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Em Matematica , a media harmonica ^{( portugues brasileiro )} ou media harmonica ^{( portugues europeu )} (tambem conhecida como media subcontraria ) e um tipo de media que e geralmente utilizada em situacoes nas quais e desejada a media entre duas ou mais taxas .

A media harmonica (geralmente representada por ${\displaystyle {\bar {h}}}$), dos numeros reais positivos ${\displaystyle x_{1},\ x_{2},\ ...\ ,\ x_{n}>0}$ e definida como a razao entre o numero de elementos e a soma do inverso desses elementos, como segue:

Para ${\displaystyle n>2}$, na equacao acima, e mais aparente que a media harmonica esta relacionada com a media aritmetica e a media geometrica .

Equivalentemente, a media harmonica e a reciproca da media aritmetica dos reciprocos. Por exemplo, a media harmonica de 1, 2 e 4 e

Relacoes com outras medias [ editar | editar codigo-fonte ]

A media harmonica e uma das tres medias de Pitagoras . Para todos os conjuntos de dados positivos que contem, pelo menos um par de valores distintos, a media harmonica e sempre a minima das tres medias, enquanto que a media aritmetica e sempre a maior das tres e a media geometrica esta sempre no meio. Se todos os valores de um conjunto de dados nao vazio sao iguais, as tres medias sao sempre iguais umas as outras. Por exemplo, as medias harmonica, geometrica e aritmetica de {2, 2, 2} sao todas 2.

A media harmonica e o caso especial M ₋₁ da media potencia .

Uma vez que a media harmonica de uma lista de numeros tende para o minimo dos elementos da lista, ela tende (em comparacao com a media aritmetica) a mitigar o impacto de grandes valores atipicos e agravar o impacto das pequenas.

A media aritmetica e muitas vezes utilizada erroneamente em locais que exigem a media harmonica. ^{[ 1 ]} Um exemplo e o calculo da velocidade media em um percurso de ida e volta em uma mesma via, em que a ida e percorrida a 60 km/h e a volta a 40 km/h a media aritmetica de 50 esta incorreta. A velocidade media no percurso total e a media harmonica de 40 e 60, ou seja 48 km/h. Isto se deve ao fato de que, como os dois trechos tem o mesmo comprimento, quanto menor for a velocidade, mais do tempo total e despendido aquela velocidade e, entao, ela tem um peso maior na composicao da velocidade media.

Se um conjunto de numeros nao-identicos e submetido a um "espalhamento" que preserve a media, ou seja, dois ou mais elementos do conjunto sao "afastados" do outro, deixando a media aritmetica inalterada, a media harmonica sempre diminui. ^{[ 2 ]}

Media harmonica ponderada [ editar | editar codigo-fonte ]

Se um conjunto de pesos ${\displaystyle w_{1}}$, ..., ${\displaystyle w_{n}}$ e associada ao conjunto de dados ${\displaystyle x_{1}}$, ..., ${\displaystyle x_{n}}$, a media harmonica ponderada e definida por

A media harmonica, tal como definido e o caso especial em que todos os pesos sao iguais a 1, e e equivalente a qualquer media harmonica ponderada em que todos os pesos sao iguais.

Exemplos [ editar | editar codigo-fonte ]

Na fisica [ editar | editar codigo-fonte ]

Em determinadas situacoes, especialmente aquelas envolvem taxas , a media harmonica fornece a verdadeira media . Por exemplo, se um veiculo se desloca a uma certa distancia, a uma velocidade x (por exemplo, 60 km por hora) e, em seguida, a mesma distancia novamente a uma velocidade y (por exemplo, 40 km por hora), em seguida, a sua velocidade media e a media harmonica dos x e y (48 quilometros por hora), e seu tempo total de viagem e o mesmo como se tivesse viajado toda a distancia com a velocidade media. No entanto, se o veiculo se desloca por uma certa quantidade de tempo a uma velocidade x e em seguida a mesma quantidade de tempo, a uma velocidade y , a sua velocidade media e a media aritmetica dos x e y , o que no exemplo acima e de 50 quilometros por hora.

