Friedrich Ludwig Gottlob Frege
(
Wismar
,
8 de novembro
de
1848
?
Bad Kleinen
,
26 de julho
de
1925
) foi um
matematico
,
logico
e
filosofo
alemao
. Trabalhando na fronteira entre a
filosofia
e a
matematica
, Frege foi um dos principais criadores da
logica matematica
moderna.
Estudou na
Universidade de Jena
e na
Universidade de Gottingen
e tornou-se professor de matematica em Jena, onde lecionou inicialmente como docente e, a partir de 1896, como catedratico, onde permaneceu ate sua morte. Em 1879 publicou
Begriffsschrift
(1879) (
Ideografia
(
Ideography
) e uma traducao sugerida em carta pelo proprio autor, outra opcao seria
Notacao Conceptual
), onde, pela primeira vez, se apresentava um sistema matematico logico no sentido moderno.
Em parte incompreendido por seus contemporaneos, tanto filosofos como matematicos, Frege prosseguiu seus estudos e publicou, em 1884,
Die Grundlagen der Arithmetik
(
Os Fundamentos da
Aritmetica
), obra-prima filosofica que, no entanto, sofreu uma demolidora critica por parte de
Georg Cantor
, justamente um dos matematicos cujas ideias se aproximavam mais das suas. Em 1903 publicou o segundo volume de
Grundgesetze der Arithmetik
(
Leis basicas da Aritmetica
), em que expunha um sistema logico no qual seu contemporaneo e admirador
Bertrand Russell
encontrou uma contradicao, que ficou conhecida como o
paradoxo de Russell
. Esse episodio impactou profundamente a vida produtiva de Frege. Segundo Russell, apesar da natureza de suas descobertas marcarem epoca, sua obra permaneceu na obscuridade ate 1903, quando o proprio filosofo e matematico ingles chamou atencao para a relevancia dos escritos.
O grande contributo de Frege para a logica matematica foi a criacao de um sistema de representacao simbolica (
Begriffsschrift
, conceitografia ou ideografia) para representar formalmente a estrutura dos enunciados logicos e suas relacoes, e a contribuicao para a implementacao do calculo dos predicados. Esta parte da decomposicao funcional da estrutura interna das frases (em parte substituindo a velha dicotomia sujeito-predicado, herdada da tradicao logica
Aristotelica
, pela oposicao matematica funcao-argumento) e da articulacao do conceito de quantificacao (implicito na logica classica da generalidade), possibilitou sua manipulacao em regras de deducao formal. (As expressoes "para todo o x", "existe um x", que denotam operacoes de quantificacao sobre variaveis tem na obra de Frege uma de suas origens).
Ao contrario de
Aristoteles
, e mesmo de
George Boole
, que procuravam identificar as formas validas de argumento, e as assim chamadas "leis do pensamento", a preocupacao basica de Frege era a sistematizacao do raciocinio matematico, ou dito de outra maneira, encontrar uma caracterizacao precisa do que e uma “demonstracao matematica”. Frege havia notado que os matematicos da epoca frequentemente cometiam erros em suas demonstracoes, supondo assim que certos
teoremas
estavam demonstrados, quando na verdade nao estavam. Para corrigir isso, Frege procurou formalizar as regras de demonstracao, iniciando com regras elementares, bem simples, sobre cuja aplicacao nao houvesse duvidas. O resultado que revolucionou a logica foi o desenvolvimento do
calculo de predicados
(ou
logica de predicados
).
Segundo Frege, nomes tem tanto sentido quanto referencia (alguns nomes nao possuem referencia, mas, segundo Frege, isso e apenas um erro da linguagem ordinaria, e nao teria espaco em seu sistema linguistico ideal). A referencia de um nome e aquilo que o nome denota, e o sentido e o modo de apresentacao do objeto denotado. Frege chegou a essa conclusao ao analisar sentencas de identidade informativa, e.g A=B, onde "A" e "B" possuem uma mesma referencia, se nao existisse um sentido e os nomes apenas indicassem uma referencia, nao poderia haver diferenca nas sentencas do tipo: A=A e A=B, sendo que A=A e trivial, uma mera consequencia da lei de identidade, enquanto A=B e informativa.
Tyler Burge
, interprete de Frege, distingue tres nocoes de
sentido
na obra de Frege:
[
2
]
- O modo de apresentacao (contendo valor informativo) associado a uma expressao.
- O determinante da referencia/denotacao associada a expressao. (O sentido singulariza a referencia de um termo singular.)
- O que providencia entidades a serem denotadas em contextos obliquos.
