Em matematica, mais precisamente em calculo estocastico , o processo Ornstein?Uhlenbeck , que recebe este nome em homenagem aos fisicos holandeses Leonard Ornstein e George Eugene Uhlenbeck , e um processo estocastico que, grosso modo , descreve a velocidade de uma particula browniana sob a influencia do atrito, ou seja, uma particula com massa. O processo e um processo de Gauss?Markov estacionario, o que quer dizer que e tanto um processo de Gauss , quanto de Markov , sendo o unico processo nao trivial que satisfaz estas tres condicoes, permitindo transformacoes lineares das variaveis do espaco e do tempo. ^{[ 1 ]} Ao longo do tempo, o processo tende a derivar em direcao a sua media a longo prazo. Tal processo e chamado de reversao a media, comportamento comumente encontrando no movimentos de precos de instrumentos do mercado financeiro. ^{[ 2 ]}

O processo pode ser considerado uma modificacao do passeio aleatorio em tempo continuo ou do processo de Wiener , em que as propriedades do processo foram mudadas de forma que ha uma tendencia do passeio mover para tras, rumo a uma locacao central, com maior atracao quando o processo esta mais distante do centro. O processo Ornstein?Uhlenbeck pode ser considerado o analogo de tempo continuo do processo auto-regressivo de tempo discreto . ^{[ 3 ]}

Representacao por equacao diferencial estocastica [ editar | editar codigo-fonte ]

Um processo Ornstein?Uhlenbeck ${\displaystyle x_{t}}$ satisfaz a seguinte equacao diferencial estocastica :

${\displaystyle dx_{t}=\theta (\mu -x_{t})dt+\sigma dW_{t},}$

em que ${\displaystyle \theta >0}$, ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \sigma >0}$ sao parametros e ${\displaystyle W_{t}}$ denota o processo de Wiener.

A representacao acima pode ser tomada como a definicao primaria de um processo Ornstein?Uhlenbeck ou tambem mencionada como o modelo Vasicek. ^{[ 1 ] [ 4 ]}

Representacao por equacao de Fokker?Planck [ editar | editar codigo-fonte ]

A funcao densidade de probabilidade ${\displaystyle f(x,t)}$ do processo de Ornstein?Uhlenbeck satisfaz a equacao de Fokker?Planck :

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}[(x-\mu )f]+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}.}$

A funcao de Green desta equacao diferencial parcial parabolica linear, em que ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2}$ e a condicao inicial consiste em uma massa de ponto unitario na locacao ${\displaystyle y}$, e:

${\displaystyle f(x,t)={\sqrt {\frac {\theta }{2\pi D(1-e^{-2\theta t})}}}\exp \left\{{\frac {-\theta }{2D}}\left[{\frac {(x-\mu -(y-\mu )e^{-\theta t})^{2}}{1-e^{-2\theta t}}}\right]\right\},}$,

que e uma distribuicao gaussiana com media ${\displaystyle \mu +(y-\mu )e^{-\theta t}}$ e variancia ${\displaystyle \sigma ^{2}/(2\theta )\left(1-e^{-2\theta t}\right)}$. A solucao estacionaria desta equacao e o limite para o tempo tendendo ao infinito que e uma distribuicao gaussiana com media ${\displaystyle \mu }$ e variancia ${\displaystyle \sigma ^{2}/(2\theta )}$:

${\displaystyle f(x)={\sqrt {\frac {\theta }{\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-\theta (x-\mu )^{2}/\sigma ^{2}}.}$^{[ 5 ]}

Aplicacao em ciencias fisicas [ editar | editar codigo-fonte ]

O processo Ornstein?Uhlenbeck e um prototipo de um processo de relaxacao ruidoso. Considere por exemplo uma mola de Hooke com constante de mola ${\displaystyle k}$ cuja dinamica e altamente superamortecida com coeficiente de friccao ${\displaystyle \gamma }$. Na presenca de flutuacoes termicas com temperatura ${\displaystyle T}$, o comprimento ${\displaystyle x(t)}$ da mola flutuara estocasticamente em torno do comprimento de repouso da mola ${\displaystyle x_{0}}$. Sua dinamica estocastica e descrita por um processo de Ornstein?Uhlenbeck com:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=k/\gamma ,\\\mu &=x_{0},\\\sigma &={\sqrt {2k_{B}T/\gamma }},\end{aligned}}}$

em que ${\displaystyle \sigma }$ deriva da equacao de Stokes?Einstein ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2=k_{B}T/\gamma }$ para a constante de difusao efetiva. Em ciencias fisicas, a equacao diferencial estocastica de um processo Ornstein?Uhlenback e reescrita como uma equacao de Langevin :

