Na matematica , a media geometrica de um conjunto de numeros positivos e definida como o produto de todos os membros do conjunto elevado ao inverso do numero de membros. Indica a tendencia central ou o valor tipico de um conjunto de numeros usando o produto dos seus valores (diferente da media aritmetica , que usa a soma dos valores). A media geometrica e definida como n-esima raiz (onde n e a quantidade de termos) da multiplicacao dos termos.

Por exemplo, a media geometrica de dois numeros, neste caso 2 e 8, e apenas a raiz quadrada do produto entre 2 e 8; isto e: ${\displaystyle {\sqrt {2\cdot 8}}=4}$. Outro exemplo: a media geometrica dos numeros 4, 1, e 1/32 e definida da seguinte forma: raiz cubica de seu produto (1/8), que e 1/2; ou seja: ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot 1/32}}=1/2}$.

A media geometrica e frequentemente utilizada quando comparamos diferentes itens ? encontrando uma unica "figura representativa" para esses itens ? quando cada um desses itens possuem multiplas propriedades que possuem diferentes escalas numericas. Por exemplo, a media geometrica pode nos dar uma "media" significativa para comparar duas companhias que estao sendo classificadas numa escala de 0 a 5 para suas sustentabilidades ambientais e sendo classificadas de 0 a 100 para suas viabilidades financeiras. Se a media aritmetica fosse usada em vez da media geometrica, a viabilidade financeira pesaria mais pois seu alcance numerico e grande, logo uma pequena mudanca percentual na classificacao financeira (por exemplo: uma mudanca de 80 para 90) faria uma grande diferenca na media aritmetica do que uma grande diferenca percentual na classificacao da sustentabilidade ambiental (por exemplo uma mudanca de 2 para 5 na escala). O uso da media geometrica normaliza os alcances que podem ser alcancados, entao nenhum alcance dominara os pesos, e uma dada mudanca percentual em qualquer das propriedades possui o mesmo efeito na media geometrica. Concluimos entao que uma mudanca de 20% na sustentabilidade ambiental (de 4 para 4,8 na classificacao) possuira o mesmo efeito na media geometrica que uma mudanca de 20% na viabilidade financeira (de 60 para 72 na classificacao).

A media geometrica pode ser entendida em termos da geometria . A media geometrica de dois numeros, ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$, e o tamanho do lado de um quadrado cuja area e igual a area de um retangulo com lados de tamanho ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$. Similarmente, a media geometrica de tres numeros, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, e ${\displaystyle c}$, e o tamanho do lado de um cubo cujo volume e igual ao volume de um paralelepipedo retangulo com lados de tamanho ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, e ${\displaystyle c}$.

A media geometrica se aplica apenas a numeros positivos a fim de evitar o calculo do produto de um numero negativo que poderia resultar em numeros imaginarios , mas tambem para satisfazer certas propriedades sobre medias, o que e explicado mais tarde nesse artigo. Note que a definicao e ambigua se consideramos a possibilidade de um dos termos ser zero. E tambem usado para um conjunto de numeros cujos valores sao destinados a serem multiplicados ou sao exponenciais na natureza, assim como os dados do crescimento da populacao humana ou avaliacoes de um investimento financeiro.

A media geometrica e tambem uma das tres medias classicas de Pitagoras , junta com a mencionada media aritmetica e a media harmonica . Para todos os conjuntos de dados positivos contendo ao menos um par de valores diferentes, a media harmonica sempre sera a menor dentre as tres medias, enquanto a arimetica sempre sera a maior das tres e a geometrica fica entre as duas. (veja tambem Desigualdade das medias .)

Calculo [ editar | editar codigo-fonte ]

A media geometrica de um conjunto de dados ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}}$ e dada a seguinte forma:

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{1/n}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}.}$

A media geometrica de um conjunto de dados e menor que o conjunto de dados media aritmetica ao menos que todos os membros do conjunto de dados sejam iguais, o que nesse caso a media geometrica e aritmetica sao iguais. Isso possibilita a definicao da media aritmetica-geometrica , uma combinacao das duas que sempre se encontra no meio.

A media geometrica tambem e a media aritmetica-harmonica no sentido de que se duas sequencias ( ${\displaystyle a_{n}}$) e( ${\displaystyle h_{n}}$) sao definidas:

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},\quad a_{0}=x}$

e

${\displaystyle h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}},\quad h_{0}=y}$

onde ${\displaystyle h_{n+1}}$ e a media harmonica dos valores anteriores das duas sequencias, entao ${\displaystyle a_{n}}$ e ${\displaystyle h_{n}}$ irao convergir para a media geometrica de ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$.