Busto de bronze de Frege na torre de von
Wismar
Apesar de sua educacao e trabalho inicial terem sido matematicos, especialmente geometricos, o pensamento de Frege logo se transformou em logica. Sua obra
Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens
(Halle A / S: Verlag von Nebert Louis, 1879) (Notacao Conceitual: Uma Linguagem Formal, decalcada da aritmetica, do Pensamento Puro) marcou uma virada na historia da logica. O
Begriffsschrift
inovou, incluindo um tratamento rigoroso das ideias de funcoes e variaveis??. Frege queria mostrar que a matematica se desenvolve a partir da logica, mas ao faze-lo, ele desenvolveu tecnicas que o levaram muito alem da logica silogistica aristotelica e estoica proposicionais que tinham descido com ele na tradicao da logica.
Com efeito, Frege inventou a logica de predicados axiomatica, em grande parte gracas a sua invencao de variaveis ??quantificadas, que eventualmente tornou-se onipresente na matematica e na logica, e que resolveu o problema da generalidade multipla. A logica anterior tinha lidado com as constantes logicas e, ou, se ... entao ... nao, e alguns e todos, mas iteracoes destas operacoes, especialmente "alguns" e "todos", foram pouco compreendidas: mesmo a distincao entre um par de frases como "todo menino ama alguma garota" e "alguma menina e amada por todos os meninos" era capaz de ser representado so muito artificialmente, enquanto que o formalismo de Frege nao tinha dificuldade em expressar as diferentes leituras de" cada menino ama uma garota que ama algum garoto que ama uma garota" e frases semelhantes, em paralelo completo com seu tratamento de, digamos, "todo menino e tolo".
E frequentemente observado que a logica de Aristoteles nao e capaz de representar ate mesmo as inferencias mais elementares da geometria de Euclides, mas a "notacao conceitual" de Frege pode representar inferencias envolvendo afirmacoes matematicas indefinidamente complexas. A analise dos conceitos logicos e a maquinaria de formalizacao que e essencial para a
Principia Mathematica
(3 vols., 1910-1913) (por Bertrand Russell, 1872-1970, e Alfred North Whitehead, 1861-1947), a teoria das descricoes de Russell, aos teoremas de incompletude de Kurt Godel (1906-1978) , e a teoria da verdade de Alfred Tarski (1901-1983), e em ultima analise, devido a Frege. Um dos propositos declarados de Frege era isolar os principios genuinamente logicos de inferencia, de modo que na representacao adequada da prova matematica, seria sem nenhum apelo a "intuicao". Se havia um elemento intuitivo, que era para ser isolado e representado em separado como um axioma: a partir dai, a prova era para ser puramente logica e sem lacunas. Tendo exposto essa possibilidade, o proposito maior de Frege era defender a visao de que a aritmetica e um ramo da logica, uma visao conhecida como logicismo: ao contrario de geometria, aritmetica era para ser mostrada como nao ter qualquer base na "intuicao", e sem necessidade de axiomas nao-logicos. Ja em 1879, Begriffsschrift mostrou importantes teoremas preliminares, por exemplo, uma forma generalizada da lei de tricotomia, foram obtidos dentro do que Frege entendeu ser a logica pura.
Esta ideia foi formulada em termos nao-simbolico em sua Die Grundlagen der Arithmetik (1884) (Os Fundamentos da Aritmetica). Mais tarde, em seu Grundgesetze der Arithmetik (Leis Basicas da Aritmetica) (vol. 1, 1893;. Vol 2, 1903) (vol. 2 do que foi publicado, a expensas suas), Frege tentou obter, pelo uso de seu simbolismo, todas as leis da aritmetica de axiomas que ele afirmou como logicas. A maioria destes axiomas foram herdadas do seu Begriffsschrift, embora nao sem algumas mudancas significativas. O principio verdadeiramente novo foi um que ele chamou a Lei Basica V: a "extensao do valor" da funcao f (x) e a mesma que a "extensao do valor" da funcao g (x) se e somente se ∀ x [f (x) = g (x)].
Em um episodio famoso, Bertrand Russell escreveu a Frege, assim como o Vol. 2 do Grundgesetze estava prestes a ir para imprensa em 1903, mostrando que o paradoxo de Russell poderia ser derivado da Lei Basica V de Frege. E facil definir a relacao de filiacao de um conjunto ou extensao no sistema de Frege; Russell, em seguida, chamou a atencao para "o conjunto de coisas x tais que x nao e membro de x". O sistema do Grundgesetze implica que o conjunto, portanto, foi caracterizado tanto e e nao e um membro de si mesmo, e e, portanto, inconsistente. Frege escreveu um apressado Apendice de ultima hora para o Vol. 2, derivando a contradicao e propondo elimina-la, modificando a Lei Basica V. Frege abriu o Apendice com o comentario excepcionalmente sincero: "Quase nada mais infeliz pode acontecer a um escritor cientifico do que ter um dos fundamentos do seu edificio abalado apos o trabalho estar terminado. Esta foi a posicao que fui colocado por uma carta do Sr. Bertrand Russell, justamente quando a impressao deste volume estava se aproximando de sua conclusao." (Esta carta e a resposta de Frege sao traduzidas em Jean van Heijenoort 1967.)
