Movimento Browniano ou pedesis (em grego : π?δησι? /p??ːd?ːsis/ "pulando") e o movimento aleatorio das particulas suspensas em um fluido ( liquido ou gas ), resultante da sua colisao com atomos rapidos ou moleculas no gas ou liquido. O movimento Browniano e um dos mais simples processos da estocastica (ou probabilistica) de tempo continuo, e e um limite de ambos os processos mais simples e mais complicados estocasticos ( veja passeio aleatorio e teorema de Donsker ). Esta universalidade esta intimamente relacionada com a universalidade da distribuicao normal . Em ambos os casos, e muitas vezes conveniencia matematica, em vez da precisao dos modelos, que motiva a sua utilizacao.

O termo "movimento Browniano", nomeado em homenagem ao botanico Robert Brown, tambem pode se referir ao modelo matematico usado para descrever tais movimentos aleatorios, que muitas vezes e chamado de teoria da particula. ^{[ 1 ]} Este modelo tem inumeras aplicacoes do mundo real. Por exemplo, flutuacoes do mercado de acoes sao frequentemente citados, embora Benoit Mandelbrot rejeitou sua aplicabilidade aos movimentos de precos de acoes, em parte, porque estes sao descontinuos. ^{[ 2 ]}

Conceito [ editar | editar codigo-fonte ]

O movimento browniano e o movimento aleatorio de particulas num fluido (liquido ou gas) como consequencia dos choques entre todas as moleculas ou atomos presentes no fluido. O termo movimento browniano pode ser usado para se referir a uma grande diversidade de movimentos com particulas, com moleculas, e com ambos presentes em estados desde micro ate macroscopicos em situacoes de organizacao caoticas, semi-caoticas, ou de proporcoes matematicas, principalmente em casos de modelagem, todos estes na area denominada Fisica de particulas . ^{[ 1 ]}

Esse fenomeno fisico que e intrinseco a materia e aos choques que ocorrem nos fluidos, tambem pode ser observado com macromoleculas, tendo por exemplo o momento que a luz incide em locais relativamente secos, permitindo que se veja macroparticulas "flutuando" em suspensao no ar fazendo movimentos aleatorios. Vulgarmente confunde-se com poeira, entretanto deve-se notar que o ar (o fluido em questao) que pratica o movimento browniano e nao as particulas (ou macromoleculas, neste caso poeira) que estao naquele. ^{[ 1 ]}

Ha um padrao pouco explicito em alguns casos deste movimento aleatorio que o classifica como um movimento fractal , pois descreve um padrao dinamico bem definido. Quem primeiro percebeu isso foi Benoit Mandelbrot , matematico frances .

Esse movimento esta diretamente ligado com muitas reacoes em nivel celular, como a difusao, a formacao de proteinas , a sintese de ATP e o transporte intracelular de moleculas .

Hoje em dia, o movimento browniano serve de modelo na descricao de flutuacoes que ocorrem nos mais diversos e inesperados tipos de sistemas. Por exemplo, praticamente a mesma descricao e o mesmo tratamento matematico de Einstein podem ser adaptados para descrever flutuacoes de precos de mercadorias, a condutividade eletrica em metais e a ocorrencia de cheias nos rios. ^{[ 3 ]}

Fisicos atualmente estudam tal movimento em relacao a Teoria do Caos .

Breve Historia [ editar | editar codigo-fonte ]

O poema didatico latino De rerum natura (Sobre a natureza das coisas), escrito por Tito Lucrecio Caro cita:

Os atomos movem-se num infinito vazio.

O universo e composto de atomos e vazio, nada mais.

Devido a sermos compostos de uma sopa de atomos em constante movimento[...].

As formas de vida neste mundo e nos outros estao em constante movimento, incrementando a potencia de umas formas e diminuindo a de outras.

Os sentimentos percebem as colisoes macroscopicas e interaccoes dos corpos[...]Albert Einstein.

