Фактори?ел првих неколико бро?ева и фактори?ел неких ве?их бро?ева

n	n !
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	7003504000000000000♠ 5 040
8	7004403200000000000♠ 40 320
9	7005362880000000000♠ 362 880
10	7006362880000000000♠ 3 628 800
11	7007399168000000000♠ 39 916 800
12	7008479001600000000♠ 479 001 600
13	7009622702080000000♠ 6 227 020 800
14	7010871782912000000♠ 87 178 291 200
15	7012130767436800000♠ 1 307 674 368 000
16	7013209227898880000♠ 20 922 789 888 000
17	7014355687428096000♠ 355 687 428 096 000
18	7015640237370572800♠ 6 402 373 705 728 000
19	7017121645100408832♠ 121 645 100 408 832 000
20	7018243290200817664♠ 2 432 902 008 176 640 000
25	7025155112100400000♠ 1,551 121 004 × 10 25
50	7064304140932000000♠ 3,041 409 320 × 10 64
70	7100119785716700000♠ 1,197 857 167 × 10 100
100	7157933262154400000♠ 9,332 621 544 × 10 157
450	9000000000000000000♠ 1,733 368 733 × 10 1 000
7003100000000000000♠ 1 000	9000000000000000000♠ 4,023 872 601 × 10 2 567
7003324900000000000♠ 3 249	9000000000000000000♠ 6,412 337 688 × 10 10 000
7004100000000000000♠ 10 000	9000000000000000000♠ 2,846 259 681 × 10 35 659
7004252060000000000♠ 25 206	9000000000000000000♠ 1,205 703 438 × 10 100 000
7005100000000000000♠ 100 000	9000000000000000000♠ 2,824 229 408 × 10 456 573
7005205023000000000♠ 205 023	9000000000000000000♠ 2,503 898 932 × 10 1 000 004
7006100000000000000♠ 1 000 000	9000000000000000000♠ 8,263 931 688 × 10 5 565 708
7100100000000000000♠ 10 100	10 7101995657055180894♠ 10 101,998 109 775 4820

У математици , фактори?ел ненегативног ци?елог бро?а ${\displaystyle n}$ ?е производ свих позитивних бро?ева ма?их или ?еднаких ${\displaystyle n}$. На прим?ер, ${\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\ }$ и ${\displaystyle 6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720\ }$, гд?е ${\displaystyle n!}$ представ?а n-фактори?ел. Ознаку ${\displaystyle n!}$ ?е први увео Кристи?ан Крамп , 1808 . године. Вредност 0! ?е 1, према конвенци?и за празан производ . ^[1]

Операци?а фактори?ел се сре?е у многим областима математике, а посебно у комбинаторици , алгебри и математичко? анализи . ?егова на?основни?а употреба ?е бро?а?е могу?их различитих низова -- пермутаци?а -- од n различитих об?еката: ко?их има n ! .

Фактори?елска функци?а се исто тако може проширити на аргументе ко?и нису целобро?ни уз задржава?е на?важни?их сво?става; то ук?учу?е напредни?у математику, и технике из математичке анализе.

Дефиници?а [ уреди | уреди извор ]

Фактори?ел се формално дефинише на с?еде?и начин

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad \forall n\in \mathbb {N} .\!}$

Гор?а дефиници?а претпостав?а да ?е:

${\displaystyle 0!=1\ }$

Ова дефиници?а ?е корисна ?ер рекурзивна дефиници?а фактори?ела гласи

${\displaystyle (n+1)!=n!(n+1)}$,

за шта ?е неопходно да фактори?ел бро?а 0 буде 1.

Комбинаторика [ уреди | уреди извор ]

Фактори?ел ?е важан у комбинаторици . На прим?ер, посто?и укупно ${\displaystyle n!}$ различитих начина да се распореди ${\displaystyle n}$ различитих об?еката (ови различити начини распореда се зову пермутаци?е ). Бро? начина на ко?и се може изву?и ${\displaystyle k}$ об?еката из скупа од ${\displaystyle n}$ об?еката (бро? комбинаци?а ), ?е дат такозваним биномним коефици?ентом :

${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$

Теори?а бро?ева [ уреди | уреди извор ]

Фактори?ел се много користи у теори?и бро?ева . Конкретно, ${\displaystyle n!}$ ?е уви?ек д?е?ив свим простим бро?евима до и ук?учу?у?и ${\displaystyle n}$. Пос?едично, ${\displaystyle n>5}$ ?е композитан бро? ако и само ако

${\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ 0\ ({\rm {mod}}\ n)}$.