O mesmo principio aplica-se a mais de dois segmentos: dada uma serie de sub-viagens em velocidades diferentes, se cada sub-viagem cobre a mesma distancia , entao a velocidade media e a media harmonica de todas as velocidades das sub-viagens, e se cada sub-viagem leva a mesma quantidade de tempo , entao a velocidade media e a media aritmetica de todas as velocidades das sub-viagens. (Se nao for o caso, em seguida, uma media harmonica ponderada ou media aritmetica ponderada e necessaria.) Da mesma forma, se ligarmos dois eletricos resistentes em paralelo, tendo uma resistencia x (por exemplo, 60 Ω ) e uma resistencia y (por exemplo 40Ω), em seguida, o efeito e o mesmo que se tivesse usado dois resistores com a mesma resistencia, tanto iguais para a media harmonica de x e y (48Ω): a resistencia equivalente em ambos os casos e 24Ω (metade da media harmonica). No entanto, se um conecta os resistores em serie, entao a resistencia media e a media aritmetica de x e y (com resistencia total igual a soma de x e y). E, tal como com o exemplo anterior, o mesmo principio aplica-se quando mais de duas resistencias sao ligados, desde que todos sao em paralelo ou em serie.

Em outras ciencias [ editar | editar codigo-fonte ]

Em ciencia da computacao , especificamente recuperacao de informacao e aprendizado de maquina , a media harmonica da precision e a recall e frequentemente utilizado como uma pontuacao de desempenho agregado para a avaliacao de algoritmos e sistemas: o F-contagem (ou F-medida).

Uma consequencia interessante surge da algebra basica em problemas de trabalhar em conjunto. Como um exemplo, se uma bomba alimentada com gas pode escoar uma piscina em 4 horas e uma alimentada por bateria pode drenar a mesma piscina em seis horas, entao ambas as bombas vao demorar (6 · 4)/(6 + 4), que e igual a 2.4 horas, para drenar a piscina juntos. Curiosamente, esta e a metade da media harmonica de 6 e 4. Em hidrologia a media harmonica e utilizado para media de condutividade hidraulica valores de fluxo que e perpendicular as camadas (por exemplo, geologica ou solo) enquanto que o fluxo paralelo de camadas utiliza a media aritmetica. Esta diferenca aparente em media e explicada pelo fato que hidrologia utiliza condutividade, que e o inverso da resistividade.

Em sabermetria (estatisticas de beisebol que medem a atividade do jogo), o numero da potencia velocidade de um jogador e a media harmonica de sua corrida de casa e base roubada totais. Em genetica populacional a media harmonica e usada para calcular os efeitos das flutuacoes no tamanho da geracao sobre a populacao reprodutora eficaz. Isto e, para ter em conta o fato de que uma pequena geracao e eficaz como um gargalo e significa que um numero muito pequeno de individuos estao a contribuir desproporcionalmente para o conjunto de genes , que podem resultar em niveis mais elevados de consanguinidade .

Ao considerar a economia de combustivel em automoveis duas medidas sao comumente usados - milhas por galao (mpg), e litros por 100 km. Como as dimensoes destas quantidades sao o inverso do outro (um e a distancia por unidade de volume, e o outro o volume por outra distancia) ao tirar o valor medio de economia de combustivel de uma variedade de veiculos de uma medida produzira a media harmonica dos outros - ou seja, converter o valor medio de economia de combustivel, expresso em litros por 100 km para milhas por galao ira produzir a media harmonica da economia de combustivel, expresso em milhas por galao.

Em financas [ editar | editar codigo-fonte ]

A media harmonica e o metodo preferivel para a media dos multiplos, tais como a relacao preco/ganho , em que o preco e no numerador. Se esses indices sao calculados usando uma media aritmetica (um erro comum), os pontos de dados altas sao dadas maior peso do que pontos de dados baixos. A media harmonica, por outro lado, da um peso igual para cada ponto de dados. ^{[ 3 ]}

Na geometria [ editar | editar codigo-fonte ]

Em todo triangulo , o raio da circunferencia inscrita e um terco a media harmonica dos altitudes . Para qualquer ponto P sobre o arco menor BC da circunferencia de um triangulo equilatero ABC, com distancias de q e t de B e C, respectivamente, e com a intersecao de PA e BC estar a uma distancia y do ponto P, temos que y e metade da media harmonica de q e t . ^{[ 4 ]} Em um triangulo retangulo com a e b e altitude h da hipotenusa ao angulo direito, h ² e a metade da media harmonica de a ² e b ² . ^{[ 5 ] [ 6 ]} Deixa t e s ( t > s ) ser os lados dos dois quadrados inscritos em um triangulo retangulo com hipotenusa c . Em seguida, s ² e igual a metade da media harmonica de c ² e t ² . Um trapezio tem vertices A, B, C, e D em sequencia e com lados paralelos AB e CD. Seja E o ponto de interseccao das diagonais , e seja F do lado DA e G do lado BC tal que FEG e paralela a AB e CD. Entao FG e a media harmonica de AB e DC. (Isso e demonstravel com triangulos semelhantes.)