Demonstrando algum conhecimento das sociedades antigas sobre como choques de particulas geram os varios fenomenos que sao citados. E de se observar que na epoca em questao nao havia aceitacao e nem entendimento unanime sobre a existencia de atomos e outros componentes da materia. A disputa atomica comecou com Democrito e Anaxagoras . Os filosofos se opunham as teorias atomicas, distinguidos pela questao da gota d´agua, por exemplo, que deve se dividir repetidamente sem limite, com cada subdivisao preservando as propriedades da original. A escola atomica de Democrito defendia que as subdivisoes nao podiam continuar indefinidamente. A doutrina da homogeneidade seguida por Anaxagoras defende que a divisao da gota pode continuar sem termino, porque o tamanho do corpo nao reflete a natureza da substancia.

Descoberta do Movimento Browniano [ editar | editar codigo-fonte ]

Em 1827, ao olhar atraves de um microscopio particulas encontradas em graos de polen na agua,o biologo Robert Brown observou que as particulas se moviam atraves da agua, mas nao foi capaz de determinar os mecanismos que causaram este movimento. Assim, foi o primeiro a observar cientificamente o movimento que achou se tratar de uma nova forma de vida, pois ainda nao se tinha completa ciencia da existencia de moleculas, e as particulas pareciam descrever movimentos por vontade propria.

Jan Ingenhousz tambem fez algumas observacoes do movimento irregular de poeira de carbono em alcool em 1765. Porem, a primeira pessoa a descrever a matematica por tras do movimento Browniano foi Thorvald N. Thiele em 1880 em um artigo no metodo dos menores quadrados. Isto foi seguido independentemente por Louis Bachelier em 1900 em sua tese de PhD "A Teoria da Especulacao".

Atomos e moleculas , posteriormente foram teorizados como os constituintes da materia e, muitas decadas depois, Albert Einstein publicou um artigo em 1905 que explicava em detalhes precisos como o movimento que Brown tinha observado era o resultado do polen sendo movido por moleculas de agua individuais. Esta explicacao deste fenomeno de transporte serviu como a confirmacao definitiva de que atomos e moleculas realmente existem, e foi ainda verificada experimentalmente por Jean Baptiste Perrin , em 1908. Perrin foi agraciado com o Premio Nobel de Fisica em 1926 "por seu trabalho sobre a estrutura descontinua da materia" (Einstein tinha recebido o premio cinco anos antes "por seus servicos a fisica teorica", com citacao especifica de uma pesquisa diferente ). Sendo entao que a direcao da forca de bombardeamento atomico esta constantemente mudando, e em diferentes momentos da particula e atingido mais de um lado do que o outro, levando a natureza aparentemente aleatoria do movimento.

Resultados fisicos posteriores [ editar | editar codigo-fonte ]

Theodor Svedberg fez importantes demonstracoes do movimento Browniano em coloides e Felix Ehrenhaft , em particulas de prata no ar.
Jean Perrin realizou experimentos para testar os novos modelos matematicos e seus resultados publicados finalmente colocaram um fim na disputa de dois mil anos sobre a existencia dos atomos e moleculas.E, por esses trabalhos, ele foi agraciado com o premio Nobel de Fisica de 1926.

Alguns anos depois do trabalho de Einstein, o matematico Norbert Wiener provou que a trajetoria browniana tem comprimento infinito entre dois pontos quaisquer. O caminho tracado pela particula e tao demorado que, se houvesse um tempo infinitamente longo, ela percorreria todo o plano, sem deixar de passar por nenhum ponto. Tecnicamente se diz que, contrariando as aparencias, o caminho percorrido pela particula browniana nao e uma linha (com dimensao 1), mas e uma superficie (com dimensao 2)! E tem mais: Nao pense que a trajetoria da particula browniana parece ser irregular porque o microscopio nao tem um aumento suficiente para mostrar os detalhes da curva. Nada disso. Com um microscopio mais potente veriamos mais detalhes, realmente, mas a curva seria tao angulosa e irregular quanto antes ^{[ 4 ]} .

