Processo de Moran

Um processo de Moran ou modelo de Moran e um processo estocastico simples usado em biologia para descrever populacoes finitas . O processo recebe este nome em homenagem a Patrick Moran, que propos o modelo pela primeira vez em 1958. ^[
1
] Pode ser usado para modelar processos que aumentam a variedade, tais como mutacoes , assim como efeitos que diminuem a variedade, tais como a deriva genetica e a selecao natural . O processo pode descrever a dinamica probabilistica em uma populacao finita com tamanho constante $N$ na qual dois alelos A e B estao competindo por dominancia. Os dois alelos sao considerados replicadores reais (isto e, entidades que fazem copias de si mesmas).

Em cada momento, um individuo aleatorio (que pode ser tanto do tipo A, como do tipo B) e escolhido para reproducao e um individuo aleatorio e escolhido para morte, garantindo assim que o tamanho da populacao permaneca constante. Para a selecao do modelo, um tipo deve ter uma aptidao maior, tendo por isso maior probabilidade de ser escolhido para reproducao. O mesmo individuo pode ser escolhido para morte e para reproducao no mesmo momento.

Deriva neutra [ editar | editar codigo-fonte ]

A deriva neutra e a ideia de que uma mutacao neutra pode se espalhar por uma populacao, de modo que eventualmente o alelo original seja perdido. Uma mutacao neutra nao traz qualquer vantagem ou desvantagem em aptidao ao portador. O caso simples do processo de Moran pode descrever este fenomeno. ^[
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]

Se o numero de individuos A for dado por $i$ , entao, o processo de Moran e definido no espaco de estados $i=0,...,N$ . Ja que o numero de individuos A pode mudar no maximo em uma unidade a cada momento, a transicao existe somente entre o estado $i$ e os estados $i-1$ e $i+1$ . Assim, a matriz de transicao do processo estocastico e tridiagonal em forma e as probabilidades de transicao sao

{\begin{aligned}P_{i,i-1}&={\frac {N-i}{N}}{\frac {i}{N}}\\P_{i,i}&=1-P_{i,i-1}-P_{i,i+1}\\P_{i,i+1}&={\frac {i}{N}}{\frac {N-i}{N}}\\\end{aligned}}

A entrada $P_{i,j}$ denota a probabilidade de se passar do estado $i$ para o estado $j$ . Para entender as formulas para as probabilidades de transicao, e necessario observar a definicao do processo que afirma que sempre um individuo sera escolhido para reproducao e um individuo sera escolhido para a morte. Uma vez que os individuos A tenham morrido, eles nunca mais serao reintroduzidos na populacao, ja que o processo nao modela mutacoes (A nao pode ser reintroduzido na populacao uma vez que tenha morrido e vice-versa), logo, $P_{0,0}=1$ . Pela mesma razao, a populacao de individuos A permanecera sempre $N$ , uma vez que tenha alcancado este numero e tomado conta de populacao, logo, $P_{N,N}=1$ . Os estados $0$ e $N$ sao chamados de absorventes, enquanto os estados $1,...,N-1$ sao chamados de transientes. As probabilidades intermediarias de transicao podem ser explicadas considerando o primeiro termo como a probabilidade de escolha do individuo cuja abundancia aumentara em uma unidade e o segundo termo a probabilidade de escolha do outro tipo para a morte. Obviamente, se o mesmo tipo e escolhido para a reproducao e para a morte, entao, a abundancia deste tipo nao muda.

Eventualmente a populacao atingira um dos estados absorventes e nele permanecera para sempre. Nos estados transientes, flutuacoes aleatorias ocorrerao, mas eventualmente a populacao sera extinta ou atingira fixacao. Esta e uma das mais importantes diferencas em relacao a processos deterministicos que nao podem modelar eventos aleatorios. O valor esperado e a variancia do numero de individuos A $X(t)$ no momento $t$ podem ser computados quando um estado inicial $X(0)=1$ e dado:

{\begin{aligned}\operatorname {E} [X(t)\mid X(0)=i]&=i\\\operatorname {Var} (X(t)\mid X(0)=i)&={\tfrac {2i}{N}}\left(1-{\tfrac {i}{N}}\right){\frac {1-\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)^{t}}{\frac {2}{N^{2}}}}\end{aligned}}

Para uma derivacao matematica da equacao acima, clique em "expandir" para que ela seja mostrada

