Em matematica , a equacao de Tanaka e um exemplo de equacao diferencial estocastica que admite uma solucao fraca, mas que nao tem nenhuma solucao forte. Recebe este nome em homenagem ao matematico japones Hiroshi Tanaka. ^{[ 1 ]}

Definicao [ editar | editar codigo-fonte ]

A equacao de Tanaka e uma equacao diferencial estocastica unidimensional:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\mathrm {d} B_{t},}$

dirigida pelo movimento browniano canonico ${\displaystyle B}$ com condicao inicial ${\displaystyle X_{0}=0}$, em que ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ denota a funcao sinal :

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x\geq 0;\\-1,&x<0.\end{cases}}}$

Destaca-se o valor nao convencional de ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)}$. A funcao sinal nao satisfaz a condicao de continuidade de Lipschitz exigida para teoremas usuais que garantem a existencia e a unicidade de solucoes fortes. A equacao de Tanaka nao tem nenhuma solucao forte, isto e, uma para a qual a versao ${\displaystyle B}$ do movimento browniano e dada antecipadamente e a solucao ${\displaystyle X}$ e adaptada a filtracao gerada por ${\displaystyle B}$ e pelas condicoes iniciais. Entretanto, a equacao de Tanaka tem uma solucao fraca, uma para a qual o processo ${\displaystyle X}$ e a versao do movimento browniano sao ambos especificados como parte da solucao, em vez do movimento browniano sendo dado a priori . Neste caso, simplesmente escolhe-se ${\displaystyle X}$ para ser qualquer movimento browniano ${\displaystyle {\hat {B}}}$ e define-se ${\displaystyle {\tilde {B}}}$ por:

${\displaystyle {\tilde {B}}_{t}=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} {\big (}{\hat {B}}_{s}{\big )}\mathrm {d} {\hat {B}}_{s}=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} {\big (}X_{s}{\big )}\mathrm {d} X_{s},}$

isto e,

${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {B}}_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\mathrm {d} X_{t}.}$

Assim,

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\mathrm {d} {\tilde {B}}_{t},}$

e, entao, ${\displaystyle X}$ e uma solucao fraca da equacao de Tanaka. Alem disto, esta solucao e fracamente unica, isto e, qualquer outra solucao fraca deve ter a mesma lei. ^{[ 1 ]}

Referencias [ editar | editar codigo-fonte ]