Algebra

Ej att forvaxla med olika algebraiska strukturer som heter nagot med algebra .

Algebra (fran arabiska ?????,"al-djebr", vilket betyder "aterforening" eller "koppling") ar en gren inom matematiken . Den kan definieras som en generalisering och utokning av aritmetiken (den gren inom matematiken som handlar om rent raknande). Algebra kan ocksa beskrivas som forhallanden vilka uppkommer nar ett andligt antal rakneoperationer utfors pa en andlig mangd av tal. Populart brukar algebra ibland kallas for bokstavsrakning , men detta ar nagot missvisande.

Omradet kan grovt indelas i

Elementar algebra , dar de reella talens egenskaper behandlas, symboler anvands for att beteckna konstanter och variabler , och reglerna som galler for matematiska uttryck och ekvationer involverande dessa symboler studeras, speciellt polynom . Differentialekvationer och liknande hor daremot hemma inom matematisk analys .
Abstrakt algebra , dar algebraiska strukturer sasom kroppar , grupper , och ringar definieras och studeras axiomatiskt . Vektorrummens specifika egenskaper studeras inom den linjara algebran .
Universell algebra , dar egenskaper gemensamma for alla algebraiska strukturer studeras.
Datoralgebra , dar algoritmer for symbolisk behandling av matematiska objekt samlas.

Historia [ redigera | redigera wikitext ]

Sida fran Al-Khw?rizm?s *al-Kit?b al-mu?ta?ar f? ?is?b al-?abr wa-l-muq?bala* .

Redan tidigt fanns retorisk algebra, som innebar att matematiska operationer beskrivs i loptext, helt utan anvandning av symboler. Ofta anvandes geometri i texten; istallet for att skriva $x^{2}$ kunde man skriva om en kvadrat med sidan $x$ . Darefter skedde en stegvis utveckling mot modern symbolisk algebra. Den algebraiska notation som anvands idag har utvecklats sedan 1500-talet.

Som den forste algebraikern anges ibland Diofantos fran Alexandria , vilken levde under 300-talet e.Kr. Hos Diofantos hade beskrivande text delvis ersatts av olika matematiska symboler.

Den persiske matematikern al-Khwarizmi , som gett sitt namn till ordet " algoritm ", skrev omkring 825 i Bagdad verket Hisab al-jabr w'al-muqabalah, (?????? ??????? ?? ???? ????? ?????????) "vetenskapen om aterforening och opposition". Har beskrivs al-jabr , hur man for over termer fran en sida av ekvationen till den andra, samt al-muqabalah , att olika termer pa motsatta sidor i ekvationen tar ut varandra. Han behandlar sex huvudformer av forsta- och andragradsekvationer. ^[
1
]

Fran hogmedeltiden kom Europas matematiska kunskapsniva att utvecklas kraftigt, delvis tack vare kontakt med araber och det bysantinska valdet. Det indisk-arabiska siffersystemet formedlades via araberna. Under 1500-talet var algebran foremal for stort intresse och upplevde en hog blomstring sarskilt i Italien. Dar lostes problemen att genom rotutdragningar upplosa tredje- och fjardegrads-likheterna.

Pa 1600-talet skapade Rene Descartes den sa kallade analytiska geometrin , eller algebrans anvandning pa geometrin. Vid samma tid gjorde Fermat sina upptackter inom talteori , eller algebrans anvandning pa studiet av de hela talens egenskaper.

Fran slutet av 1600-talet harstammar Newtons och Eulers arbeten. 1799 offentliggjorde Carl Friedrich Gauss sitt beromda bevis for att en algebraisk likhet av n :te graden har n rotter, och 1801 utkom hans Disquisitiones arithmeticæ .

Ar 1824 offentliggjorde norrmannen Niels Henrik Abel det forsta av sina banbrytande algebraiska arbeten, beviset for omojligheten att genom rotutdragningar losa polynomekvationer av hogre grad an fyra ( Abels sats ). Under resterande delen av 1800-talet vaxte det som idag kallas gruppteori fram, en gren av matematiken som tog sin inspiration fran Lagranges Reflexions sur la resolution algebrique des equations , Gauss verk omnamnt ovan och Felix Kleins Erlangenprogram . Speciellt vaxte Galoisteorin , uppkallad efter Evariste Galois , fram.

Gruppteori gav i sin tur upphov till abstrakt algebra och dess olika delar som ringteori . Linjar algebra borjade utvecklas fran mitten av 1800-talet. Idag anvands algebraiska strukturer inom manga matematiska discipliner. Inom matematisk analys studeras exempelvis vektorrum ( Banach- och Hilbertrum ), och inom algebraisk geometri och algebraisk topologi anvands verktyg fran algebra.