Асимптотична р?вн?сть ( екв?валентн?сть ) у математичному анал?з?  ? в?дношення екв?валентност? м?ж функц?ями, визначеними в деякому проколотому окол? точки, що означа? р?вн?сть функц?й поблизу ц??? точки з як завгодно малою в?дносною похибкою . Асимптотичн? р?вност? широко застосовують при обчисленн? границь . Часто асимптотично екв?валентн? функц?? називають просто екв?валентними, опускаючи слово асимптотично. Також досить поширеним ? терм?н екв?валентн? неск?нченно мал?, що ? окремим випадком асимптотично? екв?валентност? для неск?нченно малих функц?й.

Мотивац?я [ ред. | ред. код ]

Про багато функц?й часто говорять, що вони приблизно р?вн? або поводяться однаково поблизу деяко? точки. Однак така терм?нолог?я надто розпливчаста, ?, якщо ми справд? хочемо говорити про однакову повед?нку функц?й, цьому сл?д дати формальне визначення.

Визначимо такий терм?н: говоритимемо, що функц?я ${\displaystyle g(x)}$ наближа? або апроксиму? функц?ю ${\displaystyle f(x)}$ поблизу точки ${\displaystyle x_{0}}$ якщо для як завгодно малого числа можна взяти такий ок?л, де ц? функц?? будуть в?др?знятися не б?льше н?ж на це число. Мовою ${\displaystyle \varepsilon ,\delta }$:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\delta ):|f(x)-g(x)|<\varepsilon }$

Не важко побачити, що це визначення означа? р?вн?сть границ? р?зниц? функц?й нулю при прямуванн? до точки ${\displaystyle x_{0}}$. ${\displaystyle |f(x)-g(x)|}$ ? не що ?нше, як абсолютна похибка наближення функц?? ${\displaystyle f(x)}$ функц??ю ${\displaystyle g(x)}$. При визначенн? апроксимувально? в точц? функц?? ми вимага?мо, щоб абсолютну похибку можна було зробити як завгодно малою. При цьому в?дносна похибка зовс?м не обов'язково мала. Простий приклад: функц?я ${\displaystyle -x}$ апроксиму? функц?ю ${\displaystyle x}$ у точц? ${\displaystyle 0}$, оск?льки в них однакова границя. Однак в?дносна похибка ц??? апроксимац?? у вс?х точках кр?м ${\displaystyle 0}$ дор?вню? ${\displaystyle 200\%}$.

Можна зам?сть умови малост? абсолютно? похибки вимагати мал?сть в?дносно?. Функц?? з такою умовою й називають асимптотично екв?валентними ^{[1] [ в?дсутн? в джерел? ]} . В?дносну похибку (для не р?вно? нулю ${\displaystyle f(x)}$ у деякому проколотому окол? точки ${\displaystyle x_{0}}$) функц?й ${\displaystyle f(x)}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ обчислюють за формулою ${\displaystyle \left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)}}\right|}$. Умову асимптотично? екв?валентност? формулюють тод? так:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\delta ):\left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)}}\right|<\varepsilon }$

Це, очевидно, екв?валентне умов? ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)}{f(x)}}=1}$, яку найчаст?ше приймають як визначення асимптотично? екв?валентност?.

Визначення [ ред. | ред. код ]

Класичне визначення

Нехай ${\displaystyle f(x)}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ визначен? в деякому проколотому окол? точки ${\displaystyle x_{0}}$ ( ${\displaystyle x_{0}}$ також може бути неск?нченн?стю, як з певним знаком, так ? беззнаковою) ? ${\displaystyle g(x)}$ не дор?вню? ${\displaystyle 0}$ в деякому проколотому окол?. Функц?? ${\displaystyle f(x)}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ називають асимптотично р?вними при ${\displaystyle x\to x_{0}}$, якщо:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}$

Екв?валентн?сть за базою

Звичайно, асимптотичну р?вн?сть можна розглядати не т?льки для простого прямування аргументу до певного значення. Можна розглядати границю й з ?ншими базами: при прямуванн? аргументу праворуч, л?воруч, за якоюсь п?дмножиною ? взагал? за будь-якою базою. Тому ? сенс визначити асимптотичну екв?валентн?сть для будь-яко? бази ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Нехай ${\displaystyle f(x)}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ визначено на деякому елемент? бази ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ не дор?вню? ${\displaystyle 0}$ на деякому елемент? бази. Функц?? ${\displaystyle f(x)}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ називають асимптотично р?вними за базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, якщо: ^{[2] [ в?дсутн? в джерел? ]}