Para o valor esperado, o calculo ocorre como segue abaixo. Escrevendo $p = i N,$

{\begin{aligned}\operatorname {E} [X(t)\mid X(t-1)=i]&=(i-1)P_{i,i-1}+iP_{i,i}+(i+1)P_{i,i+1}\\&=2ip(1-p)+i(p^{2}+(1-p)^{2})\\&=i.\end{aligned}}

Escrevendo $Y=X(t)$ e $Z=X(t-1)$ e aplicando a lei da esperanca total, $\operatorname {E} [Y]=\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y\mid Z]]=\operatorname {E} [Z].$ Aplicando o argumento repetidamente, temos $\operatorname {E} [X(t)]=\operatorname {E} [X(0)],$ ou $\operatorname {E} [X(t)\mid X(0)=i]=i.$

Para a variancia, o calculo ocorre como segue abaixo. Escrevendo $V_{t}=\operatorname {Var} (X(t)\mid X(0)=i),$ temos

{\begin{aligned}V_{1}&=E\left[X(1)^{2}\mid X(0)=i\right]-\operatorname {E} [X(1)\mid X(0)=i]^{2}\\&=(i-1)^{2}p(1-p)+i^{2}\left(p^{2}+(1-p)^{2}\right)+(i+1)^{2}p(1-p)-i^{2}\\&=2p(1-p)\end{aligned}}

Para todo $t$ , $(X(t)\mid X(t-1)=i)$ e $(X(1)\mid X(0)=i)$ sao identicamente distribuidos, logo, suas variancias sao iguais. Escrevendo como antes $Y=X(t)$ e $Z=X(t-1)$ e aplicando a lei da variancia total,

{\begin{aligned}\operatorname {Var} (Y)&=\operatorname {E} [\operatorname {Var} (Y\mid Z)]+\operatorname {Var} (\operatorname {E} [Y\mid Z])\\&=E\left[\left({\frac {2Z}{N}}\right)\left(1-{\frac {Z}{N}}\right)\right]+\operatorname {Var} (Z)\\&=\left({\frac {2\operatorname {E} [Z]}{N}}\right)\left(1-{\frac {\operatorname {E} [Z]}{N}}\right)+\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)\operatorname {Var} (Z).\end{aligned}}

Se $X(0)=i$ , obtemos

V_{t}=V_{1}+\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)V_{t-1}.

Rescrevendo a equacao

V_{t}-{\frac {V_{1}}{\frac {2}{N^{2}}}}=\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)\left(V_{t-1}-{\frac {V_{1}}{\frac {2}{N^{2}}}}\right)=\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)^{t-1}\left(V_{1}-{\frac {V_{1}}{\frac {2}{N^{2}}}}\right)

temos

V_{t}=V_{1}{\frac {1-\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)^{t}}{\frac {2}{N^{2}}}}

como desejado.

A probabilidade de que A atinja fixacao e chamada de probabilidade de fixacao. Para o processo de Moran simples, esta probabilidade e $x_{i}={\frac {i}{N}}$

Ja que todos os individuos tem a mesma aptidao, todos terao a mesma chance de se tornar o antecessor de toda a populacao. Esta probabilidade e ${\frac {1}{N}}$ , logo, a soma de todas as probabilidades $i$ (para todos os individuos A) e ${\frac {i}{N}}$ . O tempo medio ate a absorcao, a partir do estado $i$ , e dado por

k_{i}=N\left[\sum _{j=1}^{i}{\frac {N-i}{N-j}}+\sum _{j=i+1}^{N-1}{\frac {i}{j}}\right]

Para uma derivacao matematica da equacao acima, clique em "expandir" para que ela seja mostrada

O tempo medio gasto no estado j , a partir do estado i , e dado por

k_{i}^{j}=\delta _{ij}+P_{i,i-1}k_{i-1}^{j}+P_{i,i}k_{i}^{j}+P_{i,i+1}k_{i+1}^{j}