No problema das escadas cruzadas , duas escadas em posicoes opostas atraves de um beco, cada um com os pes na base de uma parede lateral, com um encostado a uma parede na altura A e o outro encostado na parede oposta a altura B , como mostrado. As escadas cruzadas a uma altura de h acima do chao do beco. Entao, h e a metade a media harmonica de A e B . Este resultado ainda mantem se as paredes estao inclinadas, mas ainda paralelas e as "alturas" A , B e h sao medidos como distancias do chao ao longo de linhas paralelas as paredes.

Em uma elipse , o semi-latus rectum (a distancia a partir de um foco de elipse ao longo de uma linha paralela ao eixo menor) e a media harmonica das distancias minima e maxima a partir de um foco de elipse.

Em trigonometria [ editar | editar codigo-fonte ]

No caso do arco duplo da tangente, se a tangente de um angulo A e dado como a / b , em seguida, a tangente de 2 A e o produto de (1) a media harmonica do numerador e denominador de tan A e (2) o reciproco de (o denominador menos o numerador de tan A ).

Em geral, a formula de duplo angulo pode ser escrita como

${\displaystyle \tan 2A={\frac {2ab}{a+b}}*{\frac {1}{b-a}}}$

se ${\displaystyle \tan A={\frac {a}{b}}}$ e ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sao numeros reais.

Por exemplo, se

${\displaystyle \tan A={\frac {3}{7}},}$

em seguida, a forma mais familiar da formula de duplo angulo e

${\displaystyle \tan 2A={\frac {2*{\frac {3}{7}}}{1-({\frac {3}{7}})^{2}}}={\frac {21}{20}};}$

mas esta tambem pode ser escrita como

${\displaystyle {\frac {2*3*7}{3+7}}*{\frac {1}{7-3}}={\frac {21}{20}}.}$

Media harmonica de dois numeros [ editar | editar codigo-fonte ]

Para o caso especial de apenas dois numeros ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$, a media harmonica pode ser escrita

${\displaystyle H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}.}$

Neste caso especial, a media harmonica esta relacionada com a media aritmetica ${\displaystyle A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$ e a media geometrica ${\displaystyle G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},}$ by

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}.}$

Entao ${\displaystyle G={\sqrt {AH}}}$, significa que a media geometrica dos dois numeros e igual a media geometrica da media aritmetica e harmonica.

Como observado acima, a relacao entre as tres medias de Pitagoras nao esta limitado a n e igual a 1 ou 2, existe uma relacao para todos os n . No entanto, deve notar-se que, para n igual a 1, todas as medias sao iguais e para n igual a 2, temos a relacao entre as medias de cima. Para arbitraria n ≥ 2 que pode generalizar esta formula, como acima referido, por interpretacao da terceira equacao para a media harmonica de modo diferente. A relacao generalizada ja foi explicado acima. Se observar com cuidado a terceira equacao ninguem vai notar que tambem funciona para n = 1. Ou seja, ele preve a equivalencia entre as medias harmonicas e geometricas, mas fica aquem por nao prever a equivalencia entre as medias harmonicas e aritmeticas.

A formula geral, que pode ser derivada a partir da terceira para a formula media harmonica pela releitura, como explicado em relacao com as outras medias, e

${\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {(G(x_{1},\ldots ,x_{n}))^{n}}{A(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\ldots ,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1})}}={\frac {(G(x_{1},\ldots ,x_{n}))^{n}}{A\left({\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}}{x_{1}}},{\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}}{x_{2}}},\ldots ,{\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}}{x_{n}}}\right)}}.}$

Observe que para ${\displaystyle n=2}$ nos temos:

${\displaystyle H(x_{1},x_{2})={\frac {(G(x_{1},x_{2}))^{2}}{A(x_{2},x_{1})}}={\frac {(G(x_{2},x_{1}))^{2}}{A(x_{2},x_{1})}}}$

onde foi utilizado o facto de que a media aritmetica avalia o mesmo numero independente da ordem dos termos. Esta equacao pode ser reduzida para a equacao original se reinterpretar este resultado em termos dos proprios operadores. Se fizermos isso nos temos a equacao simbolica

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}}$

porque cada funcao foi avaliada em

${\displaystyle (x_{1},x_{2}).}$

Veja tambem [ editar | editar codigo-fonte ]

• Media generalizada
• Numeros harmonicos
• Taxa (matematica)
• Media aritmetica ponderada

Referencias [ editar | editar codigo-fonte ]

Ligacoes externas [ editar | editar codigo-fonte ]

• Weisstein, Eric W. ≪Harmonic Mean≫ (em ingles). MathWorld  
• Averages, Arithmetic and Harmonic Means at cut-the-knot