Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Grafi eksponentnih funkcij z osnovo
a
> 1
Naravna eksponentna funkcija
f(x) = e
x
Eksponentna funkcija
je matemati?na
funkcija
z ena?bo oblike
f(x)
=
a
x
, pri ?emer je ?tevilo
a
pozitivno in razli?no od 1. ?tevilo
a
imenujemo
osnova
ali
baza
eksponentne funkcije.
Eksponentna funkcija, ki ima za osnovo
Eulerjevo ?tevilo
e
? 2.718 281 828 se imenuje
naravna eksponentna funkcija
:
f(x) = e
x
. To funkcijo se v?asih zapi?e tudi kot:
f(x)
= exp
x
.
Lastnosti eksponentne funkcije v realnem
[
uredi
|
uredi kodo
]
Eksponentna funkcija kot realna funkcija realne spremenljivke ima naslednje lastnosti:
- Vrednost funkcije je vedno pozitivna - funkcija je navzdol omejena z 0.
- Eksponentna funkcija je navzgor neomejena.
- ?e je osnova
a
ve?ja od 1, funkcija nara??a.
- ?e je osnova
a
med 0 in 1, funkcija pada.
Inverz
eksponentne funkcije z osnovo
a
je
logaritemska funkcija
z isto osnovo. Inverz naravne eksponentne funkcije je naravna logaritemska funkcija ln
x
.
Naravna eksponentna funkcija je posebej pomembna v povezavi z
odvajanjem
in
integriranjem
: pri teh dveh operacijah se namre? ne spremeni:
![{\displaystyle f(x)=e^{x}\Rightarrow f'(x)=e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231b77586a4647ffcecb31c4e046cae824bdb2c7)
![{\displaystyle f(x)=e^{x}\Rightarrow \int f(x)\,dx=e^{x}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc610b2361a6fa36b30f06c9ac30c06ffa41ec3b)
Posledica tega je dejstvo, da lahko naravno eksponentno funkcijo zelo preprosto zapi?emo v obliki poten?ne vrste:
![{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984aaa5cec411bd44cf45896789b8a65b3efc6ec)
Eksponentna funkcija v kompleksnem
[
uredi
|
uredi kodo
]
Pri ra?unanju vrednosti naravne eksponentne funkcije za
kompleksni
argument si pomagamo s pravilom:
![{\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\,\sin y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78cc1802a60858ee39acb692d909aa01d1cb1298)
Oziroma splo?neje:
![{\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\,\sin y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8829067065986d3f25ac55207ab994775a015d)
S tem pravilom je povezana tudi slavna
Eulerjeva ena?ba
, ki povezuje pet najpomembnej?ih matemati?nih konstant in tri osnovne ra?unske operacije:
![{\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71a2747b2b011f7a8fd0b7d3d9c5f39022b2ce6)