Aqui, $δ ij$ denota o delta de Kronecker . Esta equacao recursiva pode ser resolvida usando-se uma nova variavel $q i$ de modo que $P_{i,i-1}=P_{i,i+1}=q_{i}$ , logo, $P_{i,i}=1-2q_{i}$ > Reescrevendo, temos

k_{i+1}^{j}=2k_{i}^{j}-k_{i-1}^{j}-{\frac {\delta _{ij}}{q_{i}}}

A variavel $y_{i}^{j}=k_{i}^{j}-k_{i-1}^{j}$ e usada e a equacao se torna

{\begin{aligned}y_{i+1}^{j}&=y_{i}^{j}-{\frac {\delta _{ij}}{q_{i}}}\\\\\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{j}&=(k_{1}^{j}-k_{0}^{j})+(k_{2}^{j}-k_{1}^{j})+\cdots +(k_{m-1}^{j}-k_{m-2}^{j})+(k_{m}^{j}-k_{m-1}^{j})\\&=k_{m}^{j}-k_{0}^{j}\\\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{j}&=k_{m}^{j}\\\\y_{1}^{j}&=(k_{1}^{j}-k_{0}^{j})=k_{1}^{j}\\y_{2}^{j}&=y_{1}^{j}-{\frac {\delta _{1j}}{q_{1}}}=k_{1}^{j}-{\frac {\delta _{1j}}{q_{1}}}\\y_{3}^{j}&=k_{1}^{j}-{\frac {\delta _{1j}}{q_{1}}}-{\frac {\delta _{2j}}{q_{2}}}\\&\vdots \\y_{i}^{j}&=k_{1}^{j}-\sum _{r=1}^{i-1}{\frac {\delta _{rj}}{q_{r}}}={\begin{cases}k_{1}^{j}&j\geq i\\k_{1}^{j}-{\frac {1}{q_{j}}}&j\leq i\end{cases}}\\\\k_{i}^{j}&=\sum _{m=1}^{i}y_{m}^{j}={\begin{cases}i\cdot k_{1}^{j}&j\geq i\\i\cdot k_{1}^{j}-{\frac {i-j}{q_{j}}}&j\leq i\end{cases}}\end{aligned}}

Sabendo que $k_{N}^{j}=0$ e

q_{j}=P_{j,j+1}={\frac {j}{N}}{\frac {N-j}{N}}

podemos calcular $k_{1}^{j}$ :

{\begin{aligned}k_{N}^{j}=\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{j}=N\cdot k_{1}^{j}&-{\frac {N-j}{q_{j}}}=0\\k_{1}^{j}&={\frac {N}{j}}\end{aligned}}

Portanto

k_{i}^{j}={\begin{cases}{\frac {i}{j}}\cdot k_{j}^{j}&j\geq i\\{\frac {N-i}{N-j}}\cdot k_{j}^{j}&j\leq i\end{cases}}

com $k_{j}^{j}=N$ . Agora, $k i$ , o tempo total do estado i ate a fixacao pode ser calculado

{\begin{aligned}k_{i}=\sum _{j=1}^{N-1}k_{i}^{j}&=\sum _{j=1}^{i}k_{i}^{j}+\sum _{j=i+1}^{N-1}k_{i}^{j}\\&=\sum _{j=1}^{i}N{\frac {N-i}{N-j}}+\sum _{j=i+1}^{N-1}N{\frac {i}{j}}\end{aligned}}

Para um $N$ grande, a aproximacao

\lim _{N\to \infty }k_{i}\approx -N^{2}\left[(1-x_{i})\ln(1-x_{i})+x_{i}\ln(x_{i})\right]

esta correta.

Selecao [ editar | editar codigo-fonte ]

Se um alelo tem uma vantagem de aptidao comparado a outro alelo, e mais provavel que ele seja escolhido para reproducao. Isto pode ser incorporado ao modelo se individuos com alelo A tiverem a aptidao $f_{i}$ e os individuos com alelo B tiverem a aptidao $g i$ , em que $i$ e o numero de individuos do tipo A, descrevendo assim um processo geral de nascimento e morte. A matriz de transicao do processo estocastico e tridiagonal em forma e as possibilidades de transicao sao ^[
3
]

{\begin{aligned}P_{i,i-1}&={\frac {g_{i}(N-i)}{f_{i}\cdot i+g_{i}(N-i)}}\cdot {\frac {i}{N}}\\P_{i,i}&=1-P_{i,i-1}-P_{i,i+1}\\P_{i,i+1}&={\frac {f_{i}\cdot i}{f_{i}\cdot i+g_{i}(N-i)}}\cdot {\frac {N-i}{N}}\\\end{aligned}}

A entrada $P_{i,j}$ denota a probabilidade de se passar do estado $i$ para o estado $j$ . Para entender as formulas para as probabilidades de transicao, e necessario observar a definicao do processo e ver que a aptidao entra apenas no primeiro termo nas equacoes quanto a reproducao. Assim, a probabilidade de que um individuo A seja escolhido para reproducao nao e mais ${\frac {i}{N}}$ , mas dependente da aptidao de A, logo,

{\frac {f_{i}\cdot i}{f_{i}\cdot i+g_{i}(N-i)}}.