Solucao proposta de Frege foi posteriormente demonstrada implicar que ha um so objeto no universo do discurso e, portanto, nao vale nada (na verdade, isso faria de uma contradicao no sistema de Frege se tivesse axiomatizada a ideia, fundamental para a sua discussao, que o verdadeiro e o falso sao objetos distintos, ver, por exemplo, Dummett 1973), mas o trabalho recente tem mostrado que grande parte do programa do Grundgesetze pode ser recuperado de outras maneiras:
- Lei Basica V pode ser enfraquecida de outras maneiras. A maneira mais conhecida e devido ao filosofo e matematico logico George Boolos (1940-1996), que era um especialista na obra de Frege. A "conceito" F e "pequeno" os objetos abrangidos por F nao podem ser colocados em uma correspondencia um-para-um com o universo do discurso, isto e, se: ∃ R [R e 1-para-1 e ∀ x ∃ y (xRy e Fy)]. Agora enfraquecer V para V *: um "conceito" F e um "conceito" G tem a "extensao" mesmo se e somente se nem G, nem F e pequena ou ∀ x (Fx ↔ Gx). V* e consistente se a aritmetica de segunda ordem e, e e suficiente para provar os axiomas da aritmetica de segunda ordem.
- Lei Basica V pode simplesmente ser substituida com o
Principio de Hume
, que diz que o numero de Fs e o mesmo que o numero de Gs se e somente se os Fs podem ser colocados em uma correspondencia 1-pra-1 com os Gs. Este principio, tambem e consistente se a aritmetica de segunda ordem e, e e suficiente para provar os axiomas da aritmetica de segunda ordem. Este resultado e chamado de Teorema de Frege, porque percebeu-se que na aritmetica em desenvolvimento, o uso e da Lei Basica V de Frege e restrita a uma prova do Principio de Hume; e a partir deste, por sua vez, que os principios aritmeticos sao derivados.
- Logica de Frege, agora conhecida como logica de segunda ordem, pode ser enfraquecida a chamada logica de segunda ordem predicativa. Logica de segunda ordem predicativa mais Lei Basica V e comprovadamente consistente por metodos finitisticos ou construtivos, mas pode interpretar apenas fragmentos muito fracos da aritmetica.
O trabalho de Frege na logica tinha pouca atencao internacional ate 1903, quando Russell escreveu um apendice de
The Principles of Mathematics
, afirmando suas diferencas com Frege. A notacao diagramatica que Frege tinha usado nao tinha antecedentes (e nao teve imitadores desde entao). Mais ainda, ate Russell e Whitehead Principia Mathematica (3 vols.) aparecerem em 1910-1913, a abordagem dominante para a logica matematica ainda era a de George Boole (1815-1864) e seus descendentes intelectuais, especialmente Ernst Schroder (1841-1902). As ideias logicas de Frege, no entanto, espalharam-se atraves dos escritos de seu aluno Rudolf Carnap (1891-1970) e outros admiradores, particularmente Bertrand Russell e Ludwig Wittgenstein (1889-1951).
Frege e um dos fundadores da filosofia analitica, principalmente por causa de suas contribuicoes a filosofia da linguagem, incluindo a:
- Funcao-argumento analise da proposicao;
- Distincao entre conceito e objeto (Begriff und Gegenstand);
- Principio da composicionalidade;
- Principio do contexto;
- Distincao entre o sentido e referencia (Sinn und Bedeutung) de nomes e outras expressoes, dito as vezes envolvem uma teoria de referencia mediada;
Deve ser mantido em mente que Frege foi empregado como um matematico, e nao um filosofo, e publicou seus artigos filosoficos em revistas academicas que muitas vezes eram de dificil acesso fora do mundo de lingua alema. Suas primeiras colecoes de seus escritos apareceram apenas apos a Segunda Guerra Mundial. Um volume de traducoes em Ingles dos ensaios filosoficos de Frege apareceu pela primeira vez em 1952, editado por alunos de Wittgenstein, Peter Geach (nascido em 1916) e Preto Max (1909-1988), com o apoio bibliografico de Wittgenstein (ver Geach, ed. 1975 Introducao). Apesar dos elogios generosos de Russell e Wittgenstein, Frege era pouco conhecido como filosofo durante sua vida. Suas ideias expandiram-se principalmente por aqueles que ele influenciou, como Russell, Wittgenstein e Carnap, e atraves do trabalho na logica e semantica pelos logicos poloneses.
