Nota: Para outros significados, veja Divisao (desambiguacao) .

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Divisao e a operacao matematica inversa da multiplicacao . O ato de dividir por algum elemento de um conjunto so faz sentido quando a multiplicacao por aquele elemento for uma funcao bijetora .

No anel dos numeros inteiros a hipotese da bijetividade nao e satisfeita para o zero, assim, nao se define divisao por zero .

Propriedades importantes [ editar | editar codigo-fonte ]

As propriedades da divisao sao herdadas, via inversao, da multiplicacao. Nao existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos numeros reais, uma vez que a divisao por zero nao produz como resultado um numero real.

Nos numeros inteiros [ editar | editar codigo-fonte ]

Os numeros inteiros nao formam um corpo , portanto a divisao (como foi definido) so faz sentido quando o numero que vai ser dividido ( dividendo ^{[ 1 ]} ) e um multiplo inteiro do numero pelo qual se vai dividir ( divisor ^{[ 1 ]} ). Para tratar dos casos em que o dividendo nao e um multiplo do divisor e necessario definir quociente e resto .

Se a e b sao dois numeros inteiros positivos (com ${\displaystyle b\geq a}$), o quociente ^{[ 1 ]} da divisao de a por b e o maior numero inteiro q tal que ${\displaystyle bq\leq a}$. O resto ^{[ 2 ]} da divisao de a por b com quociente q e o numero inteiro r tal que ${\displaystyle r=a-bq.}$

A nocao de resto no anel dos numeros inteiros esta intimamente conectada com a nocao de congruencia .

Nos numeros racionais , reais e em outros corpos [ editar | editar codigo-fonte ]

Por se tratarem de corpos, a divisao nesse caso fica reduzida a multiplicacao pelo inverso.

Por um exemplo, para dividirmos um numero racional ${\displaystyle q_{1}={\frac {a}{b}}}$ por ${\displaystyle q_{2}={\frac {c}{d}}}$ (com as hipoteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma

${\displaystyle {\frac {q_{1}}{q_{2}}}=q_{1}\ q_{2}^{-1}={\frac {a}{b}}\ {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}}$

Em ${\displaystyle \mathbb {Z} _{13}}$ (grupo multiplicativo dos inteiros modulo 13), que tambem e um corpo, a divisao de 7 por 5 se daria da seguinte forma:

${\displaystyle {\frac {7}{5}}=7.5^{-1}=7.8=4}$

Divisao de polinomios [ editar | editar codigo-fonte ]

Pode-se definir a operacao de divisao para polinomios . Entao, como no caso dos inteiros, tem-se um resto . ^{[ 3 ]} Veja divisao polinomial .

Em estruturas mais gerais [ editar | editar codigo-fonte ]

A divisao e possivel em estruturas que nao sao dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos numeros inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxilio da relacao de ordem , pois a mesma nem sempre esta presente. Quando pode-se definir uma funcao conveniente, trabalhamos com dominios euclidianos .

Representacao [ editar | editar codigo-fonte ]

Sejam a e b elementos do conjunto dos numeros inteiros, e b diferente de zero. Podemos representar uma divisao da seguinte forma:

• Como uma fracao : ${\displaystyle {\frac {a}{b}},}$ (utilizando uma barra horizontal entre os dois numeros);
• Atraves de uma barra inclinada: ${\displaystyle {}^{a}\!{/}\!{}_{b}}$. (E utilizado para fazer operacoes em computadores);
• Com a simbologia usual da divisao, utilizando dois pontos e uma barra horizontal entre eles: ${\displaystyle a\div b}$;
• Utilizando dois pontos entre os dois numeros na horizontal: ${\displaystyle a:b}$;
• Usando a notacao do inverso multiplicativo : ${\displaystyle ab^{-1}}$.

Divisao de numeros consecutivos

Seja o numero impar ${\textstyle a>1}$ e o seu consecutivo ${\textstyle a+1}$ .

Seja a divisao ${\displaystyle a/(a+1)=s}$. Esta divisao apresenta as duas peculiaridade a seguir :

a - O quociente ${\displaystyle s}$ e menor do que ${\displaystyle 1}$ e tende para ${\displaystyle 1}$ com o aumento de ${\displaystyle a}$, entao ${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\rightarrow s=1}$

b - Na imensa maioria das proposicoes o quociente ${\displaystyle s}$ apresenta infinitos algarismos apos a virgula decimal.

Seja a divisao ${\displaystyle (a+1)/a=s'}$. Esta divisao apresenta as duas peculiaridade a seguir:

a - O quociente ${\displaystyle s'}$ e maior do que ${\displaystyle 1}$ e tende para ${\displaystyle 1}$ com o aumento de ${\displaystyle a}$, entao ${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\rightarrow s'=1}$

b - Na imensa maioria das proposicoes o quociente ${\displaystyle s'}$ apresenta infinitos algarismos apos a virgula decimal.

Entretanto

Em nenhuma das proposicoes para ${\displaystyle s,s'}$ ocorre com estes numeros consecutivos, de o quociente apresentar em ambas proposicoes os dois quocientes com numeros finitos de algarismos apos a virgula decimal.

