Bu madde, Vikipedi bicem el kitabına uygun de?ildir . Maddeyi, Vikipedi standartlarına uygun bicimde duzenleyerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz. Gerekli duzenleme yapılmadan bu ?ablon kaldırılmamalıdır. ( ?ubat 2018 )

Bu madde hicbir kaynak icermemektedir . Lutfen guvenilir kaynaklar ekleyerek madde iceri?inin geli?tirilmesine yardımcı olun. Kaynaksız icerik itiraz konusu olabilir ve kaldırılabilir . Kaynak ara:   "Standart sapma"  ?  haber · gazete · kitap · akademik · JSTOR ( Eylul 2022 ) ( Bu ?ablonun nasıl ve ne zaman kaldırılması gerekti?ini o?renin )

Standart sapma , Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, bir anakutle , bir orneklem , bir olasılık da?ılımı veya bir rassal de?i?ken , veri de?erlerinin yayılımının ozetlenmesi icin kullanılan bir olcudur. Matematik notasyonunda genel olarak, bir anakutle veya bir rassal de?i?ken veya bir olasılık da?ılımı icin standart sapma σ (eski Yunan harfi olan kucuk sigma) ile ifade edilir; orneklem verileri icin standart sapma icin ise s veya s' (anakutle σ de?eri icin yansız kestirim kullanılır.)

Standart sapma varyansın karekokudur. Daha matematiksel bir ifade ile standart sapma veri de?erlerinin aritmetik ortalamadan farklarının karelerinin toplamının veri sayısı -1'e bolumunun karekokudur, yani verilerin ortalamadan sapmalarının kareler ortalamasının karekoku olarak tanımlanır. Standart sapma kavramının yayılma olcusu olarak kullanılmasını anlamak icin olcum birimine bakmak gerekir. Di?er yayılma olcusu olan varyans verilerin ortalamadan farklarının karelerinin ortalaması olarak tanımlanır. Boylece varyans olcusu icin veri birimlerinin karesi alınması gerekir ve varyansın birimi veri biriminin karesidir. Bu durum pratikte istenmeyen sonuclar yaratabilir (Orne?in veriler birimi kilogram ise varyans birimi kilogram kare olur). Bundan kacınmak icin standart sapma icin varyansın karekoku alınarak standart sapma birim veri birimi olması sa?lanır ve verinin yayılımı boylece veri birimleri ile olculur.

Standart sapma genel olarak niceliksel olcekli sayılar icin en cok kullanılan verilerin ortalamaya gore yayılmasını gosteren bir istatistiksel olcudur. E?er bircok veri ortalamaya yakın ise, standart sapma de?eri kucuktur; e?er bircok veri ortalamadan uzakta yayılmı?larsa standart sapma de?eri buyuk olur. E?er butun veri de?erleri tıpatıp ayni ise standart sapma de?eri sıfırdır

Tanımlama ve hesaplama [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Rassal de?i?ken icin standart sapma [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Bir rassal de?i?ken olan X icin standart sapma ?oyle tanımlanır:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\sigma &=&{\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}}={\sqrt {\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}}\\&=&{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}\end{array}}}$

Burada E( X ) X icin beklenen de?er yani ortalama ve Var( X ) X icin varyans de?eridir.

Her rassal de?i?ken da?ılım tipi icin bir standart de?er var olması gerekli de?ildir. Cunku bazı da?ılımlar icin beklenen de?er bulunamaz. Orne?in, Cauchy da?ılımı gosteren bir rassal de?i?ken X icin bir standart sapma yoktur; cunku E( X ) tanımlanamaz.

E?er bir rassal de?i?ken X ( reel sayılar olan) ${\displaystyle \scriptstyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ de?erlerini e?it olasılıkla alırsa, o rassal de?i?ken icin standart sapma ?oyle hesaplanır:

Once, X icin ortalama ${\displaystyle {\overline {x}}}$, ?u toplam olarak tanımlanır:

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

Burada N alınan orneklem buyuklu?u sayısıdır.

