Um processo de nascimento e morte e um caso especial do processo de Markov de tempo continuo em que as transicoes de estado sao de apenas dois tipos: "nascimentos", que aumentam a variavel de estado em um, e "mortes", que diminuem o estado em um. ^{[ 1 ]} O nome do modelo vem de uma aplicacao comum, o uso de tais modelos para representar o tamanho atual de uma populacao em que as transicoes sao nascimentos e mortes literais. Processos de nascimento e morte tem muitas aplicacoes em demografia , teoria das filas , engenharia de desempenho , epidemiologia e biologia . ^{[ 2 ]} Eles podem ser usados, por exemplo, para estudar a evolucao das bacterias , o numero de pessoas com uma doenca no interior de uma populacao ou o numero de clientes em uma fila em um supermercado. ^{[ 3 ]}

Quando um nascimento ocorre, o processo vai do estado ${\displaystyle n}$ ao estado ${\displaystyle n+1}$. Quando uma morte ocorre, o processo vai do estado ${\displaystyle n}$ ao estado ${\displaystyle n-1}$. O processo e especificado por taxas de nascimento ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=0\dots \infty }}$ e taxas de morte ${\displaystyle \{\mu _{i}\}_{i=1\dots \infty }}$:

Exemplos [ editar | editar codigo-fonte ]

Um processo de nascimento puro e um processo de nascimento e morte em que ${\displaystyle \mu _{i}=0}$ para todo ${\displaystyle i\geq 0}$.

Um processo de morte puro e um processo de nascimento e morte em que ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$ para todo ${\displaystyle i\geq 0}$.

Um processo de Poisson (homogeneo) e um processo de nascimento puro em que ${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda }$ para todo ${\displaystyle i\geq 0}$.

O modelo ${\displaystyle M/M/1}$ e o modelo ${\displaystyle M/M/c}$, ambos usados em teoria das filas , sao processos de nascimento e morte usados para descrever cliente em uma fila infinita. ^{[ 4 ]}

Uso em teoria das filas [ editar | editar codigo-fonte ]

Em teoria das filas, o processo de nascimento e morte e o exemplo mais fundamental de um modelo de fila, a fila ${\displaystyle M/M/C/K/\infty /FIFO}$ (em notacao de Kendall completa). Esta e uma fila com chegadas de Poisson, retiradas a partir de uma populacao infinita, ${\displaystyle C}$ servidores com tempo de servico exponencialmente distribuido e ${\displaystyle K}$ lugares na fila. Apesar do pressuposto de uma populacao infinita, este modelo e bom para varios sistemas de telecomunicacoes. ^{[ 5 ]}

Fila ${\displaystyle M/M/1}$[ editar | editar codigo-fonte ]

Ver artigo principal: Fila M/M/1

A fila ${\displaystyle M/M/1}$ e uma fila com um unico servidor com um buffer de tamanho infinito. Em um ambiente nao aleatorio, os processos de nascimento e morte em modelos de fila tendem a ser medias a longo prazo, de modo que a taxa media de chegada e dada como ${\displaystyle \lambda }$ e o tempo medio de servico e dado como ${\displaystyle 1/\mu }$. O processo de nascimento e morte e uma fila ${\displaystyle M/M/1}$ quando:

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda {\text{ e }}\mu _{i}=\mu {\text{ para todo }}i.}$

As equacoes de diferenca para a probabilidade de que o sistema esteja no estado ${\displaystyle k}$ no tempo ${\displaystyle t}$ sao:

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t),}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t).}$

Fila ${\displaystyle M/M/c}$[ editar | editar codigo-fonte ]

A fila ${\displaystyle M/M/c}$ e uma fila multiservidor com ${\displaystyle C}$ servidores e um buffer infinito. Esta difere da fila ${\displaystyle M/M/1}$ apenas no tempo de servico, que agora se torna:

${\displaystyle \mu _{i}=i\mu {\text{ para }}i\leq C}$

e

${\displaystyle \mu _{i}=C\mu {\text{ para }}i\geq C}$

com

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda {\text{ para todo }}i.}$

Fila ${\displaystyle M/M/1/K}$[ editar | editar codigo-fonte ]

A fila ${\displaystyle M/M/1/K}$ e uma fila com um unico servidor com um buffer de tamanho ${\displaystyle K}$. Esta fila tem aplicacoes em telecomunicacoes, assim como em biologia, quando uma populacao tem um limite de capacidade. Em telecomunicacoes, nos usamos novamente os parametros a partir da fila ${\displaystyle M/M/1}$ com:

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda {\text{ para }}0\leq i<K,}$

${\displaystyle \lambda _{i}=0{\text{ para }}i\geq K,}$

${\displaystyle \mu _{i}=\mu {\text{ para }}1\leq i\leq K.}$

Em biologia, particularmente no crescimento de bacterias, quando a populacao e zero, nao ha habilidade de crescer, entao:

${\displaystyle \lambda _{0}=0.}$

Adicionalmente, se a capacidade representar um limite em que a populacao morre devido a superpopulacao:

${\displaystyle \mu _{K}=0.}$

As equacoes diferenciais para a probabilidade de que o sistema esteja no estado ${\displaystyle k}$ no tempo ${\displaystyle t}$ sao:

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t),}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t){\text{ para }}k\leq K,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=0{\text{ para }}k>K.}$^{[ 6 ]}

Equilibrio [ editar | editar codigo-fonte ]

Diz-se que uma fila esta em equilibrio se o limite ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }p_{k}(t)}$ existir. Para que isto seja o caso, ${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)}$ deve ser zero.

Usando a fila ${\displaystyle M/M/1}$ como um exemplo, as equacoes de estado estavel (estado de equilibrio) sao:

${\displaystyle \lambda _{0}p_{0}(t)=\mu _{1}p_{1}(t),}$

${\displaystyle (\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t).}$

Se ${\displaystyle \lambda _{k}=\lambda }$ e ${\displaystyle \mu _{k}=\mu }$ para todo ${\displaystyle k}$ (o caso homogeneo), isto pode ser reduzido a:

${\displaystyle \lambda p_{k}(t)=\mu p_{k+1}(t){\text{ para }}k\geq 0}$

Comportamento de limite [ editar | editar codigo-fonte ]

Em um tempo pequeno ${\displaystyle \Delta t}$, apenas tres tipos de transicoes sao possiveis: uma morte, um nascimento ou nenhuma morte e nenhum nascimento. Se a taxa de ocorrencias (por unidade de tempo) for ${\displaystyle \lambda }$ e aquela para mortes for ${\displaystyle \mu }$, entao as probabilidades para as transicoes acima sao ${\displaystyle \lambda \Delta t}$, ${\displaystyle \mu \Delta t}$ e ${\displaystyle 1-(\lambda +\mu )\Delta t}$ respectivamente. Para um processo de populacao, o "nascimento" e a transicao rumo a um crescimento da populacao em 1, enquanto a "morte" e a transicao rumo a um decrescimento do tamanho da populacao em 1. ^{[ 7 ]}

Ver tambem [ editar | editar codigo-fonte ]

• Processo de Moran
• Teoria das filas
• Unidade Erlang

Referencias [ editar | editar codigo-fonte ]