Estatistica
Estatisticos Notacao Publicacoes de estatistica Portal Categoria
v d e

Em analise de dados , um correlograma e uma imagem da estatistica da correlacao . Em analise de series temporais , por exemplo, um correlograma, tambem conhecido como diagrama de autocorrelacao , e um diagrama das autocorrelacoes da amostra ${\displaystyle r_{h}}$ versus ${\displaystyle h}$ (os intervalos de tempo).

Se a relacao cruzada for usada, o resultado e chamado de correlograma cruzado. O correlograma e uma ferramenta comumente usado para checar a aleatoriedade de um conjunto de dados . Esta aleatoriedade e verificada ao computar autocorrelacoes para valores de dados em intervalo de tempo variantes. Em caso de aleatoriedade, tais autocorrelacoes devem ser proximas de zero para quaisquer e todas as separacoes de intervalo de tempo. Em caso de nao aleatoriedade, entao uma ou mais autocorrelacoes devem ser significantemente diferentes de zero.

Alem disso, correlogramas sao usados no estagio da identificacao de modelo para os modelos de serie temporal autorregressivos de medias moveis de Box-Jenkins. Autocorrelacoes devem ser proximas de zero para aleatoriedade. Se o analista nao verificar a aleatoriedade, entao, a validade de muitas conclusoes estatisticas se torna suspeita. O correlograma e uma forma adequada de checar tal aleatoriedade.

Por vezes, corgramas , matrizes coloridas de forcas de correlacao em analise multivariada, ^{[ 1 ]} tambem sao chamados de correlogramas. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Aplicacoes [ editar | editar codigo-fonte ]

O correlograma pode ajudar a fornecer respostas para as seguintes questoes: ^{[ 4 ]}

• Os dados sao aleatorios?
• A observacao esta relacionada a uma observacao adjacente?
• A observacao esta relacionada a uma observacao duplamente removida?
• A serie temporal observada e ruido branco ?
• A serie temporal observada e senoide ?
• A serie temporal observada e autorregressiva?
• Qual e o modelo apropriado para a serie temporal observada?
• O modelo ${\displaystyle Y={\text{constante}}+{\text{erro}}}$ e valido e suficiente?
• A formula ${\displaystyle s_{\bar {Y}}=s/{\sqrt {N}}}$ e valida?

Definicao [ editar | editar codigo-fonte ]

O estimador de covariancia nao centrada e dado pela media do produto de amostras que se encontram a distancia de ${\displaystyle h}$: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle C'(h)={\frac {1}{N(h)}}\sum _{\alpha =1}^{N(h)}[Z(x_{\alpha })Z(x_{\alpha }+h)].}$

Para obter o estimador centrado, e necessario subtrair o produto das medias das amostras que se encontrem nos pares distanciados por ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle C'(h)={\frac {1}{N(h)}}\sum _{\alpha =1}^{N(h)}[Z(x_{\alpha })Z(x_{\alpha }+h)m(x_{\alpha })m(x_{\alpha }+h)],}$

em que

${\displaystyle m(x_{\alpha })={\frac {1}{N(h)}}\sum _{\alpha =1}^{N(h)}Z(x_{\alpha })}$

e

${\displaystyle m(x_{\alpha }+h)={\frac {1}{N(h)}}\sum _{\alpha =1}^{N(h)}Z(x_{\alpha }+h).}$

A partir da covariancia, podemos calcular o correlograma:

${\displaystyle \rho (h)={\frac {C(h)}{\sqrt {\sigma _{(x_{\alpha })}^{2}\sigma _{(x_{\alpha }+h}^{2})}}}.}$

Dado que a covariancia tem relacao direta com o variograma, em que ${\displaystyle C(0)}$ e o patamar,

${\displaystyle \gamma (h)=C(0)-C(h),}$

tambem o correlograma tem relacao direta com a variancia

${\displaystyle \rho (h)={\frac {C(h)}{C(0)}}}$.

Importancia [ editar | editar codigo-fonte ]

A aleatoriedade, ao lado do modelo fixo, da variacao fixa e da distribuicao fixa, e um dos quatro pressupostos que subjazem tipicamente todos os processos de mensuracao. O pressuposto da aleatoriedade e criticamente importante por tres razoes: ^{[ 4 ]}

• A maioria dos testes estatisticos padrao depende de aleatoriedade. A validade das conclusoes dos testes e diretamente ligada a validade do pressuposto de aleatoriedade.
• Muitas formulas estatisticas comumente usadas dependem do pressuposto de aleatoriedade, sendo a mais comum destas a formula que determina o desvio padrao da media amostral:

${\displaystyle s_{\bar {Y}}=s/{\sqrt {N}},}$

em que ${\displaystyle s}$ e o desvio padrao dos dados. Ainda que amplamente usada, os resultados do uso desta formula nao tem valor a nao ser que o pressuposto de aleatoriedade se aplique.