Штавише, имамо Вилсонову теорему ко?а тврди

${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1\ ({\rm {mod}}\ p)}$

ако и само ако ?е ${\displaystyle p}$ прост бро?.

?едини фактори?ел бро?а а ко?и ?е истовремено и прост бро? ?е бро? 2, али има много простих бро?ева облика ${\displaystyle n!\pm 1}$.

Двоструки фактори?ел n!! [ уреди | уреди извор ]

${\displaystyle n!!}$ ни?е ?еднако ${\displaystyle (n!)!}$

${\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{za }}n=0{\mbox{ ili }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{za }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}$

• 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
• 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945

Брзина раста функци?е [ уреди | уреди извор ]

Како ${\displaystyle n}$ расте, фактори?ел ${\displaystyle n!}$ поста?е ве?и од свих полиноми?алних и експоненци?алних функци?а од ${\displaystyle n}$.

Кад ?е ${\displaystyle n}$ велико, ${\displaystyle n!}$ се проц?е?у?е са великом прецизнош?у користе?и Стирлингову апроксимаци?у:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

Логаритам фактори?ела се може искористити да би се израчунало колико ?е цифара у датом бро?ном систему имати фактори?ел задатог бро?а. ${\displaystyle log(n!)}$ се може лако израчунати на с?еде?и начин:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\log k}.}$

Треба обратити паж?у да ова функци?а, кад ?о? се нацрта график, изгледа приближно линеарна, за мале ври?едности; али фактор ${\displaystyle {\log n!} \over n}$ расте до прилично великих ври?едности, премда ?ако споро. График ${\displaystyle log(n!)}$ за ${\displaystyle n}$ изме?у 0 и 20,000 ?е приказан десно.

Израчунава?е [ уреди | уреди извор ]

Ври?едност ${\displaystyle n!}$ се може израчунати множе?ем свих природних бро?ева до ${\displaystyle n}$, ако ${\displaystyle n}$ ни?е велико. На?ве?и бро? за ко?ег ве?ина калкулатора може израчунати ври?едност ?е ${\displaystyle 69!}$, ?ер ?е ${\displaystyle 70!>10^{100}}$. ${\displaystyle 11!}$ и ${\displaystyle 20!}$ су, тим редом, на?ве?и бро?еви чи?и фактори?ел може да стане у стандардне ц?елобро?не пром?ен?иве код тридесетдвобитних и шездесетчетворобитних рачунара. У пракси, ве?ина програма рачуна ове мале бро?еве директним множе?ем или ва?е?ем резултата из табеле. Фактори?ели ве?их бро?ева се рачуна?у обично апроксимаци?ом, користе?и Стирлингову формулу.

У теори?и бро?ева и комбинаторици, често су потребне тачне ври?едности фактори?ела великих бро?ева. Фактори?ели великих бро?ева се могу израчунати директних множе?ем, али множе?е редом ${\displaystyle 1\cdot 2\cdot ...\cdot n}$ одоздо нагоре ?е неефикасно; бо?е ?е рекурзи?ом поди?елити секвенцу тако да ?е величина сваког потпроизвода ма?а.

Истори?а [ уреди | уреди извор ]

Концепт фактори?ала ?е настао независно у многим културама:

