To je ?lanek, ki se navezuje na
Infinitezimalni ra?un
Osnovni izrek Limite funkcij Zveznost Izrek o srednji vrednosti Rollejev izrek
Diferencial Definicije Odvod  ( posplo?itve ) Diferencial infinitezimala funkcije popolni Koncepti Zapis za odvajanje Drugi odvod Tretji odvod Sprememba spremenljivk Implicitni odvod Povezana razmerja Taylorjev izrek Pravila in identitete Vsota Produkt Veri?ni Potenca Koli?nik Inverz Splo?ni Leibniz Faa di Brunova formula
Integral Seznami integralov Definicije Primitivna funkcija Integral  ( nepravilni ) Riemannov integral Lebesgueovo integriranje Obrisno integriranje Integriranje po Delih Diskih Valjnih lupinah Uvedba nove spremenljivke  ( trigonometri?na ) Delni ulomki Red Redukcijske formule
Vrste Geometri?na  ( arimeti?no-geometri?na ) Harmoni?na Alternirajo?a Poten?na Binomska Taylorjeva Konvergentni testi Limita vsote (?lenitveni test) Primerjalni x Korenski x Integralni Neposredna primerjava Limitna primerjava Alternirajo?e vsote Cauchyjev kondenzacijski Dirichletov Abelov
Vektor Gradient Divergenca Rotor Laplacian Smerni odvod Identitete Izreki Divergen?ni Gradient Greenov Kelvin?Stokesov Stokesov
Ve? spremenljivk Formalizmi Matrike Tenzorji Zunanji Geometri?ni Definicije Parcialni odvod Ve?kratni integral ?rtni integral Povr?inski integral Prostorninski integral Jacobijev Hessova
Specializirani Frakcijski Malliavinov Stohasti?ni Variacijski
Slovar infinitezimalnega ra?una Slovar infinitezimalnega ra?una
p p u

Poten?na v?sta (ene spremenljivke) je v matematiki neskon?na vrsta oblike:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-a\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-a)+a_{2}(x-a)^{2}+a_{3}(x-a)^{3}+\cdots }$

kjer je a _n koeficient n -tega ?lena, a konstanta in x neodvisna spremenljivka okrog a . Vrsta po navadi nastane kot Taylorjeva vrsta kak?ne znane funkcije .

V mnogih primerih je a enaka ni?, na primer pri Maclaurinovi vrsti . Tedaj ima poten?na vrsta preprostej?o obliko:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots \!\,.}$

Uporaba poten?nih vrst [ uredi | uredi kodo ]

Poten?ne vrste se uporabljajo prvenstveno v analizi , pa tudi v kombinatoriki kot rodovne funkcije in elektrotehniki kot Z-transformacije . Tudi na splo?no znani deseti?ki zapis celih ?tevil se lahko gleda kot na poten?no vrsto, kjer je argument x dolo?en kot 10. V teoriji ?tevil je pojem p-adi?nih ?tevil v tesni zvezi s poten?nimi vrstami.

Zgledi poten?nih vrst [ uredi | uredi kodo ]

Elementarne funkcije [ uredi | uredi kodo ]

Vsak polinom se lahko razvije v poten?no vrsto okrog poljubne to?ke a , ?eprav je to?ka najve?krat kar 0. Polinom ${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ se lahko na primer zapi?e kot poten?no vrsto s sredi??em a = 0 kot:

${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \!\,}$

ali okrog sredi??a ${\displaystyle a=1}$ kot:

${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \!\,}$

ali v resnici okrog poljubnega sredi??a a . Na poten?ne vrste se lahko gleda kot na ≫polinome neskon?ne stopnje≪, ?eprav poten?ne vrste niso polinomi.

Geometri?na vrsta :

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\qquad |x|\in (-\infty ,1]\!\,,}$

je eden najpomembnej?ih zgledov poten?nih vrst. Enako je pomembna tudi eksponentna funkcija :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,\qquad |x|\in (-\infty ,\infty )\!\,.}$

Te poten?ne vrste so tudi zgledi Taylorjevih vrst . Obstajajo poten?ne vrste, ki niso Taylorjeve vrste nobene funkcije. Na primer:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!x^{n}=1+1!x+2!x^{2}+3!x^{3}+\cdots ,\qquad x\neq 0\!\,.}$

Negativne potence v poten?nih vrstah ne nastopajo. Vrsta ${\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ ni poten?na vrsta, je pa Laurentova vrsta . Podobno ne nastopajo potence z ulomki kot je ${\displaystyle x^{1/2}}$. Tak?ni primeri so Puiseuxove vrste . Koeficienti ${\displaystyle a_{n}}$ ne smejo biti odvisni od spremenljivke ${\displaystyle x}$. Tako na primer vrsta:

${\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \!\,}$ ni poten?na vrsta.