${\displaystyle \lim _{\mathfrak {B}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}$

Загальний випадок

Поняття асимптотично? р?вност? можна узагальнити й на випадок, якщо умова нер?вност? нулю ${\displaystyle g(x)}$ не викону?ться в жодному окол?. Нехай ${\displaystyle f(x)}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ визначено на деякому елемент? бази ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Функц?? ${\displaystyle f(x)}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ називають асимптотично р?вними за базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ якщо функц?ю ${\displaystyle f(x)}$ можна подати у вигляд? ${\displaystyle f(x)=\varepsilon (x)g(x)}$, де ${\displaystyle \lim _{\mathfrak {B}}\varepsilon (x)=1}$^[3] .

Через о-мале

Екв?валентне визначення асимптотично? р?вност? можна дати з використанням поняття о-малого. Нехай ${\displaystyle f(x)}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ визначене на деякому елемент? бази ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ не дор?вню? ${\displaystyle 0}$ на деякому елемент? бази. Функц?? ${\displaystyle f(x)}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ називають асимптотично р?вними за базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ якщо функц?ю ${\displaystyle f(x)}$ можна подати у вигляд? ${\displaystyle f(x)=g(x)+o(f(x))}$, де ${\displaystyle o(f(x))}$ ? о-мале в?д ${\displaystyle f(x)}$ за базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

Через неск?нченно малу

Для загального випадку наведене вище визначення через о-мале можна сформулювати, використовуючи поняття неск?нченно мало? . Нехай ${\displaystyle f(x)}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ визначено на деякому елемент? бази ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Функц?? ${\displaystyle f(x)}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ називають асимптотично р?вними за базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ якщо функц?ю ${\displaystyle f(x)}$ можна подати у вигляд? ${\displaystyle f(x)=g(x)+o(1)f(x)}$, де ${\displaystyle o(1)}$ ? неск?нченно мала за базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$^[3] .

Для позначення асимптотично? р?вност? використовують тильду  : ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$.

В?дношення екв?валентност? [ ред. | ред. код ]

Асимптотична р?вн?сть за деякою базою в повному розум?нн? ? в?дношенням екв?валентност? на множин? визначених на деякому елемент? бази функц?й, тобто воно рефлексивне , симетричне ? транзитивне . Тому множину таких функц?й можна розбити на класи екв?валентност?.

Будь-як? дв? функц??, що мають однакову ск?нченну ненульову границю, екв?валентн? м?ж собою. З ?ншого боку, екв?валентн?сть функц?? деяк?й функц?? з ненульовою ск?нченною межею автоматично тягне за собою р?вн?сть ?хньо? границ?. Отже, множина функц?й з однаковою ск?нченною ненульовою границею утворю? клас екв?валентност?.

Зовс?м не така ситуац?я з неск?нченно малими, неск?нченно великими ? функц?ями, як? не мають границ?. Саме так? екв?валентност? й ц?кав?. Екв?валентн?сть двох функц?й спричиня? р?вн?сть ?хн?х границь (або ?х не?снування), тому можна розглядати окремо класи екв?валентност? неск?нченно великих ? неск?нченно малих функц?й ^[3] .

приклади [ ред. | ред. код ]

Пол?ном при ${\displaystyle x\to \infty }$ екв?валентний сво?му ненульовому доданку з? старшим степенем, а при ${\displaystyle x\to 0}$ ? з молодшим.

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}\sim a_{n}x^{n}}$ при ${\displaystyle x\to \infty ,a_{n}\neq 0}$

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{m+1}x^{m+1}+a_{m}x^{m}\sim a_{m}x^{m}}$ при ${\displaystyle x\to 0,a_{m}\neq 0}$

При обчисленн? границь у багатьох п?дручниках наводять таблиц? екв?валентност? для деяких елементарних функц?й:

Екв?валентн? неск?нченно мал? при ${\displaystyle x\to 0}$

Функц?я 1	Функц?я 2
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \operatorname {tg} x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \arcsin x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \operatorname {arctg} x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle 1-\cos x}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}}$
${\displaystyle e^{x}-1}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \ln(1+x)}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle (1+x)^{\alpha }-1}$	${\displaystyle \alpha x}$
${\displaystyle \operatorname {sh} x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \operatorname {th} x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \operatorname {arsh} x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \operatorname {arth} x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \operatorname {ch} x-1}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}}$

Досить в?домою ? формула Ст?рл?н?а , що наближа? фактор?ал неперервною функц??ю:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$

Асимптотики корисн? в оц?нц? комб?наторних величин з досить великими параметрами. Наприклад, п?дставивши формулу Ст?рл?нга в явну формулу обчислення б?номного коеф?ц??нта , можна отримати, що:

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}\sim {\sqrt {\frac {1}{\pi n}}}2^{2n}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$

К?льк?сть простих чисел, менших за певне задане число, також ма? просте асимптотичне наближення :

${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\ln {n}}}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$ ,

де ${\displaystyle \pi (n)}$ ? к?льк?сть простих чисел, менших в?д ${\displaystyle n}$.

