Em matematica , uma transformada integral e qualquer transformacao linear T da seguinte forma:

${\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt.}$

A entrada desta transformada e uma funcao f , e o resultado e outra funcao Tf . Uma transformada integral e uma especie particular de operadores matematicos.

Em geral, cada transformada integral corresponde a uma diferente escolha da funcao K , que e chamada de kernel (ou nucleo) da transformada , e dos limites de integracao ${\displaystyle t_{1}}$ e ${\displaystyle t_{2}}$. A conveniencia de cada transformada depende do tipo de problema abordado. Por exemplo, a Transformada de Laplace costuma ser mais conveniente para problemas com dependencia temporal e a Transformada de Fourier mais conveniente para problemas com dependencia espacial.

Aplicabilidade [ editar | editar codigo-fonte ]

A metodologia da transformada integral e uma entre as metodologias de grande valia empregadas na busca de solucoes para equacoes diferenciais nao triviais. Esta metodologia consiste em aplicar uma transformada integral especifica a um determinado problema, reduzindo-o a um problema, em geral, mais simples de ser resolvido. Resolve-se o problema transformado e recupera-se a solucao do problema original atraves da respectiva transformada inversa.

Constitui ferramenta de suma relevancia em areas envolvendo ciencias naturais e tecnologia . Em um caso tipico, durante a analise de circuitos , a transformada de Fourier permite que um dado sinal inicialmente expresso no dominio do tempo seja adequadamente transcrito para o dominio da frequencia , fornecendo o espectro correspondente e permitindo, por exemplo, a compreensao dos filtros passa-faixa eletronicos utilizados na separacao de estacoes distintas nos radios de difusao e nos transceptores .

A tecnica de ressonancia magnetonuclear emprega tambem transformadas integrais tridimensionais, a fim de, a partir do sinal coletado durante o exame, gerar a imagem direta do orgao , tecido ou objeto em foco. Sem tal recurso, geralmente levado a cabo em um computador, nao se poderia obter as imagens caracteristicas do exame, cujo principio de funcionamento difere bastante de uma simples radiografia .

Como mais um exemplo, no estudo, projeto e manutencao de controladores proporcionais integrais derivativos ( PID ), empregados para controlar motores de servomecanismos especificos ou em plantas industriais as mais variadas - a exemplo na industria automobilistica - a transformada de Laplace mostra-se indispensavel; e da mesma forma, cada uma das demais transformadas integrais e de grande valia em areas que abarquem problemas modelados por equacoes diferenciais, cujas solucoes atrelam-se as solucoes fisicas ou praticas almejadas ou observadas. Constituem valiosas ferramentas sobretudo para a fisica e engenharia .

Tabela [ editar | editar codigo-fonte ]

Tabela de Transformadas integrais

Transformada	Simbolo	Nucleo da transformada	t 1	t 2
Transformada de Fourier	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{iut}}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Transformada de Mellin	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	${\displaystyle t^{u-1}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Transformada de Laplace bilateral	${\displaystyle {\mathcal {B}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Transformada de Laplace	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Transformada de Hankel	${\displaystyle {\mathcal {K}}}$	${\displaystyle t\,J_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Transformada de Abel	${\displaystyle {\mathcal {A}}}$	${\displaystyle {\frac {t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$	${\displaystyle u}$	${\displaystyle \infty }$
Transformada de Hilbert	${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Transformada Identidade	${\displaystyle {\mathcal {I}}}$	${\displaystyle \delta (u-t)}$	${\displaystyle t_{1}<u}$	${\displaystyle t_{2}>u}$
Transformada de cosseno	${\displaystyle {\mathcal {C}}}$	${\displaystyle 2cos(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Transformada de wavelet	${\displaystyle {\mathcal {W}}}$	${\displaystyle \left[{\frac {1}{\sqrt {s}}}\;w\left({\frac {t-u}{s}}\right)\right]^{*}}$ [ nota 1 ]	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$

Apesar de as propriedades das transformadas integrais variarem muito, elas tem algumas propriedades em comum. Por exemplo, qualquer transformada integral e um operador linear , uma vez que o integral e um operador linear e na verdade caso o kernel seja permitido ser uma funcao generalizada , entao todos os operadores lineares sao transformadas integrais (o teorema kernel de Schwartz e uma versao formalizada desta afirmacao).