Sonra, standart sapma ifadesi ?oyle basitle?tirilir:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}.}$

Yani, bir aralıklı tekduze da?ılım gosteren rassal de?i?ken X icin standart sapma ?oyle hesaplanır:

1. Her ${\displaystyle x_{i}}$ de?eri icin x _i le ortalama de?er olan ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}}$ arasında olan farklar ${\displaystyle \scriptstyle x_{i}-{\overline {x}}}$ olarak bulunur.
2. Bu farkların kareleri hesaplanır.
3. Bu farkların karelerinin ortalaması bulunur. Bu de?er varyans , yani σ ² , olur.
4. Bu varyans de?erinin kare koku alınır.

Ancak hesapları elle veya el hesap makinesi ile yapmak icin genellikle daha uygun bir formul kullanılır:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n{\overline {x}}^{2}\right)}}.}$

Bu iki formulun birbire e?itli?i biraz cebir kullanılarak gosterilebilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}&={}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}-2x_{i}{\overline {x}}+{\overline {x}}^{2})\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-\left(2{\overline {x}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)+n{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-2{\overline {x}}(n{\overline {x}})+n{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-n{\overline {x}}^{2}.\end{aligned}}}$

Anakutle standart sapma de?erinin orneklem standart sapma kullanılarak kestirimi [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Pratik hayatta, her bir anakutle elemanın olculmesini gerektiren bir anakutle standart sapma de?eri bulmak, bazı cok nadir haller dı?ında (ornegin standart hale getirilmi? mekanik test etme ), hic realistik de?ildir. Nerede ise her halde, anakutleden bir rastgele orneklem alınır ve bu orneklemden anakutle standart sapması icin bir kestirim de?er bulunur. Bu kestirim, cok kere orneklem standart sapma sını anakutle standard sapmasının aynı olan bir formulu kullanmak suretiyle yapılır:

${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\,,}$

Burada ${\displaystyle \scriptstyle \{x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\}}$ orneklem de?erleri ve ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {x}}}$ orneklem ortalamasıdır. Bolen de?er olan n  ? 1

${\displaystyle \scriptstyle (x_{1}-{\overline {x}},\,\dots ,\,x_{N}-{\overline {x}})}$.

vektoru icinde bulunan serbestik derecesi olur.

Bu belki bir bakıma uygundur; cunku e?er bir anakutle varyansının kavramsal olarak var oldu?u biliniyorsa ve orneklem icin anakutleden her eleman cekiminden sonra bu eleman geri konulursa, bilinmektedir ki orneklem varyansı (yani s ² ) anakutle varyansı (yani σ ² ) icin bir yansız kestirim olur. Ancak bu standart sapmalar icin do?ru de?ildir ; yani yukaridaki gibi bulunan orneklem standart sapması ( s ) anakutle standart sapması (σ) icin yansız kestirim de?eri de?ildir ve s ile anakutle standart sapması biraz daha kucukce tahmin edilir. E?er rassal de?i?ken normal da?ılım gosteriyorsa, bu yansız olan kestirim pratikte cok kolay olmayan bir donu?um ile elde edilebilmektedir. Ayrıca zaten bir kestirim icin yansız olmak karakteri her zaman cok istenir bir ozellik de?ildir.

Cok kullanılan di?er bir kestrim ise benzer bir ifade ile ?oyle verilir:

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\,\,.}$

olur. E?er anakutle normal da?ılım gosteriyorsa, bu ?ekildeki kestirim yansız kestirimden her zaman biraz daha kucuk ortalama hata karesi gosterir ve bu nedenle normal icin maksimum olabilirlik kestirimi olur.

Bir surekli rassal de?i?ken icin standart sapma [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Surekli olasılık da?ılımları icin genellikle standart sapma de?erinin da?ılıma ozel olan parametreleri kullanılarak hesaplanması icin formul vardır. Genel olarak ise, p ( x ) olasılık yo?unluk fonksiyonu olan bir surekli rassal de?i?ken olan X icin standart sapma ?oyle verilir:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\int (x-\mu )^{2}\,p(x)\,dx}}}$

Burada

${\displaystyle \mu =\int x\,p(x)\,dx}$

Orne?in [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Burada once cok ufak bir anakutle veri serisi icin standart sapma hesaplaması gosterilmektedir. Bu seri bir in?aat firmasının yabancılara yaptı?ı aylık daire satı? sayılarını gostermektedir ve veri serisi ?udur: { 5, 2, 11, 12, 3, 6 } .