Frege foi descrito por seus alunos como uma pessoa extremamente introvertida, raramente entrando no dialogo, na maior parte de suas palestras de frente para o quadro negro, ser espirituoso e as vezes amargamente sarcastico.
Em "Sobre o Sentido e a Referencia" (1892) Frege apresenta um paradoxo envolvendo
semantica
e
epistemologia
, e tambem uma solucao para este. O paradoxo envolve sinonimos e a possibilidade de uma pessoa
desconhecer
a relacao de
sinonimia
.
Vejamos um exemplo. Os nomes "
Cicero
" e "Tulio" designam exatamente a mesma pessoa, o filosofo e orador romano autor de
De Finibus
. Todavia, as frases "Cicero e Cicero" e "Cicero e Tulio" nao tem o mesmo valor cognitivo. "Cicero e Cicero" e uma frase desinteressante que simplesmente expressa a
identidade
de uma coisa consigo mesma (
lei de Leibniz
). "Cicero e Tulio", por outro lado, tem valor informativo. Uma pessoa que descobre que "Cicero" e "Tulio" designam a mesma coisa nao esta meramente descobrindo a relacao de identidade que uma coisa tem consigo mesma, pois isso ela ja sabia, ao menos implicitamente.
Mas, como podem as duas frases serem diferentes do ponto de vista informativo, visto que os nomes envolvidos designam a mesma coisa?
A solucao proposta por Frege para o problema consiste em articular o
significado
dos
designadores
em dois elementos, o
sentido
(Sinn)
e a
referencia
(Bedeutung)
. (Essa posicao de Frege foi um dos alvos de
Saul Kripke
em *Naming and Necessity*.)
Os nomes "Cicero" e "Tulio" tem a mesma referencia, o filosofo romano. Mas nao tem o mesmo sentido, ou valor cognitivo. E por isso que quem diz "Cicero e Tulio" nao esta dizendo algo trivial.
O assim chamado quebra-cabeca de Frege representa um dos desafios ao
millianismo
a respeito dos nomes: a posicao segundo a qual a contribuicao de um nome para o conteudo das frases em que ocorrem e seu referente.
- bibliografia de Frege traduzida para o ingles pela
Stanford Encyclopedia of Philosophy
).
- 1879.
Begriffsschrift
, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens
. Halle a. S.: Louis Nebert. Translation:
Concept Script, a formal language of pure thought modelled upon that of arithmetic
, by S. Bauer-Mengelberg in
Jean Van Heijenoort
, ed., 1967.
From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879?1931
. Harvard University Press.
- 1884.
Die Grundlagen der Arithmetik: Eine logisch-mathematische Untersuchung uber den Begriff der Zahl
. Breslau: W. Koebner. Translation:
J. L. Austin
, 1974.
The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Enquiry into the Concept of Number
, 2nd ed. Blackwell.
- 1891. "Funktion und Begriff." Translation: "Function and Concept" in Geach and Black (1980).
- 1892a. "Uber Sinn und Bedeutung" in
Zeitschrift fur Philosophie und philosophische Kritik
100:25?50. Translation: "On Sense and Reference" in Geach and Black (1980).
- 1892b. "Ueber Begriff und Gegenstand" in
Vierteljahresschrift fur wissenschaftliche Philosophie
16:192?205. Translation: "Concept and Object" in Geach and Black (1980).
- 1893.
Grundgesetze der Arithmetik, Band I
. Jena: Verlag Hermann Pohle.
Band II
, 1903.
Band I+II online
. Partial translation of volume 1: Montgomery Furth, 1964.
The Basic Laws of Arithmetic
. Univ. of California Press. Translation of selected sections from volume 2 in Geach and Black (1980). Complete translation of both volumes: Philip A. Ebert and Marcus Rossberg, 2013,
Basic Laws of Arithmetic
. Oxford University Press.
- 1904. "Was ist eine Funktion?" in Meyer, S., ed., 1904.
Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten Geburtstage, 20. Februar 1904
. Leipzig: Barth: 656?666. Translation: "What is a Function?" in Geach and Black (1980).
- 1918?1923. Peter Geach (editor):
Logical Investigations
, Blackwell, 1975.
- 1924. Gottfried Gabriel, Wolfgang Kienzler (editors):
Gottlob Freges politisches Tagebuch
. In:
Deutsche Zeitschrift fur Philosophie
, vol. 42, 1994, pp. 1057?98. Introduction by the editors on pp. 1057?66. This article has been translated into English, in:
Inquiry
, vol. 39, 1996, pp. 303?342.
- Peter Geach
and
Max Black
, eds., and trans., 1980.
Translations from the Philosophical Writings of Gottlob Frege
, 3rd ed. Blackwell (1st ed. 1952).
Referencias
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