У
математиц?
Аддитивний метод Шварца
, названий на честь
Германа Шварца
, для приблизного пошуку р?шення
крайово? задач?
для
часткового диференц?ального р?вняння
шляхом розбиття його на менш? задач? того ж типу та додавання результат?в.
Частков? диференц?альн? р?вняння (ЧДР) використовуються в ус?х
науках
для
моделювання
явищ. З метою кращого пояснення наведемо приклад конкретно? ф?зично? задач? та супров?дно? гранично? задач? (СГЗ). Нав?ть якщо читач не ознайомлений ?з нотац??ю, мета поляга? лише в тому, щоб показати, як вигляда? СГЗ, коли формулю?ться.
- (Моделювання проблеми)
Розпод?л тепла на поверхн? квадратно? металево? пластини ? таким, що л?вий край трима?ться на 1 градус?, а ?нш? кра? тримаються на 0 градусах, п?сля того,як дана система пробула у такому стан? тривалий час,вона переходить у супров?дну граничну задачу:
- f
xx
(
x
,
y
) +
f
yy
(
x
,
y
) = 0
- f
(0,
y
) = 1;
f
(
x
, 0) =
f
(
x
, 1) =
f
(1,
y
) = 0
- де
f
- нев?дома
функц?я
,
f
xx
?
f
yy
позначають другу
часткову пох?дну
взяту по
x
?
y
в?дпов?дно.
Тут
область визначення
- квадрат з одиничними сторонами.
Цю конкретну проблему можна вир?шити на папер?, тому нема? необх?дност? в комп'ютер?. Однак це частковий випадок, ? б?льш?сть БВП неможливо вир?шити точно.
?дина можлив?сть - використовувати комп’ютер, щоб знайти приблизне р?шення.
Розв'язування з допомогою комп'ютера
[
ред.
|
ред. код
]
Типовим способом цього ? розд?лення квадрату на певн? точки,як? мають наб?р координат,в?дпов?дно до цього буду?ться функц?я
f .
Наприклад, ми могли взяти 8 точок у напрямку
x
за
x
= 0,1, 0,2, ..., 0,8 ? 0,9, ? 8 точок у напрямку
y
за аналог?чними
координатами
. Тод? у нас було б 64 точки на площин?.Кожна наступна ?терац?я раху?ться за для конкретно? точки на баз? ?? вза?мод?? ?з сус?дн?ми точками.Так? обчислення ? зд?йснюються комп'ютером.
Проте ? певн? труднощ?, наприклад, неможливо обчислити
f
xx
(0,5,0,5), знаючи
f
лише у 64 точках у квадрат?. Щоб подолати ц? труднощ? використову?ться метод обчислення через наближення пох?дних. Наприклад,
метод ск?нченних елемент?в
або
ск?нченних р?зниць
. Використовуючи ?х,ми зб?льшу?мо к?льк?сть точок,щоб ?гнорувати вище наведене обмеження.
Розв’язування л?н?йних задач
[
ред.
|
ред. код
]
Який би метод ми не взяли для вир?шення ц??? проблеми, нам потр?бно розв’язати велику
систему л?н?йних р?внянь
. Читач може згадати,що системи л?н?йних р?внянь виглядають так:
- 2
a
+ 5
b
= 12 (*)
- 6
a
- 3
b
= ?3
Це система з 2 р?внянь та 2 нев?домих (
a
?
b
). Якщо ми вир?шимо СГЗ показану вище, як запропоновано, нам знадобиться розв’язати систему з 64 р?внянь та 64 нев?домих. Це не важка проблема для сучасних комп'ютер?в, але якщо ми використову?мо б?льшу к?льк?сть зразк?в, нав?ть сучасн? комп'ютери не можуть вир?шити СГЗ дуже ефективно.
Що приводить нас до методу розбиття задач?. Якщо розд?лити задачу з квадратом 1х1 на два прямокутники 1х0.5 то кожен ма? лише половину з обраних точок. Таким чином, ми можемо спробувати вир?шити задачу для меншо? верс?? нашо? модел? на кожному прямокутнику, але цього разу кожен об'?кт ма? лише 32 точки. Нарешт?, враховуючи р?шення кожного прямокутника, ми можемо спробувати ?х з'?днати, щоб отримати р?шення вих?дно? задач? на 1х1.
Список л?тератури
[
ред.
|
ред. код
]
- Барр? См?т, Петтер Бьорстад, В?льям Гропп, Розкладання домен?в, Паралельн? багатор?внев? методи для часткових диференц?альних р?внянь ел?птичних, Кембриджський ун?верситет, Прес 1996
- Андреа Тоселл? та Олоф В?длунд, методи декомпозиц?? домен?в - алгоритми та теор?я, Спрингерська сер?я в обчислювальн?й математиц?, т. 34, 2004
Зовн?шн? посилання
[
ред.
|
ред. код
]