Seznam ?tevil Iracionalna ?tevila γ ζ (3) ρ √2 Φ √3 √5 δ S e π δ
dvoji?ko	1,0101 0011 0010 0000 1011 ...
deseti?ko	1,32471 79572 44746 02596 ...
?estnajsti?ko	1,5320 B74E CA44 ADAC 1788 ...
?estdeseti?ko	1; 19, 28, 59, 04, 43, 33, ...
veri?ni ulomek	[1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80, ...] Veri?ni ulomek ${\displaystyle \rho \!\,}$ ni kon?en ali periodi?en .
algebrska oblika	${\displaystyle {\frac {{\sqrt[{3}]{108+12{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{108-12{\sqrt {69}}}}}{6}}}$

Plasti?no ?tevilo (ozna?ba ${\displaystyle \rho \,}$ ali ${\displaystyle \psi \,}$, tudi plasti?na konstanta ali minimalno Pisotovo ?tevilo ) je v matematiki konstanta , ki je edina realna re?itev kubi?ne ena?be :

${\displaystyle x^{3}-x-1=0\!\,.}$

To?ni algebrski izraz konstante je: ^[1]

${\displaystyle \rho ={\frac {{\sqrt[{3}]{108+12{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{108-12{\sqrt {69}}}}}{6}}\!\,.}$

Njena vrednost na 65 deseti?kih mest je ( OEIS A060006 ):

1,32471 79572 44746 02596 09088 54478 09734 07344 04056 90173 33645 34015 05030...

Do sedaj so izra?unali vsaj deset milijard deseti?kih ?tevk (10 × 10 ^{7000900000000000000♠ 9} ). ^[2]

Plasti?no ?tevilo se v?asih imenuje tudi srebrno ?tevilo , vendar se to ime pogosteje rabi za srebrni rez ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}\,}$.

Zgodovina [ uredi | uredi kodo ]

Ime plasti?no ?tevilo ( nizozemsko het plastische getal ) je temu ?tevilu dal leta 1928 dom Hans van der Laan . Za razliko imen za zlati rez in srebrni rez beseda plasti?en ni bila mi?ljena za kak?no posebno snov, ampak v njenem pridevni?kem smislu za nekaj kar lahko dobi trirazse?no obliko. ^{[3] [4]} Po Padovanu je to zato, ker sta zna?ilni razmerji ?tevila, ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\,}$ in ${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}\,}$, povezani z mejami ?love?kega zaznavanja pri povezovanju ene fizi?ne velikosti z drugo. Cordonnier (1907?1977) ga je imenoval radiantno ?tevilo ( francosko nombre radiant ). ^[5]

Zna?ilnosti [ uredi | uredi kodo ]

Rekurzije [ uredi | uredi kodo ]

Za potence plasti?nega ?tevila ${\displaystyle A(n)=\rho ^{n}\,}$ velja rekuren?na zveza ${\displaystyle A(n)=A(n-2)+A(n-3)\,}$ za ${\displaystyle n>2\,}$. Zaradi tega je limitno razmerje zaporednih ?lenov poljubnega (neni?elnega) celo?tevilskega zaporedja , za katerega velja ta rekurzija, kot na primer Padovanovo zaporedje ali zaporedje Perrinovih ?tevil , in zanj velja podobna povezava s temi zaporedji kot velja za ?tevilo zlatega reza do zaporedja Fibonaccijevih ?tevil ali srebrni rez do Pellovih ?tevil .

Za plasti?no ?tevilo velja rekurzija vgnezdenega radikala : ^[1]

${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}}}\!\,.}$

Teorija ?tevil [ uredi | uredi kodo ]

Ker je minimalni polinom plasti?nega ?tevila enak ${\displaystyle x^{3}-x-1=0\,}$, je tudi re?itev polinomske ena?be ${\displaystyle p(x)=0\,}$ za vsak polinom ${\displaystyle p\,}$, ki je mnogokratnik ${\displaystyle x^{3}-x-1\,}$ in ne za katerekoli druge polinome s celo?tevilskimi koeficienti. Tako je tudi koren ena?b, izpeljanih iz minimalnega polinoma:

${\displaystyle x^{5}-x^{4}-1=0\!\,,}$

${\displaystyle x^{5}-x^{2}-x-1=0\!\,,}$

${\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{3}+x=0\!\,,}$

${\displaystyle x^{6}-x^{2}-2x-1=0\!\,,}$

...