Tambem neste caso, as probabilidades de fixacao a partir do estado $i$ sao definidas pela recorrencia

x_{i}={\begin{cases}0&i=0\\\beta _{i}x_{i-1}+(1-\alpha _{i}-\beta _{i})x_{i}+\alpha _{i}x_{i+1}&1\leq i\leq N-1\\1&i=N\end{cases}}

A forma fechada e dada por

x_{i}={\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{i-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}}\qquad {\text{(1)}}

em que $\gamma _{i}=P_{i,i-1}/P_{i,i+1}$ por definicao e sera simplesmente $g_{i}/f_{i}$ para o caso geral.

Para uma derivacao matematica da equacao acima, clique em "expandir" para que ela seja mostrada

Tambem neste caso, as probabilidades de fixacao podem ser computadas, mas as probabilidades de transicao nao sao simetricas. A notacao $P_{i,i+1}=\alpha _{i},P_{i,i-1}=\beta _{i},P_{i,i}=1-\alpha _{i}-\beta _{i}$ e $\gamma _{i}=\beta _{i}/\alpha _{i}$ e usada. A probabilidade de fixacao pode ser definida recursivamente e uma nova variavel $y_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ e introduzida.

{\begin{aligned}x_{i}&=\beta _{i}x_{i-1}+(1-\alpha _{i}-\beta _{i})x_{i}+\alpha _{i}x_{i+1}\\\beta _{i}(x_{i}-x_{i-1})&=\alpha _{i}(x_{i+1}-x_{i})\\\gamma _{i}\cdot y_{i}&=y_{i+1}\end{aligned}}

Agora, duas variaveis obtidas da definicao da variavel $y i$ podem ser usadas para encontrar uma solucao de forma fechada para as probabilidades de fixacao:

{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{m}y_{i}&=x_{m}&&1\\y_{k}&=x_{1}\cdot \prod _{l=1}^{k-1}\gamma _{l}&&2\\\Rightarrow \sum _{m=1}^{i}y_{m}&=x_{1}+x_{1}\sum _{j=1}^{i-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}=x_{i}&&3\end{aligned}}

Combinando (3) e $x N = 1$ :

x_{1}\left(1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}\right)=x_{N}=1.

que implica:

x_{1}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}}

Isto, por sua vez, nos da:

x_{i}={\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{i-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}}

Este caso geral em que a aptidao de A e B depende da abundancia de cada tipo e estudado em teoria evolutiva dos jogos.

Resultados menos complexos sao obtidos se uma diferenca constante de aptidoes $r$ for assumida. Individuos do tipo A se reproduzem a uma taxa constante $r$ e individuos com alelo B se reproduzem a uma taxa 1. Assim, se A tiver uma vantagem de aptidao sobre B, $r$ sera maior que um, de outra forma, sera menor que um. Assim, a matriz de transicao do processo estocastico e tridiagonal em forma e as probabilidades de transicao sao

{\begin{aligned}P_{0,0}&=1\\P_{i,i-1}&={\frac {N-i}{r\cdot i+N-i}}\cdot {\frac {i}{N}}\\P_{i,i}&=1-P_{i,i-1}-P_{i,i+1}\\P_{i,i+1}&={\frac {r\cdot i}{r\cdot i+N-i}}\cdot {\frac {N-i}{N}}\\P_{N,N}&=1.\end{aligned}}

Neste caso, $\gamma _{i}=1/r$ e um fator constante para cada composicao da populacao e, assim, simplificando a probabilidade de fixacao da equacao (1), temos

x_{i}={\frac {1-r^{-i}}{1-r^{-N}}}\quad \Rightarrow \quad x_{1}=\rho ={\frac {1-r^{-1}}{1-r^{-N}}}\qquad {\text{(2)}}

em que a probabilidade de fixacao de um unico mutante A em uma populacao que, de outra forma, seria inteiramente do tipo B e frequentemente de interesse, sendo denotada por $\rho$ .