Властивост? [ ред. | ред. код ]

• В?дносна похибка пряму? до нуля. Якщо ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ за базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, то в?дносна похибка за ц??ю базою пряму? до нуля. Ця властив?сть ? приводить загалом до визначення асимптотично? р?вност?. Зауважимо, що абсолютна похибка не повинна прямувати до нуля. Приклад: ${\displaystyle x\sim x+1}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$ але ?хня абсолютна похибка стала ? дор?вню? ${\displaystyle 1}$.
• Зам?на на екв?валентне в границ?. Якщо ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ за базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, то ${\displaystyle \lim _{\mathfrak {B}}f(x)=\lim _{\mathfrak {B}}g(x)}$ у тому сенс?, що границ? або р?вн?, або обидв? не ?снують.

Ця властив?сть дозволя? зам?нювати вираз п?д знаком границ? екв?валентним. Саме на ньому заснована техн?ка обчислення границь за допомогою екв?валентност?.

• Алгебра?чн? операц?? над екв?валентностями. Нехай дал? ${\displaystyle f(x)\sim f_{1}(x)}$, ${\displaystyle g(x)\sim g_{1}(x)}$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ за базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Тод?

${\displaystyle f(x)g(x)\sim f_{1}(x)g_{1}(x)}$ за базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}\sim {\frac {f_{1}(x)}{g_{1}(x)}}}$ за базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

${\displaystyle (f(x))^{m}\sim (f_{1}(x))^{m}}$ за базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

Ус? р?вност? тут у сенс? границ? або р?вн?, або обидв? не ?снують. Останню властив?сть можна узагальнити й на випадок дробового степеня, проте, оск?льки в?д'?мн? числа п?дносити до нец?лого степеня не можна, сл?д попередньо перев?рити, чи будуть п?дсумков? функц?? визначен? на якомусь елемент? бази. Для арифметичних корен?в непарного степеня властив?сть можна застосувати без додаткових перев?рок.

Ц? властивост? широко використовують для обчислення границ?. Приклад:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x(e^{x}-1)}{(\ln(x+1))^{2}\cdot e^{x-1}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\cdot x}{x^{2}\cdot e^{-1}}}=e}$

Зауважимо, що аналог?чно? властивост? для суми нема?: сума екв?валентних не мусить бути екв?валентною сум?.

• Подання через о-мале. ${\displaystyle f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x)+o(f(x))=g(x)+f(x)o(1)}$

Оск?льки це альтернативне визначення екв?валентност?, його можна використовувати й у зворотний б?к. Наприклад: ${\displaystyle x+\ln x\sim x}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$, оск?льки ${\displaystyle \ln x=o(x)}$. Це дозволя? в екв?валентностях позбавлятися малих доданк?в. Приклад:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }(e^{x}-x^{1}0-lnx)=\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty }$

Цю властив?сть у прямий б?к часто використовують у комб?нац?? з таким:

• o-мале ? о-мале в?д екв?валентного. ${\displaystyle f(x)\sim g(x)\Rightarrow o(f(x))=o(g(x))}$

Попри те, що в сум? на екв?валентн? зам?нювати не можна, можна скористатися останн?ми двома властивостями:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x+\ln(x+1)}{e^{x}-1+\operatorname {arctg} {x}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x+o(\sin x)+x+o(\ln(x+1))}{x+o(e^{x}-1)+o(\operatorname {arctg} {x})}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+o(x)}{2x+o(x)}}=\lim _{x\to 0}{\dfrac {2x+o(1)x}{2x+o(1)x}}=\lim _{x\to 0}{\dfrac {2+o(1)}{2+o(1)}}={\frac {2}{2}}=1}$

• Якщо функц?? екв?валентн? за деякою базою, то вони екв?валентн? за будь-якою сильн?шою базою . Приклад: ${\displaystyle \sin x\sim x}$ при ${\displaystyle x\to 0}$, отже вони екв?валентн? ? при ${\displaystyle x\to 0+}$.