Ker je diskriminanta minimalnega polinoma enaka ?23, je njen delilni komutativni obseg v racionalnih ?tevilih enak ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}},\rho )\,}$. Ta obseg je tudi Hilbertov razredni komutativni obseg ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})\,}$.

Plasti?no ?tevilo je najmanj?e Pisot-Vid?ajaraghavanovo ?tevilo . Njegovi algebrski konjugirani ?tevili sta:

${\displaystyle \left(-{\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\mp {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}\approx -0,662359\pm 0,56228i\!\,,}$

z absolutno vrednostjo  ? 0,868837 ( OEIS A191909 ). Ta vrednost je enaka tudi ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {\rho }}}\,}$, ker je produkt treh korenov minimalnega polinoma enak 1.

Geometrija [ uredi | uredi kodo ]

Obstajata dva na?ina razdelitve kvadrata na tri podobne trikotnike . Prva je trivialna re?itev v kateri so trije skladni trikotniki z razmerjem 1:3. V drugi re?itvi imajo vsi trije trikotniki razli?ne velikosti, vendar so si podobni, kvadrat plasti?nega ?tevila pa je njihovo razmerje. ^[6]

Trigonometrija [ uredi | uredi kodo ]

Plasti?no ?tevilo se lahko zapi?e s pomo?jo hiperboli?nega kosinusa ( ${\displaystyle \operatorname {ch} \,}$) in njegovega obrata :

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{c}}\operatorname {ch} \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} (3c)\right),\qquad c=\cos \left({\frac {2\pi }{12}}\right)=\sin \left({\frac {2\pi }{6}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}\!\,.}$

Veri?ni ulomek [ uredi | uredi kodo ]

Plasti?no ?tevilo ni kvadratno iracionalno ?tevilo in zato njegov razvoj v neskon?ni veri?ni ulomek ni periodi?en ( OEIS A072117 ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}\equiv [1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,2,141,80,2,5,1,2,8,2,1,\ldots ]\\&=\left\{{\color {red}{1}},{\frac {3}{2}},{\color {red}{\frac {4}{3}}},{\frac {29}{22}},{\frac {33}{25}},{\frac {37}{28}},{\frac {41}{31}},{\frac {45}{34}},{\color {red}{\frac {49}{37}}},{\color {red}{\frac {53}{40}}},{\color {red}{\frac {102}{77}}},{\frac {257}{194}},{\color {red}{\frac {359}{271}}},{\color {red}{\frac {820}{619}}},{\frac {1999}{1509}},{\color {red}{\frac {2819}{2128}}},{\frac {3639}{2747}},{\color {red}{\frac {6458}{4875}}},\ldots ,{\color {red}{\frac {28651}{21628}}},\ldots \right\}\,\!.\end{aligned}}}$

Konvergenti veri?nega ulomka so ozna?eni z rde?o, njihovi ?tevci so: 1, 4, 49, 53, 102, 359, 820, ..., imenovalci pa: 1, 3, 37, 40, 77, 271, 619, ... Drugi ?leni, ozna?eni s ?rno, so polkonvergenti . Vrednost vsakega prvega polkonvergenta mora biti bolj?a od vrednosti predhodnega konvergenta.

Glej tudi [ uredi | uredi kodo ]

• Vitruvijev modul
• srebrni rez
• zlati rez
• Pisot-Vid?ajaraghavanovo ?tevilo
• kovinska sredina (kovinsko ?tevilo)

Sklici [ uredi | uredi kodo ]

Viri [ uredi | uredi kodo ]

Zunanje povezave [ uredi | uredi kodo ]

Wikimedijina zbirka ponuja ve? predstavnostnega gradiva o temi: plasti?no ?tevilo .

• Stewart, Ian , Tales of a Neglected Number (angle?ko)
• Piezas, Tito III; van Lamoen, Floor; Weisstein, Eric Wolfgang . ≫Plastic Constant≪ . MathWorld . {{ navedi splet }} : Vzdr?evanje CS1: ve? imen: seznam avtorjev ( povezava )