Tambem no caso da selecao, o valor esperado e a variancia do numero de individuos A podem ser computados

{\begin{aligned}\operatorname {E} [X(t)\mid X(t-1)=i]&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}+i\\\operatorname {Var} (X(t+1)\mid X(t)=i)&=p(1-p){\dfrac {(s+1)+(ps+1)^{2}}{(ps+1)^{2}}}\end{aligned}}

em que $p = i N$ e $r = 1 + s$ .

Para uma derivacao matematica da equacao acima, clique em "expandir" para que ela seja mostrada

Para o valor esperado, o calculo ocorre como segue abaixo

{\begin{aligned}\operatorname {E} [\Delta (1)\mid X(0)=i]&=(i-1-i)\cdot P_{i,i-1}+(i-i)\cdot P_{i,i}+(i+1-i)\cdot P_{i,i+1}\\&=-{\frac {N-i}{ri+N-i}}{\frac {i}{N}}+{\frac {ri}{ri+N-i}}{\frac {N-i}{N}}\\&=-{\frac {(N-i)i}{(ri+N-i)N}}+{\frac {i(N-i)}{(ri+N-i)N}}+{\frac {si(N-i)}{(ri+N-i)N}}\\&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}\\\operatorname {E} [X(t)\mid X(t-1)=i]&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}+i\end{aligned}}

Para a variancia, o calculo ocorre como segue abaixo, usando a variancia de um unico passo

{\begin{aligned}\operatorname {Var} (X(t+1)\mid X(t)=i)&=\operatorname {Var} (X(t))+\operatorname {Var} (\Delta (t+1)\mid X(t)=i)\\&=0+E\left[\Delta (t+1)^{2}\mid X(t)=i\right]-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=(i-1-i)^{2}\cdot P_{i,i-1}+(i-i)^{2}\cdot P_{i,i}+(i+1-i)^{2}\cdot P_{i,i+1}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=P_{i,i-1}+P_{i,i+1}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&={\frac {(N-i)i}{(ri+N-i)N}}+{\frac {(N-i)i(1+s)}{(ri+N-i)N}}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=i(N-i){\frac {2+s}{(ri+N-i)N}}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=i(N-i){\frac {2+s}{(ri+N-i)N}}-\left(ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}\right)^{2}\\&=p(1-p){\frac {2+s(ps+1)}{(ps+1)^{2}}}-p(1-p){\frac {ps^{2}(1-p)}{(ps+1)^{2}}}\\&=p(1-p){\dfrac {2+2ps+s+p^{2}s^{2}}{(ps+1)^{2}}}\end{aligned}}

Taxa de evolucao [ editar | editar codigo-fonte ]

Em uma populacao inteiramente composta por individuos B, um unico mutante A tomara conta de toda a populacao com a probabilidade ^[
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]

\rho ={\frac {1-r^{-1}}{1-r^{-N}}}.\qquad {\text{(2)}}

Se a taxa de mutacao (intensidade com que se vai do alelo B ao alelo A) na populacao for $u$ , entao, a taxa com a qual um membro da populacao mutacionara a A e dada por $N\times u$ e a taxa com a qual toda a populacao ira de inteiramente B a inteiramente A e a taxa a que o alelo mutante A surge vezes a probabilidade de que tomara conta de toda a populacao (probabilidade de fixacao):

R=N\cdot u\cdot \rho =u\quad {\text{if}}\quad \rho ={\frac {1}{N}}.

Assim, se a mutacao for neutra (isto e, se a probabilidade de fixacao for apenas ${\frac {1}{N}}$ ), entao, a taxa a que um alelo surge e toma conta da populacao e independente do tamanho da populacao, sendo igual a taxa de mutacao. Este importante resultado e a base da teoria neutralista da evolucao e sugere que o numero de mutacoes pontuais observadas nos genomas de duas especies diferentes seria simplesmente dado pela taxa de mutacao vezes o dobro do tempo decorrido desde a divergencia. Assim, a teoria neutralista oferece um relogio molecular , dado que os pressupostos tenham sido preenchidos, o que pode nao ser o caso na realidade.

