\displaystyle n}$-вим?рного простору все аналог?чно. Тому евкл?д?в прост?р визнача?ться також як л?н?йний (векторний) прост?р, в якому квадрат в?дстан? м?ж точками (к?нцями рад?ус-вектор?в) визнача?ться за формулою ${\displaystyle l^{2}=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^{2}}$

• Геометр?я Лобачевського
• Прост?р Лобачевського
• План?метр?я
• Стереометр?я

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре . ? 5-е. ? Москва : Наука , 1998. ? 320 с. ? ISBN 5791300158 . (рос.)

п о р Розм?рн?сть Вим?рн? простори Векторний прост?р Евкл?д?в прост?р Аф?нний прост?р Про?ктивний прост?р В?льний модуль Многовид Алгебричний многовид Прост?р-час ?нш? розм?рност? Круля Гомолог?чна [en] Лебега ?ндуктивна [en] Гаусдорфа М?нковського Фрактальна Ступен? в?льности Старш? розм?рност? Пол?топи ? форми Г?перплощина Г?перповерхня Г?перкуб Г?персфера Г?перпрямокутник Дем?г?перкуб [en] Перехресний пол?топ Симплекс Розм?рност? за числом Нуль Один Два Три Чотири П'ять [en] Ш?сть [en]  ( ступен? в?льност? [en] ) С?м [en] В?с?м [en] n -розм?рн?сть Розм?рн?сть