Divisao entre numeros consecutivos [ editar | editar codigo-fonte ]

Na divisao entre dois numeros consecutivos temos dois casos a considerar:

Caso 1 - Caso em que o numero maior tem paridade par

Caso 2 - Caso em que o numero maior tem paridade impar

Caso 1 [ editar | editar codigo-fonte ]

sejam dois numeros consecutivos ${\displaystyle A,B}$ com ${\displaystyle A>B}$ e de paridade par.

A divisao ${\displaystyle A/B=1+1/B}$ , e a outra divisao ${\displaystyle B/A=1-1/A}$ .

Na imensa maioria dos casos cada uma dessas expressoes tem como resultados numeros com infinitos algarismos apos o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma das duas expressoes acima apresenta infinitos algarismos apos o ponto decimal.

No sistema decimal a decomposicao unica do numero ${\displaystyle 10}$ e dada por ${\displaystyle 10=2.5}$ , entao a fracao ${\displaystyle 1/B}$ so nao sera uma dizima infinita quando ${\displaystyle B=5^{n}}$ pois ${\displaystyle B}$ e um numero de paridade impar.

A fracao ${\displaystyle 1/A}$ so nao sera uma dizima infinita quando ${\displaystyle A=2^{m}.10^{n}}$ .

A expressao ${\displaystyle 5^{n}}$ termina sempre com o numero ${\displaystyle 25}$ exceto para ${\displaystyle n=1}$.

Para termos dois numeros consecutivos nas condicoes acima o numero ${\displaystyle A}$ tem que terminar com o numero ${\displaystyle 26}$ exceto para o primeiro caso onde ${\displaystyle A=6}$ , e o numero ${\displaystyle A}$ , tera que ser da forma ${\displaystyle 2^{m}}$ onde a expressao ${\displaystyle 1/A}$ nao sera uma dizima infinita.

Como os numeros da forma ${\displaystyle 2^{m}}$ com algarismo ${\displaystyle 6}$ na na ultima posicao sao sempre terminados em ${\displaystyle 16,56,96,36,76}$ jamais teremos o par consecutivo com os dois ultimos algarismos sendo ${\displaystyle 25,26}$ e com a propriedade de serem da forma ${\displaystyle 5^{n},2^{m}}$.

Caso 2 [ editar | editar codigo-fonte ]

Sejam dois numeros consecutivos ${\displaystyle B,A}$ com ${\displaystyle B>A}$ e de paridade impar.

A divisao ${\displaystyle B/A=1+1/A}$ e a outra divisao ${\displaystyle A/B=1-1/B}$

Na imensa maioria dos casos, cada uma destas duas expressoes tem como resultado numeros com infinitos algarismos apos o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma destas duas expressoes apresenta como resultado numeros com infinitos algarismos apos o ponto decimal.

No sistema decimal a decomposicao unica do numero ${\displaystyle 10}$ e ${\displaystyle 10=2.5}$, entao a fracao ${\displaystyle 1/A}$ so nao uma dizima infinita quando ${\displaystyle A=2^{m}}$ .

A fracao ${\displaystyle 1/B}$ so nao sera uma dizima infinita quando ${\displaystyle B=5^{n}}$ .

A expressao ${\displaystyle 5^{n}}$ termina sempre no numero ${\displaystyle 25}$ exceto para ${\displaystyle n=1}$ .

Para termos dois numeros consecutivos nas condicoes acima o numero ${\displaystyle A}$ tem que terminar em ${\displaystyle 24}$ , exceto para o primeiro caso onde ${\displaystyle A=4}$ , e numero ${\displaystyle A}$ tera que ser da forma ${\displaystyle 2^{m}}$ , onde a expressao ${\displaystyle 1/A}$ nao sera uma dizima infinita.

O valor de ${\displaystyle A}$ so termina em ${\displaystyle 24}$ , para ${\displaystyle m=10,30,50,70,90,110...}$ e para nenhum destes casos o numero sucessivo terminado em ${\displaystyle 25}$ e da forma ${\displaystyle 5^{n}}$, impedindo que tenhamos numeros consecutivos terminados em ${\displaystyle 24,25}$ que sejam da forma ${\displaystyle 2^{m},5^{n}}$ .

Estas divisoes sao aplicadas nas solucoes para o Ultimo Teorema de Fermat e para a Conjectura de Beal a partir das equacoes do Terno Pitagorico obtidas por Geometria , pois qualquer raiz de um numero racional com dizima infinita nao tera como resposta um numero inteiro.

Todas as outras formulas para a determinacao do Terno Pitagorico inclusive as Formulas de Euclides nao se aplicam, porque sao formulas incompletas.

Ver tambem [ editar | editar codigo-fonte ]

• Criterios de divisibilidade
• Divisao por zero
• Multiplicacao
• Anel (matematica)
• Corpo (matematica)
• Algoritmo de Euclides

Notas e referencias

Referencias [ editar | editar codigo-fonte ]

• Vianna, Joao Jose Luiz (1914). Elementos de Arithmetica 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves  
• Serrasqueiro, Jose Adelino (1906). Tratado de Algebra Elementar 9 ed. Largo da Se Velha: Livraria Central de J. Diogo Pires   i

Ligacoes externas [ editar | editar codigo-fonte ]

O wikilivro Teoria de numeros tem uma pagina sobre Algoritmo da divisao de Euclides

Outros projetos Wikimedia tambem contem material sobre este tema:
	Definicoes no Wikcionario

• Explicando o Algoritmo da Divisao

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