Drugi zgledi znanih poten?nih vrst elementarnih funkcij so:

• logaritemski funkciji:

${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\,x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\pm \cdots ,\qquad |x|\in (-\infty ,1]\!\,,}$

${\displaystyle \log(1-x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-\left[x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \right],\qquad |x|\in (-\infty ,1]\!\,,}$

• kvadratna korena :

${\displaystyle (1\pm x)^{1/2}=1\pm {\frac {1}{2}}x-{\frac {1\cdot 1}{2\cdot 4}}x^{2}\pm {\frac {1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-{\frac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}\pm \cdots ,\qquad |x|\in (-\infty ,1]\!\,.}$

• kotne funkcije :

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...+(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\pm ...,\qquad |x|\in (-\infty ,\infty ),}$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+...+(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\pm ...,\qquad |x|\in (-\infty ,\infty ),}$

${\displaystyle \mathrm {tg} \ x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+...+{\frac {2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)}{(2n)!}}B_{n}x^{2n-1}+...,\qquad |x|\in (-\infty ,{\frac {\pi }{2}})\!\,.}$

Neelementarne funkcije [ uredi | uredi kodo ]

S poten?nimi vrstami se lahko velikokrat la?je kot s Taylorjevimi vrstami razvije elementarne pa tudi neelementarne funkcije. Tak?ni zgledi so na primer elipti?ni integrali ali pa integral oblike:

${\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{x}}\mathrm {d} x\!\,,}$

ki ni elementaren. Funkcijo ${\displaystyle e^{x}/x}$ se razvije v poten?no vrsto:

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x}}={\frac {1}{x}}+1+{\frac {x}{2!}}+{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{3}}{4!}}+\cdots \!\,.}$

Funkcija je v vsakem intervalu brez to?ke x = 0 enakomerno konvergentna in se jo lahko integrira po ?lenih:

${\displaystyle \int _{a}^{x}{\frac {e^{x}}{x}}\mathrm {d} x=\log {\frac {x}{a}}+{\frac {x-a}{1!}}+{\frac {x^{2}-a^{2}}{2!2}}+{\frac {x^{3}-a^{3}}{3!3}}+\cdots ,a\in [0,x]\!\,.}$

Konvergen?ni polmer [ uredi | uredi kodo ]

Poten?ne vrste lahko konvergirajo za nekatere vrednosti spremenljivke x (vsaj za x = a ) ali pa divergirajo za druge vrednosti. Vedno obstaja tak?no ?tevilo r , 0 ≤ r ≤ ∞, da bo vrsta za | x ? a | < r konvergirala in divergirala za | x ? a | > r . ?tevilo r (tudi ozna?bi R ali ${\displaystyle \rho }$) se imenuje konvergen?ni polmer poten?ne vrste. V splo?nem je dolo?en kot:

${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}\!\,,}$

oziroma enakovredno (Cauchy-Hadamardova ena?ba):

${\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}\!\,}$

(glej najve?ja in najmanj?a limita ). ?e limita obstaja, se jo lahko izra?una kot:

${\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|\!\,.}$

Glede konvergence poten?ne vrste lahko nastopijo tri mo?nosti:

• ${\displaystyle |x-a|<r}$ - poten?na vrsta absolutno konvergira in enakomerno konvergira na vsaki kompaktni podmno?ici { x  : | x ? a | < r },

• ${\displaystyle |x-a|>r}$ - poten?na vrsta divergira ,

• ${\displaystyle |x-a|=r}$ - v splo?nem se ne da re?i ali vrsta konvergira ali divergira. Abelov izrek trdi, da je vsota vrste zvezna v x , ?e vrsta konvergira v x .

Operacije s poten?nimi vrstami [ uredi | uredi kodo ]

Se?tevanje in od?tevanje [ uredi | uredi kodo ]

Kadar sta funkciji f in g razviti v poten?ni vrsti okrog istega sredi??a a , se lahko dobi vsoto ali razliko funkcij s se?tevanjem ali od?tevanjem po ?lenih. Vsota funkcij, razvitih v poten?ni vrsti:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\!\,}$

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}\!\,,}$

je enaka:

${\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-a)^{n}\!\,}$

Mno?enje in deljenje [ uredi | uredi kodo ]

Podobno je produkt in kvocient dveh funkcij, razvitih kot zgoraj:

${\displaystyle f(x)g(x)=\left[\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\right]\left[\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}\right]=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-a)^{i+j}\!\,}$

${\displaystyle f(x)g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right](x-a)^{n}\!\,.}$

Zaporedje ${\displaystyle m_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ je znano kot konvolucija zaporedja ${\displaystyle a_{n}}$ in ${\displaystyle b_{n}}$.

Za kvocient je:

${\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-a)^{n}\!\,}$

${\displaystyle f(x)=\left[\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}\right]\left[\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-a)^{n}\right]\!\,}$

in se uporabi produkt z upo?tevanjem koeficientov.

Odvajanje in integriranje [ uredi | uredi kodo ]

Kadar je funkcija podana kot poten?na vrsta, je zvezna , ?e konvergira, in odvedljiva v notranjosti te mno?ice. Lahko se jo brez te?av odvaja ali integrira po ?lenih:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-a\right)^{n-1}\!\,}$

${\displaystyle \int f(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-a\right)^{n+1}}{n+1}}+C\!\,}$

Obe tako nastali vrsti imata enak konvergen?ni polmer kot izvirna vrsta.

Zunanje povezave [ uredi | uredi kodo ]

• Bornemann, Folkmar; Weisstein, Eric Wolfgang . ≫Power Series≪ . MathWorld . {{ navedi splet }} : Vzdr?evanje CS1: ve? imen: seznam avtorjev ( povezava )