1. Once bir aritmetik ortalama ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ?oyle hesaplanır:

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\,\,.}$.

Burada i her veriye verilen sıra numarasıdır yani i=1,2,3,...,6. Yani

${\displaystyle x_{1}=5\,\!}$

${\displaystyle x_{2}=2\,\!}$

${\displaystyle x_{3}=11\,\!}$

${\displaystyle x_{4}=12\,\!}$

${\displaystyle x_{5}=3\,\!}$

${\displaystyle x_{6}=6\,\!}$

Bu halde N = 6 olup veri buyuklu?u veya anakutle hacmidir.

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{6}}\sum _{i=1}^{6}x_{i}}$        N yerine 6

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{6}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}\right)}$

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{6}}\left(5+2+11+12+3+6\right)}$

${\displaystyle {\overline {x}}=6.5}$    Bu aritmetik ortalamadır.

2. Standart sapma ${\displaystyle \sigma \,\!}$ de?erini bulma:

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\,\,.}$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{6}}\sum _{i=1}^{6}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$        N yerine 6

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{6}}\sum _{i=1}^{6}(x_{i}-6.5)^{2}}}}$        ${\displaystyle {\overline {x}}}$ yerine 6.5

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{6}}\left[(5-6.5)^{2}+(2-6.5)^{2}+(11-6.5)^{2}+(12-6.5)^{2}+(3-6.5)^{2}+(6-6.5)^{2}\right]}}}$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{6}}\left((-1.5)^{2}+(-4.5)^{2}+(4.5)^{2}+(5.5)^{2}+(-3.5)^{2}+(-0.5)^{2}\right)}}}$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{6}}\left(2.25+20.25+20.25+30.25+12.25+0.25\right)}}}$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {85.5}{6}}}}$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {14.25}}}$

${\displaystyle \sigma =3.77\,\!}$   Bu standart sapma de?eri olur.

Bu sonucun dikkati cekecek bir yanı verilerin tam sayı olmasına ra?men standart sapmanın (ve ayni ?ekilde aritmetik ortalamanın) kesirli olmasıdır.

Bu hesaplamayı daha kolayla?tırmak icin ?u formul kullanılabilir:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n{\overline {x}}^{2}\right)}}.}$

1. Once bir aritmetik ortalama ${\displaystyle {\overline {x}}}$ hesaplanır:

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}$.

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{6}}\left(5+2+11+12+3+6\right)}$

${\displaystyle {\overline {x}}=6.5}$    Bu aritmetik ortalamadır.

2. Sonra toplam kareler bulunur:

${\displaystyle \sum {(x_{i})^{2}}}$ = 5 ² + 2 ² + 11 ² + 12 ² + 3 ² + 6 ²

${\displaystyle \sum {(x_{i})^{2}}}$ = 25+4+121+144+9+36

${\displaystyle \sum {(x_{i})^{2}}}$ = 339

3. Bunlar formule konulur:

Yani ${\displaystyle \sum {(x_{i})^{2}}}$ = 339     ${\displaystyle {\overline {x}}=6.5}$    ${\displaystyle n=6}$     formule girer:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{6}}\left(339-6\times {6.5}^{2}\right)}}}$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{6}}\ (339-253.5)}}}$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{6}}\ (85.5)}}}$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {14.25}}}$

${\displaystyle \sigma =3.77\,\!}$   Bu standart sapma de?eridir.

Acıklama ve uygulama [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Belli bir seri sayı icin standart sapma de?erini bilmek ve bu kavramı anlamak demek bir ortalama etrafında bu serinin ne kadar yayılım gosterdi?ini anlamaktır. Standart sapmanın buyuk olması veri noktalarının ortalamadan daha uzak yayıldıklarını; kucuk bir standart sapma ise ortalama etrafında daha cok yakın grupla?tıklarını gosterir.