Referencias [ editar | editar codigo-fonte ]

↑ Moran, P. a. P. (1 de janeiro de 1958). ≪Random processes in genetics≫ . Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . 54 (1): 60?71. ISSN 1469-8064 . doi : 10.1017/S0305004100033193
↑ Nowak, Martin A. (29 de setembro de 2006). Evolutionary Dynamics (em ingles). [S.l.]: Harvard University Press. ISBN 9780674023383
↑ Moran, Patrick Alfred Pierce (1962). The statistical processes of evolutionary theory (em ingles). [S.l.]: Clarendon Press
↑ Lieberman, Erez; Hauert, Christoph; Nowak, Martin A. (20 de janeiro de 2005). ≪Evolutionary dynamics on graphs≫ . Nature (em ingles). 433 (7023): 312?316. ISSN 0028-0836 . doi : 10.1038/nature03204

[1] Moran, P. a. P. (1 de janeiro de 1958). ≪Random processes in genetics≫ . Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . 54 (1): 60?71. ISSN 1469-8064 . doi : 10.1017/S0305004100033193

[2] Nowak, Martin A. (29 de setembro de 2006). Evolutionary Dynamics (em ingles). [S.l.]: Harvard University Press. ISBN 9780674023383

[3] Moran, Patrick Alfred Pierce (1962). The statistical processes of evolutionary theory (em ingles). [S.l.]: Clarendon Press

[4] Lieberman, Erez; Hauert, Christoph; Nowak, Martin A. (20 de janeiro de 2005). ≪Evolutionary dynamics on graphs≫ . Nature (em ingles). 433 (7023): 312?316. ISSN 0028-0836 . doi : 10.1038/nature03204

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v d e Processos estocasticos
Tempo discreto	Cadeias de Markov Passeio aleatorio Autoevitante Processo de Bernoulli Processo de Galton?Watson Processo de Moran Variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuidas
Tempo continuo	Processo de Bessel Movimento browniano Ponte Excursao Fracionario Geometrico Meander Processo de Cauchy Processo de Cox Processo de Feller Processo de Fleming?Viot Processo de Hunt Difusao de Ito Processo de Ito Processo Levy Tempo local Processo aditivo de Markov Processo de McKean?Vlasov Processo Ornstein?Uhlenbeck Processo de Poisson Evolucao de Schramm?Loewner Processo de Wiener Processo de nascimento e morte Processo de contato Passeio aleatorio de tempo continuo Processo empirico Difusao de salto
Ambos	Processo gaussiano Modelo Galves-Locherbach Cadeias estocasticas com memoria de alcance variavel Modelo oculto de Markov Processo de Markov Martingale Ruido branco Processo regenerativo
Campos e outros	Processo de Dirichlet Medida de Gibbs Modelo de Hopfield Modelo de Ising Modelo de Potts Campo aleatorio de Markov Processo de Pitman?Yor Grafo aleatorio
Modelos de serie temporal	Modelos ARCH ARIMA ARMA
Modelos financeiros	Black?Derman?Toy Black?Karasinski Chen Cox?Ingersoll?Ross (CIR) Garman?Kohlhagen Heath?Jarrow?Morton (HJM) Heston Ho?Lee Hull?White LIBOR market Rendleman?Bartter SABR volatility Va?i?ek Wilkie
Modelos atuariais	Buhlmann Cramer?Lundberg Sparre?Anderson
Modelos de filas	Fila M/M/1
Propriedades	Cadlag Processo continuo de Feller Gauss?Markov Markov Continuo Reversivel no tempo
Teoremas limites	Teorema central do limite Teorema de Donsker Teoria ergodica Teorema de Fisher?Tippett?Gnedenko Lei dos grandes numeros Lei do logaritmo iterado Teorema de Sanov
Desigualdades	Burkholder?Davis?Gundy Kunita?Watanabe Martingale de Doob
Ferramentas	Formula de Cameron?Martin Convergencia de variaveis aleatorias Exponencial de Doleans-Dade Teorema da decomposicao de Doob?Meyer Formula de Dynkin Formula de Feynman?Kac Teorema de Girsanov Integral de Ito Lema de It? Teorema da continuidade de Kolmogorov Teorema da extensao de Kolmogorov Metrica de Levy?Prokhorov Teorema de Prokhorov Integral de Skorokhod Teorema da representacao de Skorokhod Espaco de Skorokhod Equacao diferencial estocastica Tanaka Integral de Stratonovich Espaco de Wiener Classico Abstrato Principio da reflexao
Disciplinas	Ciencias atuariais Econometria Teoria ergodica Matematica financeira Teoria das probabilidades Teoria das filas Estatistica Calculo estocastico Serie temporal Aprendizado de maquina
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