Outras Pesquisas [ editar | editar codigo-fonte ]

Outro frances, Louis Bachelier, em sua tese de doutoramento apresentada em 1900, cinco anos antes do artigo de Einstein, desenvolveu praticamente toda a teoria do movimento aleatorio, obtendo expressoes semelhantes as que seriam depois obtidas por Einstein. No entanto, Bachelier nao descrevia um sistema fisico, como particulas suspensas em agua, mas as flutuacoes das acoes de uma bolsa de valores. Por essa razao, seus resultados passaram inteiramente despercebidos pelo,s fisicos da epoca. Hoje, sabe-se que o tratamento teorico dessas flutuacoes serve para explicar inumeros fenomenos que ocorrem em areas completamente distintas, como a fisica, a biologia, a economia e as ciencias politicas. A observacao aparentemente inocente de Robert Brown revelou-se muito mais importante do que parecia do que quando foi relatada pela primeira vez. ^{[ 5 ]}

Movimento Browniano na Fisica [ editar | editar codigo-fonte ]

A primeira teoria do Movimento Browniano na Fisica foi publicada por Einstein em sua tese de doutoramento no ano de 1905, publicada em " Annalen der Physik ". Inicialmente, Einstein analisou as equacoes de Navier-Stokes para o escoamento de um fluido incompressivel, obtendo: ^{[ 6 ]}

                                                         ${\displaystyle \eta *=\eta (1+\phi )}$

Onde,

${\displaystyle \eta *}$ = Viscosidade efetiva na presenca de soluto;

${\displaystyle \eta }$ = Viscosidade do solvente puro;

${\displaystyle \phi }$ = Parte do volume total que e ocupada pelo soluto.

Assim, com base em grandezas conhecidas, como a massa molar e a densidade, tem - se que:

                                                        ${\displaystyle \phi ={\frac {4}{3}}\pi (a^{3})((\rho N_{A})/m)}$

Desse modo, as unicas incognitas sao o raio da particula ( ${\displaystyle a}$) e o Numero de Avogrado ( ${\displaystyle N_{A}}$). O cientista buscou ainda outro modo de relacionar ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle N_{A}}$, obtendo um resultado matematico em que relaciona a difusao (D) com a temperatura e a viscosidade do fluido, de forma: ^{[ 7 ]}

                                                          ${\displaystyle D={\frac {RT}{6\pi .a.n.N_{A}}}}$

Onde,

D = Coeficiente de Difusao

R = Constante universal dos gases

T = Temperatura Termodinamica

${\displaystyle a}$ = Raio das particulas

${\displaystyle \eta }$ = Viscosidade do solvente puro

${\displaystyle N_{A}}$ = Numero de Avogadro

Por meio do Movimento Browniano, Einstein possibilitou a observacao de flutuacoes de particulas que anteriormente possuiam desvio quadratico medio muito pequeno. A base de sua teoria e tida como a semelhanca do comportamento de solucoes e do comportamento de suspensoes diluidas, onde existe uma relacao do coeficiente de difusao com a viscosidade, somado a uma deducao probabilistica da equacao de difusao. ^{[ 7 ]} Diante desses calculos, foi elaborado para o Movimento Browniano o deslocamento quadratico medio na direcao "x" e o tempo de observacao "t", tal que: ^{[ 8 ]}

                                                               ${\displaystyle <x^{2}>=2Dt}$

No caso tridimensional, devido a isotropia, temos que:

                                                      ${\displaystyle <x^{2}>=<y^{2}>=<z^{2}>={\frac {1}{3}}<r^{2}>}$

                                                               ${\displaystyle <r^{2}>=6Dt}$

Alguns anos apos as descobertas de Einstein, em 1908, Paul Langevin, assim como outros cientistas, buscou a generalizacao das formulas ja criadas. Assim, Langevin definiu que o Movimento Browniano de uma particula que esteja fora de um campo de forca conservativo pode ser escrito como uma equacao diferencial, sendo: ^{[ 9 ]}

                                                               ${\displaystyle {\operatorname {d} \!v \over \operatorname {d} \!t}=-\eta v+\xi (t)}$

Onde,

${\displaystyle \eta }$ = Viscosidade do meio;

${\displaystyle v}$ = Velocidade da particula;

${\displaystyle \xi (t)}$ = Forca aleatoria.