• Para dados univariados, o modelo padrao e

${\displaystyle Y={\text{constante}}+{\text{erro}}.}$

Se os dados nao forem aleatorios, este modelo e incorreto e invalido e os valores estimados para tais parametros (tal como a constante) se tornam invalidos e desprovidos de sentido.

Estimacao de autocorrelacoes [ editar | editar codigo-fonte ]

O coeficiente de autocorrelacao no intervalo ${\displaystyle h}$ e dado por

${\displaystyle r_{h}=c_{h}/c_{0},}$

em que ${\displaystyle c_{h}}$ e a funcao autocovariancia

${\displaystyle c_{h}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N-h}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)\left(Y_{t+h}-{\bar {Y}}\right)}$

e ${\displaystyle c_{0}}$ e a funcao variancia

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)^{2}.}$

O valor resultante de ${\displaystyle r_{h}}$ estara entre ${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle +1}$. ^{[ 6 ]}

Estimativa alternativa [ editar | editar codigo-fonte ]

Algumas fontes podem usar a seguinte formula para a funcao autocovariancia:

${\displaystyle c_{h}={\frac {1}{N-h}}\sum _{t=1}^{N-h}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)\left(Y_{t+h}-{\bar {Y}}\right).}$

Ainda que esta definicao tenha menos vies , a formulacao ${\displaystyle (1/N)}$ tem algumas propriedades estatisticas desejaveis e e a forma mais comumente usada em literatura estatistica. ^{[ 7 ]}

Inferencia estatistica com correlogramas [ editar | editar codigo-fonte ]

No mesmo grafo, e possivel definir limites superiores e inferiores para autocorrelacao com nivel de significancia ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle B=\pm z_{1-\alpha /2}SE(r_{h}),}$

com ${\displaystyle r_{h}}$ como a autocorrelacao estimada no intervalo ${\displaystyle h}$.

Se a autocorrelacao for maior do que o limite superior ou menor do que o limite inferior, a hipotese nula de que nao ha autocorrelacao em e alem de um dado intervalo e rejeitada ao nivel de significancia ${\displaystyle \alpha }$. O teste e de tipo aproximado e assume que a serie temporal e gaussiana. ^{[ 6 ]}

Na descricao acima, ${\displaystyle z_{1-\alpha /2}}$ e o quantil da distribuicao normal , ${\displaystyle SE}$ e o desvio padrao, que pode ser computado pela formula de M. S. Bartlett para processos ${\displaystyle MA(\ell )}$:

${\displaystyle SE(r_{1})={\frac {1}{\sqrt {N}}}}$

${\displaystyle SE(r_{h})={\sqrt {\frac {1+2\sum _{i=1}^{h-1}r_{i}^{2}}{N}}}}$ para ${\displaystyle h>1.\,}$

Na imagem acima, e possivel rejeitar a hipotese nula de que nao ha autocorrelacao entre os pontos de tempos que sao adjacentes (intervalo igual a 1). Para outros periodos, nao e possivel rejeitar a hipotese nula de nenhuma autocorrelacao.

Note que ha duas formulas distintas para gerar os intervalos de confianca :

1. Se o correlograma estiver sendo usando para testar aleatoriedade, isto e, ver se nao ha dependencia de tempo nos dados, a seguinte formula e recomendada:

${\displaystyle \pm {\frac {z_{1-\alpha /2}}{\sqrt {N}}}}$

em que ${\displaystyle N}$ e o tamanho da amostra, ${\displaystyle z}$ e a funcao quantil da distribuicao normal padrao e ${\displaystyle \alpha }$ e o nivel de significancia. Neste caso, os intervalos de confianca tem amplitude fixa que depende do tamanho da amostra.

2. Correlogramas tambem sao usados no estagio de identificacao de modelo para ajuste de modelos autorregressivos integrados de media movel . Neste caso, um modelo de media movel e pressuposto para os dados e os seguintes intervalos de confianca devem ser gerados:

${\displaystyle \pm z_{1-\alpha /2}{\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(1+2\sum _{i=1}^{k}r_{i}^{2}\right)}}}$

em que ${\displaystyle k}$ e o intervalo. Neste caso, os intervalos de confianca aumentam conforme o intervalo aumenta.

Ver tambem [ editar | editar codigo-fonte ]

• Funcao de covariancia
• Variograma
• Variograma cruzado
• Variograma de indicatriz

Referencias [ editar | editar codigo-fonte ]

Ligacoes externas [ editar | editar codigo-fonte ]

• Diagrama de autocorrelacao do Engineering Statistics Handbook (em ingles)

• Portal de probabilidade e estatistica