??????????????????? ???? ???????????????????? ???? ???????????????????? ( ?????? : standard deviation: SD ) ????? ??????????? ??? ????????????? ??????????????????????????????????? ?????? ???????????????? ?????????????????????? ?????????? ??????? ???? ???????? ?????????????????????????????????? ????????? ????? ??????? (σ) ???????????????????????????? root mean square (RMS) ??? ????????? ???????????????? ????????? ??? ???????????

???????????????????????????? ??????? ?????? (Francis Galton) ?????????????????????? 1860 ^[1] ???????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????? ?? ????????? ??????????????????????????? ????????????????????????????????????? ???????????????????????????????? ???????????? ??????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????? ??????????????????????????????????? ????????????????????????????????? ????? ???????????????????????? ??????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????

????? ???????? ?????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

????? [ ??? ]

?????????????????????? ?????????? X ???????????????????

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\sigma &=&{\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}}={\sqrt {\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}}\\&=&{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}\end{array}}}$

????? E( X ) ??????? ?????????? ??? X (??????????????????????? ?????? ) ??? Var( X ) ??????? ??????????? ??? X

????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????? ???????????? ?????????????????????????????????????? ????????????? (Cauchy distribution) ?????????? ???????? E( X ) ?????????????????

????????????? X ???????????????????????? ${\displaystyle x_{1},...,x_{N}}$ ?????????????? ????????? ????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????? X ???????? ????????????????????? ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ????????????? ????? (summation) ??????

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{N}}{N}}}$

????? N ?????????????????????????? ??????????????????????????????????????????????

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$

???????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????

1. ????????????????? ${\displaystyle x_{i}}$ ????????????????? ${\displaystyle x_{i}-{\overline {x}}}$
2. ????????????????????????????
3. ??????????????????????????????????????? N ?????????????????????????? ${\displaystyle \sigma ^{2}}$
4. ???????????????????????????????????????? ????????????????????????

?????????????????????????????????????????????????????????????????

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}-N{\overline {x}}^{2}\right)}}}$

????????????????????????????? ?????????????????????????????????????

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}&={}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{2}-2x_{i}{\overline {x}}+{\overline {x}}^{2})\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left(2{\overline {x}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2{\overline {x}}(N{\overline {x}})+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2N{\overline {x}}^{2}+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-N{\overline {x}}^{2}\end{aligned}}}$

?????????????????????????????????????? [ ??? ]

?????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????? ?????????????????????? ??????????????? (standardized test) ??????????????????????????????????????????????????????? ????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????????????????????? ?????????????????????????????? (sample standard deviation) ????????????

${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$

????? ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},...,x_{N}\}}$ ?????????????? ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ??????????????????????? ??????? N ? 1 ??? ???????? (degrees of freedom) ??????????? ${\displaystyle (x_{1}-{\overline {x}},...,x_{N}-{\overline {x}})}$

??????????????????????????? ${\displaystyle s^{2}}$ ???? ??????????????????????? (unbiased estimator) ????????????????? ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ??????????????????????? ?????????????????????????? ??????????? ??????????????????????????????????????????? ???????????? s ?????? ?????????????????????????? σ ??????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????? σ ???????????????????????????????? ????????????? ?????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????

?????????????????????????????????????????????????????

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$

???????????????????????????????????????? mean squared error ??????????????????????????????? ???????????????? ??????????????????? (maximum likelihood) ?????????????????????????????????????????????

????????????????????????????????????????????? [ ??? ]

?????????????????? (continuous distribution) ???????????????????????????????????????????????????????? ???????? ?????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????? X ????? p ( x ) ???? ??????????????????????????????????? (probability density function) ?????????????????

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\int (x-\mu )^{2}\,p(x)\,dx}}}$

?????

${\displaystyle \mu =\int x\,p(x)\,dx}$

??????????????????????????????? [ ??? ]

• ${\displaystyle \operatorname {Stdev} (X+c)=\operatorname {Stdev} (X)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Stdev} (cX)=c\ \operatorname {Stdev} (X)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Stdev} (X+Y)={\sqrt {\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)+2\operatorname {Covar} (X,Y)}}}$

????? c ???? ???????? ??? Covar( X , Y ) ??? ????????????????????? (covariance) ????????????? X ??? Y

??????? [ ??? ]

??????????????? [ ??? ]

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• Standard Deviation - an explanation without maths
• Standard Deviation, an elementary introduction
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