• У инди?ско? математици , ?едан од на?рани?их познатих описа фактори?ала потиче из Ану?огадвара-сутре, ^[2] ?едног од канонских дела ?аинске литературе , коме су доде?ени датуми ко?и варира?у од 300. п. н. е. до 400. године нове ере. ^[3] Он одва?а сортирани и обрнути редослед скупа ставки од осталих (?мешовитих“) редоследа, проце?у?у?и бро? мешовитих пору?бина одузима?ем два од уобича?ене формуле производа за фактори?ел. Правило производа за пермутаци?е ?е тако?е описао ?аински монах ?инабадра из 6. века нове ере. ^[2] Хинду научници су користили фактори?алне формуле од на?ма?е 1150. године, када ?е Баскара II поменуо фактори?але у свом делу Лилавати , у вези са проблемом на ко?е начине ?е Вишну могао да држи сво?а четири карактеристична предмета ( шко?ку , диск , буздован и лотосов цвет ) у ?егове четири руке, и сличан проблем за десеторуког бога. ^[4]
• У математици Блиског истока, хебре?ска мистична к?ига о ствара?у Сефер ?ецирах , из талмудског периода (200. до 500. не), наводи фактори?але до 7! као део истражива?а о бро?у речи ко?е се могу формирати од хебре?ског алфабета . ^{[5] [6]} Фактори?але ?е из сличних разлога проучавао и арапски граматичар из 8. века ел-Фарахиди . Factorials were also studied for similar reasons by 8th-century Arab grammarian [[]]. ^[5] Арапски математичар Ибн ел-Ха?там (тако?е познат као Алхазен, око?965 ? око?1040) био ?е први ко?и ?е формулисао Вилсонову теорему повезу?у?и фактори?еле са простим бро?евима . ^[7]
• У Европи, иако ?е грчка математика ук?учивала неку комбинаторику, и Платон ?е чувено користио 5.040 (фактори?ал) као популаци?у идеалне за?еднице, делом због ?егових сво?става де?ивости, ^[8] не посто?е директни докази о древном грчком проучава?у фактори?ала. Уместо тога, први рад о фактори?елима у Европи био ?е од стране ?евре?ских научника као што ?е Шабета? Доноло , об?аш?ава?у?и одломак Сефер ?ецира. ^[9] Године 1677, британски писац Фаби?ан Стедман описао ?е примену фактори?ела за промену зво?е?а , музичку уметност ко?а ук?учу?е зво?е?е неколико подешених звона. ^{[10] [11]}

Од касног 15. века па нада?е, фактори?ели су постали предмет проучава?а западних математичара. У расправи из 1494. године, итали?ански математичар Лука Пакиоли израчунао ?е фактори?еле до 11!, у вези са проблемом распореда трпезари?ских столова. ^[12] Кристофер Клави?ус ?е расправ?ао о фактори?елима у коментару из 1603. о делу ?оханеса де Сакробоска , а током 1640-их, француски полимат Марин Мерсен ?е об?авио велике (али не сасвим тачне) табеле фактори?ала, до 64!, засноване на Клави?усовом делу. ^[13] Степени ред за експоненци?алну функци?у , са реципрочним фактори?елима за ?ене коефици?енте, први ?е формулисао Исак ?утн 1676. године у писму Готфриду Вилхелму Ла?бницу . ^[14] Друга важна дела ране европске математике о фактори?елима ук?учу?у опсежно покрива?е у расправи ?она Волиса из 1685. године, студи?у ?ихових приближних вредности за велике вредности ${\displaystyle n}$ ко?у ?е урадио Абрам де Моавр из 1721. године, писмо ?е?мса Стирлинга де Моавру из 1729. у ко?ем се наводи оно што ?е постало познато као Стирлингова апроксимаци?а , и у исто време рад Даниела Бернули?а и Леонхарда О?лера ко?и формулишу континуирано прошире?е фактори?елне функци?е на гама функци?у . ^[15] Адри?ен-Мари Лежандр ?е ук?учио Лежандрову формулу , опису?у?и експоненте у факторизаци?и фактори?ела у просте степене , у текст из 1808. о теори?и бро?ева . ^[16]

Ознаку ${\displaystyle n!}$ за фактори?але ?е увео француски математичар Кристи?ан Крамп 1808. године. ^[17] Кориш?ене су и многе друге ознаке. ?ош ?една касни?а нотаци?а, у ко?о? ?е аргумент фактори?ала био напола затворен са леве и до?е стране кути?е, била ?е популарна неко време у Британи?и и Америци, али ?е изашла из употребе, можда зато што ?е тешко припремити за штампу. ^[17] Реч ?фактори?ел“ (првобитно француски: factorielle ) ?е први пут употребио 1800. године Лу? Франсоа Антоан Арбогаст , ^[18] у првом раду о Фаа-ди-Бруново? формули , ^[19] али се односи на општи?и концепт производа аритметичких прогреси?а . ?Фактори“ на ко?е се ова? назив односи су чланови формуле производа за фактори?ел. ^[20]

Види ?ош [ уреди | уреди извор ]

• Гама функци?а
• Леви фактори?ел

Референце [ уреди | уреди извор ]

Литература [ уреди | уреди извор ]

Спо?аш?е везе [ уреди | уреди извор ]

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). ?Factorial”. Encyclopaedia of Mathematics . Springer. ISBN 978-1556080104 .  
• Weisstein, Eric W. ?Factorial” . MathWorld .  
• Factorial at PlanetMath.org .