Den har artikeln behover kallhanvisningar for att kunna verifieras . (2018-12) Atgarda genom att lagga till palitliga kallor ( garna som fotnoter ). Uppgifter utan kallhanvisning kan ifragasattas och tas bort utan att det behover diskuteras pa diskussionssidan .

Den cartesiska eller kartesiska produkten eller mangdprodukten av tva mangder ${\displaystyle A}$ och ${\displaystyle B}$ ar mangden av alla ordnade par ${\displaystyle (a,b)}$ vars forsta element ${\displaystyle a}$ tillhor ${\displaystyle A}$ och vars andra element ${\displaystyle b}$ tillhor ${\displaystyle B}$. Produkten av ${\displaystyle A}$ och ${\displaystyle B}$ skrivs A  ×  B , sa definitionen kan sammanfattas

${\displaystyle A\times B=\{(a,b):a\in A\land b\in B\}}$.

Mangdprodukten kallas "cartesisk" efter Renatus Cartesius, den latinska oversattningen av Rene Descartes . Descartes inforde namligen de sa kallade kartesiska koordinaterna , som i sin tur har inspirerat den mangdteoretiska definitionen. Om P ar en punkt i ett plan med ett koordinatsystem , sa kan P entydigt beskrivas med hjalp av sin " x -koordinat" och sin " y -koordinat". Punkten kan alltsa representeras av ett ordnat par ( a , b ) av reella tal, dar a och b ar x -koordinaten respektive y -koordinaten. Mot varje punkt i planet svarar precis ett sadant par, och tvartom. Mangden av alla mojliga sadana par av kartesiska koordinater for punkter i planet ar just det som nu for tiden kallas den cartesiska produkten R  ×  R eller R ² .

Man kan ocksa bilda cartesiska produkter av ett storre antal mangder. Produkten A  ×  B  ×  C av de tre mangderna A , B och C bestar av alla trippler ( a , b , c ), dar a  ∈  A , b  ∈  B och c  ∈  C . Allmant galler att om ( M _i ) _{i ∈ I} ar en familj av mangder over en indexmangd av godtycklig storlek, sa definieras den cartesiska produkten av denna familj genom

${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:x_{i}\in M_{i}{\hbox{ for }}i\in I\}}$.

Nar indexmangden bestar av de n forsta positiva heltalen, alltsa I  = { 1, 2, ...,  n }, sa skrivs produkten hellre som

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}M_{i}=M_{1}\times \ldots \times M_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in M_{i}{\hbox{ for }}i=1,\ldots ,n\}}$.

Formellt sett torde till exempel A  ×  B  ×  C , ( A  ×  B ) ×  C och A  × ( B  ×  C ) vara olika mangder, eftersom oftast ( a , b , c ), (( a , b ), c ) och ( a ,( b , c )) definieras pa ett sadant satt att de ar olika. I praktiken behandlar man dock i allmanhet dessa som samma mangd genom att man identifierar trippeln och de tva "blandade" paren.

Produkten A  ×  A kan ocksa skrivas A ² , A  ×  A  ×  A skrivs ocksa A ³ , och sa vidare. En vanlig tillampning ar beteckningen for reella talplanet, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ eller R ² .

Exempel:

• {1, 3, π} × {2, 17} = {(1, 2), (1, 17), (3, 2), (3, 17), (π, 2), (π, 17)}

Projektioner pa koordinater [ redigera | redigera wikitext ]

Man kan tolka den kartesiska " x -koordinaten" for en punkt P i planet som ett tal som beskriver den vinkelrata projektionen av punkten pa x -axeln. Denna geometriska ide har generaliserats till allmanna cartesiska produkter. For en produkt over en indexmangd I och ett element i i I definierar man projektionen pa den i : te koordinaten som funktionen

${\displaystyle \pi _{i}:\prod _{i\in I}M_{i}\rightarrow M_{i}{\hbox{ given av }}\pi _{i}{\bigl (}(x_{i})_{i\in I}{\bigr )}=x_{i}}$.

Denna projektion "plockar ut" den koordinat som hade indexet i . I exemplet ovan ar π ₂ ((3,17)) = 17. Projektioner betecknas ocksa pa manga andra satt an just med bokstaven π med index.

Det finns alltsa en projektion for varje index, sa att man for en cartesisk produkt over en indexmangd I far en hel familj (π _i ) _{i ∈ I} av projektioner, over samma indexmangd.

Tolkning som direkta produkter [ redigera | redigera wikitext ]

Den cartesiska produkten Π _I   M _i av en familj ( M _i ) _I  = ( M _i ) _{i ∈ I} av mangder har tillsammans med motsvarande familj ( π _i ) _I  = ( π _i ) _{i ∈ I} en viss abstrakt kategoriteoretisk universell egenskap, som beskrivs nedan, i kategorin av mangder. Objekt och familjer av morfismer med denna egenskap kallas pa kategoriteoretiskt sprak for direkta produkter . Darfor ar cartesiska produkter direkta produkter i kategorin av mangder (med vanliga mangdteoretiska funktioner som morfismer).

Mangden Π _I   M _i och funktionsfamiljen (π _i ) _I har foljande universella egenskap: For varje mangd N och familj ( f _i ) _I   av funktioner, dar f _i gar fran N till M _i for varje index i , sa finns en och endast en funktion g : N →Π _I   M _i , sadan att det for varje index i galler att π _i  =  f _i o g . Det visar sig att detta unika g ges av att

${\displaystyle g(x)={\bigl (}f_{i}(x){\bigr )}_{i\in I}{\hbox{ for varje }}x\in N}$.

I manga konkreta kategorier bildas direkta produkter som cartesiska produkter som "arver" sina strukturer fran faktorerna, och projektionerna ar desamma som for vanliga mangdprodukter. Om till exempel V och W ar tva linjara rum , sa kan den direkta produkten av dem beskrivas som den kartesiska produkten V  &times:& W med komponentvisa operationer, vilket betyder att

${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )+(\mathbf {v'} ,\mathbf {w'} )=(\mathbf {v} +\mathbf {v'} ,\mathbf {w} +\mathbf {w'} ){\hbox{ och }}a(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=(a\mathbf {v} ,a\mathbf {w} )}$,

for alla vektorer v och v'' i V , w och w' i W , och skalarer a .

Cartesisk produkt av funktioner [ redigera | redigera wikitext ]

Om f ar en funktion fran A till B och g ar en funktion fran X till Y , sa definieras deras cartesiska produkt f × g som den funktion fran A × X till B × Y som uppfyller

${\displaystyle (f\times g)(a,x)=(f(a),g(x))}$

Precis som for mangder kan detta utvidgas till godtyckliga familjer av funktioner.

Se aven [ redigera | redigera wikitext ]

• Direkt produkt
• Produkttopologi

Externa lankar [ redigera | redigera wikitext ]

• Cartesian Product at ProvenMath (pa engelska)
• En bra forklaring