Isto pode ser visto facilmente pelo fato de que sequencias convergem para um limite comum (que pode ser visto no Teorema de Bolzano-Weierstrass ) e o fato de que a media geometrica e preservada:

${\displaystyle {\sqrt {a_{i}h_{i}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{\frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}a_{i}}}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{{\frac {1}{a_{i}}}+{\frac {1}{h_{i}}}}}}={\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}}$

Substituindo a media aritmetica e a harmonica por um par de medias generalizadas de opostos, exponenciacoes finitas acarretam o mesmo resultado.

Relacao da media aritmetica dos logaritmos [ editar | editar codigo-fonte ]

Usando identidades de logaritmos para transformar a formula, a multiplicacao pode ser expressa como soma e a potencia como uma suma.

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{1/n}=\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\right]}$

Isto e algumas vezes chamado de media logaritmica . E simples computar a media aritmetica dos valores do logaritmo transformado de ${\displaystyle a_{i}}$ (i.e., a aritmetica significa a escala logaritmica) e quando usada a exponenciacao para retornar a computacao da escala original, i.e, e a media-f generalizada com ${\displaystyle f(x)=\log x}$. Por exemplo, a media geometrica de 2 e 8 pode ser calculada da seguinte forma:

${\displaystyle b^{(\log _{b}(2)+\log _{b}(8))/2}=4,}$

onde ${\displaystyle b}$ e qualquer base do logaritmo (geralmente 2, ${\displaystyle e}$ ou 10).

Geralmente se utilizam a formula na direita (acima) como alternativa para implementacao nas linguagens computacionais: overlfows ou underflows sao menos provaveis de acontecer quando comparados com o calculo de um conjunto de numeros devido ao calculo do logaritmo.

Relacao entre a media aritmetica e a media-preservada de propagacao [ editar | editar codigo-fonte ]

Se um conjunto de numeros nao identicos e submetido a media-preservada de propagacao - ou seja, dois ou mais elementos de um conjunto sao "propagados a parte" para cada um dos outros enquanto deixam a media aritmetica nao modificada - entao a media geometrica sempre decresce. ^{[ 1 ]}

Computacao em um tempo constante [ editar | editar codigo-fonte ]

Nos casos onde a media geometrica esta sendo usada para determinar a media da taxa de crescimento de alguma quantidade, e os valores inicias e finais ${\displaystyle a_{0}}$ e ${\displaystyle a_{n}}$ desta quantidade sao conhecidos, o produto da taxa de crescimento medida a cada passo nao precisa ser calculado. Em vez disso, a media geometrica e simplesmente:

${\displaystyle \left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}},}$

onde ${\displaystyle n}$ e o numero de passos do estado inicial para o estado final.

Se os valores sao ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$, entao a taxa de crescimento medida entre ${\displaystyle a_{k}}$ e ${\displaystyle a_{k+1}}$ e ${\displaystyle a_{k+1}/a_{k}}$. A media geometrica dessas taxas de crescimento e apenas: ${\displaystyle \left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}}$

Propriedades [ editar | editar codigo-fonte ]

A propriedade fundamental da media geometrica, que pode ser comprovada para ser falsa em qualquer outra media e:

${\displaystyle {\mathit {GM}}\left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {{\mathit {GM}}(X_{i})}{{\mathit {GM}}(Y_{i})}}}$

Isto faz a media geometrica a unica media correta quando resulta em media normalizada , este e o resultado que esta presente em relacoes com os valores de referencia. ^{[ 2 ]} Este e o caso quando ao apresentar o desempenho do computador com respeito ao computador referente, ou quando computamos uma unico indice de media de raiz severamente heterogenea (por exemplo a expectativa de vida, anos de educacao e mortalidade infantil). Nesse cenario, usar a media aritmetica ou harmonica poderia mudar o ranking dos resultados dependendo do que for usado como referencia. Por exemplo, pegue a seguinte comparacao de execucao do tempo de programas de computador:

	Computador A	Computador B	Computador C
Programa 1	1	10	20
Programa 2	1000	100	20
Media aritmetica	500,5	55	20
Media geometrica	31,622 . . .	31,622 . . .	20

A media aritmetica e a geometrica concordam que o computador C e mais rapido. De qualquer modo, por apresentar valores apropriadamente normalizado e usando a media aritmetica, nos podemos qualquer um dos outros dois computadores sendo o mais rapido. Normalizando pelos resultados de A como o computador mais rapido de acordo com a media aritmetica, temos:

	Computador A	Computador B	Computador C
Programa 1	1	10	20
Programa 2	1	0,1	0,02
Media aritmetica	1	5,05	10.01
Media geometrica	1	1	0,632 . . .

enquanto normalizando pelos resultados de B como o computador mais rapido pela media aritmetica temos:

	Computador A	Computador B	Computador C
Programa 1	0.1	1	2
Programa 2	10	1	0,2
Media aritmetica	5,05	1	1.1
Media Geometrica	1	1	0,632

Em todos os casos, o ranking dado pela media geometrica continua o mesmo que o obtido sem os valores normalizados.