Standart sapma belirsizli?in bir olcusu olarak hizmet edebilir. Fiziksel bilimlerde, tekrar tekrar yapılan deneyler ve deneylerde alınan olculer ise gosterilen standart sapma olgusu bu deneyin olculmesindeki kesinlik ve do?rulu?unu gosterir. Olcumlerin teoriye dayanan bir tahmin ile kar?ıla?tırıp birbirine uygunluk gosterip gostermedi?ine karar vermede olcumlerin standart sapması onemli rol oynar. E?er olcumlerin standart sapması teorik tahminden cok daha uzaksa, sınanan teorinin de?i?tirilmesi gerekir. ??te bu uzaklık standart sapmalarla belirlenir.

Finansmanda, standart sapma verilmi? bir menkul (hisse seneti, tahvil, emlak vb.) icin rizikonun veya bir menkuller portfoyu icin rizikoları temsil eder. Bir yatırım portfoyunun etkin olarak idare edilmesini tayin eden en onemli faktorlerden birisi rizikodur. Cunku her tek bir menkulun veya bir menkuller portfoyunun getirisindeki mumkun yayılımını riziko tanımlar ve rizikonun standart sapma ile tanımlanması ise yatırım kararları icin bir matematiksel temel sa?lar. En geni? kavramla, yatırım rizikosu arttıkca menkul veya menkuller portfoyunun beklenen getirisi da artı? gosterir. Buna neden yatırımcıların menkul getirileri icin riziko primlerini artırmaları olarak acıklanır. Di?er bir deyi?le, e?er bir yatırım daha yuksek riziko seviyesi ta?ıyorsa, yatırımcılar o yatırımından daha yuksek bir getiri beklemeleri gereklidir.

Uzunca bir zaman icinde herhangi bir menkul icin yıllık getirilerinin ortalamasını bulmakla o menkul icin beklenen getiri de?erini vermektedir. Her yıl icin elde edilen getiriden bu beklenen getiri farkı bulunursa buna finansmancılar ve muhasebeciler tarafından varyans adı verilir (Dikkat edilirse bu istatistiksel varyans kavramından farklıdır). Her bir yıl icin varyansın karesini bulmak ve bu varyans karelerinin ortalamasının kare koku o menkulun standart sapmasını yani rizikosunu gosterir. ??te bu rizikolar yani varyansların karelerinin toplamının ortalamasının kare koku, standart sapmadır ve rizikoyu olcer. Menkullerin kar?ıla?tırılımı icin temel calı?ma i?te bu olcu ile yapılır.

Standart sapmalar icin pratik uygulamalar daha de?i?ik alanlarda da verilebilir; fakat burada bu ufak sayıda uygulamalar bile standart sapmanın uygun bir ?ekilde onemini ortaya cıkartmaktadır.

Normal da?ılım gosteren veriler icin kurallar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Pratikte, cok zaman verilerin yakla?ık olarak bir normal da?ılım gosteren anakutleden geldi?i varsayılır. Bu varsayıma neden olarak merkezsel limit teoreminin gecerlili?i iddiası olur. Merkezsel limit teoremine gore bircok birbirinden ba?ımsız ve hepsi aynı da?ılım gosteren rassal de?i?kenlerin toplamı limitte bir normal da?ılıma gore e?ilim gosterirler. E?er bu varsayım gecerli ise, de?erler yakla?ık %68,27 olasılıkla ortalamadan eksi ve artı bir standart sapma noktalarının arasında bulunur; ortalamadan artı ve eksi 2 standart sapma noktaları arasında %95,45 olasılıkla ve ortalamadan artı ve eksi 3 standart sapma noktaları arasında %99,73 olasılıkla bulunur. Bu 68-95-99.7 kuralı veya bir emprik kural olarak bilinir.

Guvenlik aralıkları ?oyle gosterilebilir:

σ	%68,26894921371
2σ	%95,44997361036
3σ	%99,73002039367
4σ	%99,99366575163
5σ	%99,99994266969
6σ	%99,99999980268
7σ	%99,99999999974

Normal da?ılımlar icin ortalamadan bir standart sapma uzaklıktaki e?ri uzerindeki noktalar bir enfeksiyon noktası da olurlar.