Теорема про екв?валентн?сть складних функц?й, як ? теорема про границю складено? функц??, ма? непросте формулювання. Сформулю?мо 3 вар?анти ц??? теореми:

• Екв?валентн?сть складених функц?й.
  • Для неперервних функц?й. Нехай ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$, ${\displaystyle f(x)}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ неперервн? в точц? ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle \lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}}$. Тод? ${\displaystyle f(h(x))\sim g(h(x))}$ за базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

Верс?я теореми для неперервних функц?й , вт?м, покрива? б?льш?сть приклад?в, як? трапляються на практиц?. Наприклад: ${\displaystyle \sin {\dfrac {1}{x}}\sim {\dfrac {1}{x}}}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$. Для розривних функц?й потр?бна додаткова умова.

• Для розривних функц?й. Нехай ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$, ${\displaystyle \lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}}$, ${\displaystyle h(x)}$ на деякому елемент? бази н?де не набува? значення ${\displaystyle x_{0}}$. Тод? ${\displaystyle f(h(x))\sim g(h(x))}$ за базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

Обидв? ц? властивост? ? насл?дком загально? теореми для границь за дов?льною базою.

• Для будь-яко? бази. Нехай ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ за ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$, ${\displaystyle h(x)}$ визначено на деякому елемент? бази ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ? для будь-якого елемента ${\displaystyle d}$ бази ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ ?сну? елемент ${\displaystyle b}$ бази ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, такий що ${\displaystyle h(b)\subseteq d}$. Тод? ${\displaystyle f(h(x))\sim g(h(x))}$ за базою ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

• Нехай ${\displaystyle f(x)}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ додатн? на деякому елемент? бази. ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$ тод? й лише тод? , коли ${\displaystyle \ln {f(x)}=\ln {g(x)}+o(1)}$.
• Якщо ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$, ${\displaystyle c=\operatorname {const} {}}$ ? ${\displaystyle A(x)=(c+o(1))^{f(x)}}$, то ${\displaystyle A(x)=(c+o(1))^{g(x)}}$.
• Екв?валентн?сть ряд?в . За теоремою Штольца , для двох неск?нченних ряд?в:

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{a_{n}}}$ ? ${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{b_{n}}}$ ,

якщо ${\displaystyle \forall n:\ b_{n}>0}$ ? ряд:

${\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{b_{n}}}$

розб?жний, то з ${\displaystyle a_{n}\sim b_{n}}$ виплива?, що:

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}}\sim \sum \limits _{k=0}^{n}{b_{k}}}$ .

Порядок [ ред. | ред. код ]

Под?бним за зм?стом до асимптотично? р?вност?, але менш строгим в?дношенням ? наявн?сть однакового порядку функц?й . Кажуть, що функц?? ${\displaystyle f(x)}$ ? ${\displaystyle g(x)}$ мають однаковий порядок, якщо ${\displaystyle \exists a,A:\ \exists X:\ \forall x>X:ag(x)\leqslant f(x)\leqslant Ag(x)}$ . У цьому випадку використовують позначення ${\displaystyle f(x)=\Theta (g(x))}$ або ${\displaystyle f(x)\in \Theta (g(x))}$. Якщо ц? функц?? неск?нченно мал?, порядок зазвичай називають порядком малост?, ? якщо неск?нченно велик?, то порядком зростання.

При цьому з однаковост? порядку не виплива? ?снування стало? ${\displaystyle c}$ тако?, що ${\displaystyle cf(x)\sim g(x)}$. Для прикладу досить пом?тити, що ${\displaystyle x(1+|\sin {x}|)=\Theta (x)}$, оск?льки ${\displaystyle x\leqslant x(1+|\sin {x}|)\leqslant 2x}$, проте нема? тако? стало? ${\displaystyle c}$, що ${\displaystyle x(1+|\sin {x}|)\sim cx}$.

Прим?тки [ ред. | ред. код ]

Л?тература [ ред. | ред. код ]

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. ? М . : Дрофа, 2003. ? Т. 1. ? 704 с.
• Архипов, Г. И. Лекции по математическому анализу: учеб. для вузов / Г. И. Архипов, В. А. Садовничий , В. Н. Чубариков  ; под ред. В. А. Садовничего. ? 5-е изд., испр. ? М . : Дрофа, 2004. ? 640 с. ? (Классический университетский учебник) ? ISBN 5-7107-8900-3 .
• Asymptotic equality . Encyclopedia of Mathematics .