Aplicacoes [ editar | editar codigo-fonte ]

Crescimento proporcional [ editar | editar codigo-fonte ]

A media geometrica e mais apropriada que a media aritmetica para descrever crescimentos proporcionais, tanto crescimento exponencial (proporcao constante de crescimento) e crescimento variado; nos negocios a media geometrica da taxa de crescimento e conhecida como composicao anual da taxa crescimento (CAGR). A media geometrica do crescimento sobre periodos acarreta os equivalentes crescimentos constantes da taxa que poderiam acarretar a mesma quantia.

Suponha que uma laranjeira acarreta 100 laranjas por ano e entao 180, 210 e 300 seguindo os anos, entao o crescimento e 80%, 16.66% e 42,8571% para cada ano respectivamente. Usando a media aritmetica calculamos a uma media linear do crescimento de 46,5079% (80% + 16,6666% + 42,85261% dividido por 3). Todavia, se nos comecarmos com 100 laranjas e tivermos um crescimento de 46,5079% cada ano, o resultado e 314 laranjas, nao 300, entao a media linear nao corresponde aos valores de crescimento em cada ano.

Em vez disso, nos podemos usar a media geometrica. Crescimento de 80% corresponde a multiplicar por 1.80, entao nos pegamos a media geometrica de 1,80, 1,16666 e 1,428571, i.e ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1,80\times 1,166666\times 1,428571}}=1,442249}$; logo a "media" do crescimento por ano e 44,2249%. Se nos comecarmos com 100 laranjas e pegarmos o numero acrescido de 44,2249% cada ano, o resultado e 300 laranjas.

Aplicacao nas ciencias sociais [ editar | editar codigo-fonte ]

Embora a media geometrica tenha sido relativamente rara na computacao da estatistica social, a partir de 2010 a Unite Nations Human desenvolveu um indice que o usa no calculo.

A media geometrica decresce o nivel de substituibilidade entre dimensoes sendo comparadas e no mesmo tempo garante que 1 porcento recusa em dizer a expectativa de vida ao nascer tem o mesmo o mesmo impacto no IDH como 1 porcento recusado na educacao ou renda. Assim, como base de comparacao de arquivos, este metodo e o mais respeitavel da inerente diference atraves das dimensoes do que uma media simples. ^{[ 3 ]}

Note que nem todos os valores usados para computar o IDH sao normalizados, alguns deles tem a forma ${\displaystyle (X-X_{\min })/(X_{\mathrm {norm} }-X_{\min })}$. Isto faz a escolha da media geometrica menos obvio do que uma poderia esperar das "Propriedades" na secao acima.

Relacoes de aspecto [ editar | editar codigo-fonte ]

A media geometrica tem sido usada na escolha de um compromisso em filme e video: dadas duas relacoes de aspecto, a media geometrica deles promovem um compromisso entre eles, distorcendo ou recortando ambos em alguns casos algum sentido igual. Concretamente, dois retangulos de iguais area (com o mesmo centro e lados paralelos) de diferentes proporcoes cruzam num retangulo cuja relacao de aspecto e a media geometrica, e o seu casco (retangulo mais pequeno que contem a ambos), tambem tem a sua razao de aspecto media geometrica .

Na escolha da 16:9 relacao de aspecto de SMPTE , balanco 2,35 e 4:3, a media geometrica ${\displaystyle {\sqrt {2,35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1,7701}$, e assim ${\displaystyle 16:9=1,77{\overline {7}}}$... foi escolhida. Isto foi descoberto empiricamente por Kerns Powers, que cortar retangulos com areas iguais e em forma-los para corresponder cada um dos formatos de imagem populares. Quando sobrepostos com os seus pontos de centro alinhado, ele descobriu que todos esses retangulos relacao de aspecto de caber dentro de um retangulo externo com uma relacao de aspecto de 1,77:1 e todos eles tambem cobriu um retangulo interno menor comum com a mesma proporcao

1,77:1. ^{[ 4 ]} O valor encontrado por Powers e exactamente a media geometrica das proporcoes extremas, 4:3 (1,33:1) e CinemaScope (2,35:1), que e coincidentemente proximo de ${\displaystyle 16:9}$ ( ${\displaystyle 1,77{\overline {7}}:1}$). Note-se que as relacoes intermedias tem nenhum efeito sobre o resultado, apenas as duas relacoes extremas.

