Неевкли?дова геоме?трия  ? в буквальном понимании ? любая геометрическая система, которая отличается от геометрии Евклида ; однако традиционно термин ≪неевклидова геометрия≫ применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам ^[1] : геометрии Лобачевского и сферической геометрии ^[2] .

Как и евклидова , эти геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны . Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии , положительная ? сферической , отрицательная ? геометрии Лобачевского ^[1] .

Вид метрики для однородных планиметрий зависит от выбранной системы (криволинейных) координат ; далее приводятся формулы для случая полугеодезических координат ^[1] :

• Евклидова геометрия : ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}}$ ( теорема Пифагора ).
• Сферическая геометрия: ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+\cos ^{2}\left({\frac {y}{R}}\right)dy^{2}}$. Здесь R ? радиус сферы.
• Геометрия Лобачевского : ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+\operatorname {ch} ^{2}\left({\frac {y}{R}}\right)dy^{2}}$. Здесь R ? радиус кривизны плоскости Лобачевского, ch  ? гиперболический косинус .

Выше дано определение неевклидовых геометрий в терминах дифференциальной геометрии ; однако можно описать их и с помощью чисто геометрической аксиоматики . Первая полная система аксиом для евклидовой и неевклидовой геометрий была построена Давидом Гильбертом в своём труде ≪Основания геометрии≫.

Исторически главное отличие неевклидовых геометрий от евклидовой отмечалось в теории параллельных прямых . Согласно аксиоме евклидовой геометрии , через точку вне данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной; в геометрии Лобачевского таких прямых бесконечно много, а в сферической геометрии параллельных прямых нет вообще (все прямые пересекаются). Именно этот факт Гильберт положил в основу своей аксиоматики. Соответственно многие теоремы в разных геометриях различаются. Примеры:

Величина	В евклидовой геометрии	В геометрии Лобачевского	В сферической геометрии
Сумма углов треугольника	равна ${\displaystyle 180^{\circ }}$	меньше ${\displaystyle 180^{\circ }}$	больше ${\displaystyle 180^{\circ }}$
Отношение длины окружности к её диаметру	равно ${\displaystyle \pi }$	больше ${\displaystyle \pi }$	меньше ${\displaystyle \pi }$

В то же время существует класс аксиом (например, аксиомы движения), общий для всех трёх геометрий ^[1] . Геометрические теоремы, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского, принято называть ≪ абсолютной геометрией ≫ ^[3] .

• Неархимедова геометрия
• Недезаргова геометрия

• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. ? М.: Наука, 1990. ? ISBN 978-5-9775-0419-5 .
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. ? М.: УРСС, 2007. ? ISBN 978-5-484-00871-1 .
• Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техники. Серия ≪Современные проблемы математики. Фундаментальные направления≫. 1988. Т. 29. ? С. 5-146.
• Берже М. Геометрия. В 2 т. / Пер. с франц. ? М.: Мир, 1984. ? 928 с. Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия.
• Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского. ? М.: Гостехиздат , 1956.
• Клейн Ф. Неевклидова геометрия . ? М.: изд. НКТП СССР, 1936. ? 355 с.
• Лаптев Б. Л. Н. И. Лобачевский и его геометрия. ? М.: Просвещение, 1976.
• Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций / Под ред. Колмогорова А. Н. , Юшкевича А. П. . ? М. : Наука, 1981. ? 270 с.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. ? М.: Факториал, 2000.
• Неевклидовы геометрии // Математическая энциклопедия (в 5 томах). ? М. : Советская Энциклопедия , 1982. ? Т. 3. ? Стб. 910?914. ? 1184 с.
• Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского . ? Изд. 3-е. ? М.: МЦНМО, 2004. ? ISBN 5-94057-166-2 .
• Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. ? М.: Физматлит , 2009.