Vale ressaltar que ${\displaystyle \xi (t)}$ e uma forca que mantem a agitacao das particulas em suspensao, sendo atribuida a forca gerada pelas moleculas do fluido nas particulas suspensas.

Langevin demonstrou que a variancia da velocidade e dada por:

                                                         ${\displaystyle <v^{2}>=(\Gamma /2\eta )(1-e^{-2\eta t})}$

Onde,

${\displaystyle \Gamma }$= Constante a ser calculada;

${\displaystyle \eta }$ = Viscosidade do meio;

${\displaystyle t}$= Tempo.

Desse modo, para tempo longos, a funcao exponencial tende a zero, assim:

                                                              ${\displaystyle <v^{2}>={\frac {\Gamma }{2\eta }}}$

Levando em conta fatores como a energia cinetica media das particulas, Langevin demonstra que:

                                                              ${\displaystyle \Gamma =\left({\frac {2\eta k_{B}T}{m}}\right)}$

Onde,

${\displaystyle K_{B}}$ = Constante de Boltzmann;

T = Temperatura do meio externo.

Dessa maneira, para tempos suficientemente longos, a teoria de Langevin e equivalente as propostas de Einstein sobre o Movimento Browniano.

Analogia do Marinheiro bebado [ editar | editar codigo-fonte ]

Uma maneira simples de compreender o processo de difusao do Movimento Browniano e o passeio ao acaso em uma dimensao, que pode ser exemplificado pelo "problema do marinheiro bebado".

Um marinheiro bebado andando em linha reta, no eixo X, partindo de um poste da sempre passos do mesmo tamanho. Tendo a possibilidade de caminhar para frente ou para tras. Qual sera a sua distancia do poste apos N passos?

Sendo ${\displaystyle x_{n}}$ a posicao apos n passos. temos entao:

${\displaystyle x_{2}=x_{1}\pm 1{\begin{cases}<x_{2}>=0\\x_{2}^{2}=<x_{1}^{2}>+l^{2}\pm 2<x_{1}>l=2l^{2}\end{cases}}}$

${\displaystyle x_{n}=x_{n-1}\pm 1{\begin{cases}<x_{n}>=0\\x_{n}^{2}=<x_{n-1}^{2}>+l^{2}\pm 2<x_{n-1}>l\end{cases}}}$

${\displaystyle \therefore <x_{n}^{2}>=<x_{n-1}^{2}+l^{2}=<x_{n-2}^{2}>+2l^{2}=...=nl^{2}}$

O que resulta em:

${\displaystyle <x_{N}>=0}$, mas ${\displaystyle <x_{n}^{2}>=nl^{2}}$

ou seja:

${\displaystyle x_{N_{qm}}={\sqrt {<x_{N}^{2}>}}={\sqrt {Nl}}}$

Sendo:

N - o numero de passos dados

l - o tamanho dos passos

Exemplo Biofisico : A saida estreita [ editar | editar codigo-fonte ]

O problema da saida estreita (ou da janela estreita) e um problema da fisica, aplicado a biologia ou a biologia celular, aonde uma particula Browniana (ion, molecula ou proteina), esta confinada num dominio fechado (ou dentro de uma celula) por uma membrana refletiva (membrana plasmatica), exceto por uma pequena janela pela qual ela pode sair. O problema resume-se em calcular o tempo medio para que ela escape. Sendo que este tempo e influenciado pelo tamanho da janela, velocidade da particula e afins. ^{[ 10 ]}

Gases [ editar | editar codigo-fonte ]

Em sistemas gasosos, ocorre a presenca de movimento browniano. Na realidade um fluido puro apresenta movimento browniano entre suas particulas. Quando se adiciona qualquer impureza esta pode apresentar movimento browniano com suas particulas e com as do fluido, representando assim um complexo estudo probabilistico. ^{[ 11 ]}

Referencias