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=-{\frac {k}{\gamma }}(x(t)-x_{0})+\xi (t),}$

em que ${\displaystyle \xi (t)}$ e um ruido gaussiano branco com ${\displaystyle \langle \xi (t_{1})\xi (t_{2})\rangle =2k_{B}T/\gamma \delta (t_{1}-t_{2})}$. ^{[ 6 ]} As flutuacoes sao correlacionadas como:

${\displaystyle \langle (x(t_{0})-x_{0})(x(t_{0}+t)-x_{0})\rangle ={\frac {k_{B}T}{k}}\exp(-|t|/\tau ),}$

com tempo de correlacao ${\displaystyle \tau =\gamma /k}$.

Em equilibrio, a mola armazena uma energia media ${\displaystyle \langle E\rangle =k\langle (x-x_{0})^{2}\rangle /2=k_{B}T/2}$ de acordo com o teorema da equiparticao . ^{[ 7 ]}

Aplicacao em matematica financeira [ editar | editar codigo-fonte ]

O processo Ornstein?Uhlenbeck e uma das varias abordagens usada para modelar (com modificacoes) taxas de juro , taxas de cambio e precos de commodities estocasticamente. O parametro ${\displaystyle \mu }$ representa o equilibrio ou o valor medio apoiado pelos fundamentos, sendo ${\displaystyle \sigma }$ o grau de volatilidade em torno dele causado por choques e ${\displaystyle \theta }$ a taxa pela qual estes choques se dissipam e a variavel reverte a media. Uma aplicacao do processo e a estrategia de comercio conhecida como long and short . ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

Propriedades matematicas [ editar | editar codigo-fonte ]

O processo Ornstein?Uhlenbeck e um exemplo de processo gaussiano que tem uma variancia limitada e admite uma distribuicao de probabilidade estacionaria. Em relacao ao processo de Wiener, tem um termo de "deriva" diferente. Para o processo de Wiener, o termo de deriva e constante, enquanto, no processo Ornstein?Uhlenbeck, o termo de deriva e dependente do valor corrente do processo. Se o valor corrente do processo for menor do que a media (a longo prazo), a deriva sera positiva. Se o valor corrente do processo for maior do que a media (a longo prazo), a deriva sera negativa. Em outras palavras, a media age como um nivel de equilibrio para o processo. Isto da ao processo seu nome informativo de "reversao a media". ^{[ 11 ]} A variancia estacionaria (a longo prazo) e dada por:

${\displaystyle \operatorname {var} (x_{t})={\sigma ^{2} \over 2\theta }.}$

O processo Ornstein?Uhlenbeck e o analogo de tempo continuo do processo auto-regressivo de tempo discreto.

A distribuicao assintotica da maxima verossimilhanca do processo Ornstein?Uhlenbeck e: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\begin{pmatrix}{\hat {\theta }}_{n}\\{\hat {\mu }}_{n}\\{\hat {\sigma }}_{n}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\theta \\\mu \\\sigma \end{pmatrix}}\right){\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}\left({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {e^{2t\theta }-1}{t^{2}}}&0&{\frac {\sigma }{2}}{\frac {e^{2t\theta }-1-2t\theta }{t^{2}\theta }}\\0&{\frac {\sigma ^{2}\left(e^{t\theta }+1\right)}{2\left(e^{t\theta }-1\right)\theta }}&0\\{\frac {\sigma }{2}}{\frac {e^{2t\theta }-1-2t\theta }{t^{2}\theta }}&0&{\frac {\sigma ^{2}}{4}}{\frac {\left(e^{2t\theta }-1\right)^{2}+2t^{2}\theta ^{2}\left(e^{2t\theta }+1\right)-4t\theta \left(e^{2t\theta }-1\right)}{t^{2}\left(e^{2t\theta }-1\right)\theta ^{2}}}\end{pmatrix}}\right).}$