Cebi?ev'in e?itsizli?i [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Yakınlık standart sapma birimlerinde ifade edilirse, herhangi bir veri serisi icin, Cebi?ev'in e?itsizli?i ile ispat edilmi?tir ki veri de?erlerin cok buyuk co?unlu?u ortalama de?ere yakın dır. Cebi?ev'in e?itsizli?i sadece normal da?ılım gosteren seriler icin de?il, butun rastgele da?ılım gosteren veri serileri icin gecerlidir. Buna gore, ?u zayıf sınırlar ve bu sınırlar icinde bulunan veri yuzdesi ?oyle verilebilir:

Ortalamadan √2 standart sapma uzaklıkları arasında de?erlerin en a?a?ı %50si bulunur.

Ortalamadan 2 standart sapma uzaklıkları arasında de?erlerin en a?a?ı %75i bulunur.

Ortalamadan 3 standart sapma uzaklıkları arasında de?erlerin en a?a?ı %89u bulunur.

Ortalamadan 4 standart sapma uzaklıkları arasında de?erlerin en a?a?ı %94u bulunur.

Ortalamadan 5 standart sapma uzaklıkları arasında de?erlerin en a?a?ı %96sı bulunur.

Ortalamadan 6 standart sapma uzaklıkları arasında de?erlerin en a?a?ı %97si bulunur.

Ortalamadan 7 standart sapma uzaklıkları arasında de?erlerin en a?a?ı %98i bulunur.

Genel olarak:

ortalamadan k standart sapma uzaklıkları arasında de?erlerin en a?a?ı %(1 ? 1/ k ² ) × 100 si bulunur.

Standart sapma ve ortalama arasındaki ili?ki [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Cok kere bir veri serisinin ozetlenmesinde ortalama ve standart sapma birlikte bildirilmektedir. Bir anlamda, e?er ortalama verilerinin merkezi olarak kullanılan olcu ise, standart sapma veri yayılımının do?al olcusudur. Buna neden ortalama noktasından standart sapmanın, verinin herhangi bir noktasından standarize edilmi? sapmadan daha kucuk oldu?udur. Bu matematiksel ifade ile ?oyle gosterilebilir: x ₁ , ..., x _n reel sayılar olsun ve ?u fonksiyon tanımlansın:

${\displaystyle \sigma (r)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-r)^{2}}}}$

Ya birinci turev alınıp sıfıra e?it yaparak veya daha kolay bir cebirsel yol olan kare tamamlaması kullanarak σ( r ) nın tek ve sadece tek bir minimum noktasının aritmetik ortalama oldu?u; yani

${\displaystyle r={\overline {x}}.\,}$

gosterilebilir.

Standart sapma ile ortalama arasındaki di?er bir ili?ki ise yayılım ozelli?ine dayanan veri kar?ıla?tırılmaları icin kullanılan varyasyon katsayısıdır . Bir veri serisi icin varyasyon katsayısı standart sapma ile ortalama arasındaki orandır. Boylece, standart sapma (ve ortalama) veri birimleri ile boyutlu iken (orne?in veri TL ile ise standart sapma ve ortalama TL birimlerindedir); varyasyon katsayısı boyutsuz sırf bir sayıdır. Bu nedenle de?i?ik birimlerde olan verilerin yayılımlarının kar?ıla?tırılması icin kullanılabilir.

Ayrıca bakınız [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Kaynakca [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

Dı? kaynaklar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

• Spiegel, Murray R ve Stephens, Larry J. (Tr.Cev.: Celebio?lu, Salih) (2013) ?statistik , ?stanbul: Nobel Akademik Yayıncılık ISBN 9786051337043

Dı? ba?lantılar [ de?i?tir | kayna?ı de?i?tir ]

• Mod, medyan, ortalama ve stantart sapma hesaplayabilece?iniz Turkce bir sayfa.
• Standart sapma hesaplayıcısı
• Standart sapmayı anlamak ve hesaplamak icin bir kılavuz (?ngilizce)
• Standart sapma - matematik kullanmadan bir acıklama 10 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi . (?ngilizce)
• Standart sapma, bir basit giri? 8 ?ubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi . (?ngilizce)
• Standart sapma: dergi ve gazete yazarları icin basitce bir acıklama 8 ?ubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi . (?ngilizce)
• Texas A&M standart sapma ve guven aralı?ı hesaplayıcıları 12 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde ar?ivlendi . (?ngilizce)