Aplicando a mesma tecnica de media geometrica de cerca de 16:9 e 4:3 produz o 14:9 ( ${\displaystyle 1,55{\overline {5}}}$...) relacao de aspecto, que e tambem usada como compromisso entre relacoes. ^{[ 5 ]} Neste caso 14:9 e exatamente a media aritmetica de ${\displaystyle 16:9}$ e ${\displaystyle 4:3=12:9}$, desde que 14 e a media de 16 e 12, enquanto a precisa media geometrica ${\displaystyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1,5396\approx 13,8:9}$, mas os dois meios diferentes' , aritmetica e geometrica, sao aproximadamente iguais porque ambos os numeros sao suficientemente proximas uma da outra (uma diferenca de menos de 2%)

Revestimentos anti-reflexo [ editar | editar codigo-fonte ]

Em revestimentos opticos, onde a reflexao precisa ser minimizado entre dois meios de indices de refracao n ₀ e n ₂ , o indice optico refrativo n ₁ de anti-reflective coatinge dado pela media geometrica: ${\displaystyle n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}}$.

Spectral flatness [ editar | editar codigo-fonte ]

Em processamento de sinais, nivelamento espectral, uma medida de como plana ou espetado um espectro e, e definida como a relacao entre a media geometrica do espectro de potencia para a sua media aritmetica.

Geometria [ editar | editar codigo-fonte ]

No caso de um triangulo retangulo , a sua altura e o comprimento de uma linha que se estende perpendicularmente a partir da hipotenusa do seu 90 ° vertice. Imaginar que esta linha divide a hipotenusa em dois segmentos, a media geometrica destes comprimentos de segmento e o comprimento da altura.

Na elipse , o semi-eixo menor e a media geometrica da maior e menor distancia da elipse de um foco; e o semi-eixo maior da elipse representa a media geometrica da distancia a partir do centro para ambos os foco e a distancia a partir do centro para ambos os directrix .

Financial [ editar | editar codigo-fonte ]

A media geometrica foi ao longo do tempo usada para o calculo dos indices financeiros (a media e sobre os componentes do indice). Por exemplo, no passado, o indice FT 30 usou uma media geomerica. ^{[ 6 ]} E tambem usado na medida recentemente introduzido imposto de inflacao no Reino Unido e no resto da Uniao Europeia.

Como Rowley afirma, isso tem o efeito de subestimar variacoes do indice de comparacao com o uso da media aritmetica. Como explica Rowley, ha circunstancias em que este e indesejavel, por exemplo na medicao de custos de mudancas de vida, onde e indesejavel para "amortecer" grandes alteracoes em alguns dos componentes do indice.

Exemplo [ editar | editar codigo-fonte ]

Se um investimento rende 10% no primeiro ano e 20% no segundo ano, qual sera o rendimento medio desse investimento?

Seja C o capital inicial, apos esses dois anos o montante M sera igual a ${\displaystyle M=C*1,10*1,20=1,32*C}$. Se tomarmos a media aritmetica teriamos 15% como media, porem, ao calcular o montante ao final dos dois anos obteriamos ${\displaystyle M=C*1,15*1,15=1,3225*C}$, que e diferente de 1,32*C.

Por outro lado, a media geometrica entre 10% e 20% e igual a ${\displaystyle {\sqrt {1,10*1,20}}\approx 1,1489}$. Aplicando essa media ao capital inicial, temos que ${\displaystyle C*{\sqrt {1,10*1,20}}*{\sqrt {1,10*1,20}}=C*(1,10*1,20)=1,32*C}$, que e exatamente igual ao valor obtido quando aplicamos os rendimentos originais.

Veja tambem [ editar | editar codigo-fonte ]

Notas e referencias [ editar | editar codigo-fonte ]

Ligacoes externas [ editar | editar codigo-fonte ]

• Calculation of the geometric mean of two numbers in comparison to the arithmetic solution
• Arithmetic and geometric means
• When to use the geometric mean
• Practical solutions for calculating geometric mean with different kinds of data
• Geometric Mean on MathWorld
• Geometric Meaning of the Geometric Mean
• Geometric Mean Calculator for larger data sets
• Computing Congressional apportionment using Geometric Mean Congressional apportionment

• Portal de probabilidade e estatistica