Solucao [ editar | editar codigo-fonte ]

Esta equacao diferencial estocastica e resolvida pela variacao de parametros . Mudando a variavel

${\displaystyle f(x_{t},t)=x_{t}e^{\theta t},}$

temos

${\displaystyle {\begin{aligned}df(x_{t},t)&=\theta x_{t}e^{\theta t}dt+e^{\theta t}dx_{t}\\&=e^{\theta t}\theta \mu dt+\sigma e^{\theta t}dW_{t}.\end{aligned}}}$

Integrando de 0 a ${\displaystyle t}$, temos

${\displaystyle x_{t}e^{\theta t}=x_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \mu ds+\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta s}dW_{s},}$

em que vemos

${\displaystyle x_{t}=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}dW_{s}.}$

Formulas para momentos de processos estacionarios [ editar | editar codigo-fonte ]

A partir desta representacao, o primeiro momento e dado por (assumindo que ${\displaystyle x_{0}}$ e uma constante)

${\displaystyle E(x_{t})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t}).}$

A isometria de It? pode ser usada para calcular a funcao covariancia por

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (x_{s},x_{t})&=E[(x_{s}-E[x_{s}])(x_{t}-E[x_{t}])]\\&=E\left[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}dW_{v}\right]\\&=\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}E\left[\int _{0}^{s}e^{\theta u}dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}dW_{v}\right]\\&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta \min(s,t)}-1)\\&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).\end{aligned}}}$^{[ 13 ]}

Representacao alternativa para processos nao estacionarios [ editar | editar codigo-fonte ]

Tambem e possivel (e frequentemente conveniente) representar ${\displaystyle x_{t}}$ (incondicionalmente, isto e, conforme ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$) como um processo de Wiener escalonado de tempo transformado:

${\displaystyle x_{t}=\mu +{\sigma \over {\sqrt {2\theta }}}e^{-\theta t}W_{e^{2\theta t}}}$

ou condicionamente (dado ${\displaystyle x_{0}}$) como

${\displaystyle x_{t}=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+{\sigma \over {\sqrt {2\theta }}}e^{-\theta t}W_{e^{2\theta t}-1}.}$^{[ 14 ]}

A integral do tempo deste processo pode ser usada para gerar ruido como um espectro de potencia ${\displaystyle 1/f}$.

Interpretacao do limite de escalonamento [ editar | editar codigo-fonte ]

O processo Ornstein?Uhlenbeck pode ser interpretado como um limite de escalonamento de um processo discreto, da mesma forma que o movimento browniano e um limite de escalonamento de passeios aleatorios. Considere uma urna que contem ${\displaystyle n}$ bolas azuis e amarelas. A cada passo, uma bola e escolhida aleatoriamente e reposta por uma bola da cor oposta. Considere ${\displaystyle X_{n}}$ o numero de bolas azuis na urna depois de ${\displaystyle n}$ passos. Entao, ${\displaystyle {\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$ converge em lei a um processo Ornstein?Uhlenbeck conforme ${\displaystyle n}$ tende ao infinito. ^{[ 15 ]}

Generalizacoes [ editar | editar codigo-fonte ]

E possivel estender os processos Ornstein?Uhlenbeck a processos em que o plano de fundo conduzindo o processo e um processo Levy (em vez de um movimento browniano simples). Estes processos foram estudados pelo estatistico dinamarques Ole Barndorff-Nielsen e pelo econometrista britanico Neil Shephard.

Adicionalmente, em financas, os processos estocasticos sao usados quando a volatilidade aumenta para valores maiores de ${\displaystyle X}$. Em particular, o processo de Chan?Karolyi?Longstaff?Sanders com o termo de volatilidade substituido por ${\displaystyle \sigma x^{\gamma }dW_{t}}$ pode ser resolvido em forma fechada para ${\displaystyle \gamma =1/2}$ ou1, assim como para ${\displaystyle \gamma =0}$, que corresponde ao processo Ornstein?Uhlenbeck convencional. ^{[ 16 ]}

Ver tambem [ editar | editar codigo-fonte ]

• Equacao diferencial estocastica

Referencias [ editar | editar codigo-fonte ]