Nucleo da transformada [ editar | editar codigo-fonte ]

Em analise matematica , considere-se uma transformada integral T que transforma uma funcao f numa funcao Tf dada pela formula

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{a}^{b}k(x,y)f(y)\,dy}$

A funcao k ( x , y ) que aparece nesta formula e o nucleo (em ingles : kernel ) do operador linear T .

Alguns nucleos possuem nucleos inversos ${\displaystyle K^{-1}(u,t)}$ onde (rigorosamente falando) rendem transformacoes inversas:

${\displaystyle f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(u,t)\,(Tf(u))\,du.}$

Um nucleo simetrico e um nucleo em que as duas variaveis sao permutaveis . Hankel demonstrou que nucleos simetricos tais que

${\displaystyle g(u)\;=\;(Tf)(t)\;=\;\int _{0}^{\infty }f(t)\cdot K(u,t)\;dt}$

e

${\displaystyle f(t)\;=\;(T^{-1}g)(u)\;=\;\int _{0}^{\infty }g(u)\cdot K(u,t)\;du}$

podem ser gerados a partir das expressoes

${\displaystyle K(u,t)\;=\;(ut)^{\frac {1}{2}}\cdot J_{\nu }(xs)}$

ou

${\displaystyle K(u,t)\;=\;t\cdot J_{\nu }(xs)}$

O caso especial ν = 0 leva diretamente a Transformada de Hankel de ordem 0. O caso especial ν = ±½ leva aos nucleos 2cos(2πut) e 2sen(2πut), que estao relacionados a transformada de Hartley . ^{[ 1 ]}

Em geral, os nucleos sao familias de funcoes ortogonais , ou ainda, ortonormais .

A Transformada de Karhunen-Loeve [ editar | editar codigo-fonte ]

As transformadas listadas na tabela acima possuem um nucleo bem definido. Uma transformada integral que nao possui essa caracteristica e transformada de Karhunen-Loeve (KLT, do ingles Karhunen-Loeve transform ); neste caso, a base ortogonal usada no nucleo varia com a funcao a ser transformada. A KLT e importante do ponto de vista teorico porque demonstra-se que ela e otima sob varios aspectos importantes para o processamento digital de sinais . ^{[ 2 ]}

Historia [ editar | editar codigo-fonte ]

Historicamente, a origem das transformadas integrais remonta ao trabalho de Laplace sobre a teoria da probabilidade, La Theorie Analytique des Probabilities , na decada de 1780. Nesse livro aparece a transformada de Laplace, que e, assim, a transformada mais antiga de todas.

O proximo evento importante foi o tratado de Fourier , La Theorie Analytique de la Chaleur , de 1822. Nesse livro aparece o teorema integral de Fourier , bem como as series e integrais de Fourier, e suas aplicacoes. Alguns dos resultados de Fourier ja eram conhecidos por Laplace, Cauchy e Poisson .

Decadas depois, Heaviside utilizou a transformada de Laplace com sucesso na solucao de equacoes diferenciais ordinarias e parciais relacionadas a analise de circuitos eletricos. Heaviside lancou mao tambem da ideia do uso de simbolos operadores, lancada por Leibniz e desenvolvida por depois por Lagrange e Laplace, e unindo essas tecnicas, criou o que se conhece hoje como calculo operacional , em seu artigo On Operational Methods in Physical Mathematics , em duas partes, publicadas em 1892 e 1893, e em seu livro Electromagnetic Theory , de 1899.

Apesar do sucesso na aplicacao pratica, o trabalho de Heaviside foi muito criticado pelos matematicos por falta de provas rigorosas que justificassem alguns dos seus metodos heuristicos. Assim, seguiu-se um esforco para fornecer tais provas. Bromwich conseguiu provar alguns teoremas por meio da teoria das funcoes complexas. Seguiram-se as contribuicoes de Carson , van der Pol e Doetsch , entre outros.

Outras transformacoes integrais foram introduzidas por Mellin (a transformada de Mellin, ja parcialmente conhecida por Riemann ), Hankel (a transformada homonima), Hilbert (a transformada de Hilbert, desenvolvida por Hardy e Titchmarsh ), Stieltjes (a transformada homonima), Radon (a transformada homonima) e outros. O estudo das transformadas integrais e intenso atualmente e novas transformacoes importantes foram descobertas recentemente, como e o caso da transformada de wavelet, enunciada por Morlet em 1982. ^{[ 3 ]}

Notas e referencias [ editar | editar codigo-fonte ]

Ver tambem [ editar | editar codigo-fonte ]

• Transformada de Legendre
• Anexo:Lista de transformadas relacionadas a transformada de Fourier

Referencias