A distribuicao t de Student e uma distribuicao de probabilidade, publicada por William Sealy Gosset sob o pseudonimo Student que nao podia usar seu nome verdadeiro para publicar trabalhos enquanto trabalhasse para a cervejaria Guinness . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

A distribuicao ${\displaystyle t}$ e uma distribuicao de probabilidade absolutamente continua, simetrica e campaniforme, o unico parametro ${\displaystyle \nu }$ que a caracteriza esta familia e o numero de graus de liberdade . A funcao densidade de probabilidade da ${\displaystyle t}$ detem caudas mais pesadas que a distribuicao normal quando ${\displaystyle \nu }$ e pequeno e a medida que ${\displaystyle \nu }$ cresce, a distribuicao t de Student se aproxima da normal.

Definicao [ editar | editar codigo-fonte ]

Seja ${\displaystyle Z}$ uma variavel aleatoria normal padrao e ${\displaystyle V}$ uma variavel aleatoria com distribuicao Chi-quadrado com ${\displaystyle \nu }$ graus de liberdade. Se ${\displaystyle Z}$ e ${\displaystyle V}$ sao independentes, entao a transformacao ${\displaystyle t}$^{[ 3 ]} definida como

${\displaystyle t={\frac {Z}{\sqrt {V/\nu \ }}}}$

tera distribuicao t de Student com ${\displaystyle \nu }$ graus de liberdade.

Funcao densidade de probabilidade [ editar | editar codigo-fonte ]

A funcao densidade de probabilidade e:

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}\!,}$

em que Γ e a funcao gama . Usando-se a funcao beta B , a funcao densidade de probabilidade pode ser escrita como:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,B\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}\!}$

Aplicacoes [ editar | editar codigo-fonte ]

A distribuicao t de Student aparece naturalmente no problema de se determinar a media de uma populacao (que segue a distribuicao normal) a partir de uma amostra. Neste problema, nao se sabe qual e a media ou o desvio padrao da populacao, mas ela deve ser normal.

Supondo que o tamanho da amostra n seja muito menor que o tamanho da populacao, temos que a amostra e dada por n variaveis aleatorias normais independentes X ₁ , ..., X _n , cuja media ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n}$ e o melhor estimador para a media da populacao.

Considerando ${\displaystyle {S_{n}}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}_{n}\right)^{2}}$ como a variancia amostral, temos o seguinte resultado:

A variavel aleatoria t dada por:

${\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{S_{n}/{\sqrt {\nu }}}},}$

ou : ${\displaystyle t={\sqrt {\nu }}{\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{S_{n}}},}$ segue uma distribuicao t de Student com ${\displaystyle \nu =n-1}$ graus de liberdade.

Tabela com alguns valores selecionados [ editar | editar codigo-fonte ]

Grande parte dos livros estatisticos trazem uma tabela com valores para a distribuicao t de Student. Essas tabelas apresentam valores arredondados e esses arredondamentos podem ser grosseiros demais, dependendo do tipo de analise que esta sendo feita. Softwares estatisticos e planilhas como Microsoft Excel e OpenOffice Calc possuem tecnicas mais precisas para a estimacao desses valores.

A tabela abaixo lista alguns valores selecionados para a distribuicao t de Student com ${\displaystyle \nu }$ graus de liberdade (numeros no inicio de cada linha) para as regioes criticas com uma ou duas caudas (unicaudal ou bicaudal). Por exemplo, se estamos fazendo uma analise em que a distribuicao t de Student apresenta 4 graus de liberdade e queremos usar um nivel de confianca de 95% unicaudal, consultamos a tabela e percebemos que ${\displaystyle t\!}$ deve ser de 2,132. Isso quer dizer que a probabilidade de ${\displaystyle -\infty <t<2,132}$ e de 95%.

Unicaudal	75%	80%	85%	90%	95%	97,5%	99%	99,5%	99,75%	99,9%	99,95%
Bicaudal	50%	60%	70%	80%	90%	95%	98%	99%	99,5%	99,8%	99,9%
1	1,000	1,376	1,963	3,078	6,314	12,71	31,82	63,66	127,3	318,3	636,6
2	0,816	1,061	1,386	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	14,09	22,33	31,60
3	0,765	0,978	1,250	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	7,453	10,21	12,92
4	0,741	0,941	1,190	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	5,598	7,173	8,610
5	0,727	0,920	1,156	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032	4,773	5,893	6,869
6	0,718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	4,317	5,208	5,959
7	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499	4,029	4,785	5,408
8	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	3,833	4,501	5,041
9	0,703	0,883	1,100	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	3,690	4,297	4,781
10	0,700	0,879	1,093	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	3,581	4,144	4,587
11	0,697	0,876	1,088	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	3,497	4,025	4,437
12	0,695	0,873	1,083	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	3,428	3,930	4,318
13	0,694	0,870	1,079	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	3,372	3,852	4,221
14	0,692	0,868	1,076	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977	3,326	3,787	4,140
15	0,691	0,866	1,074	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	3,286	3,733	4,073
16	0,690	0,865	1,071	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921	3,252	3,686	4,015
17	0,689	0,863	1,069	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,222	3,646	3,965
18	0,688	0,862	1,067	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878	3,197	3,610	3,922
19	0,688	0,861	1,066	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,174	3,579	3,883
20	0,687	0,860	1,064	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,153	3,552	3,850
21	0,686	0,859	1,063	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831	3,135	3,527	3,819
22	0,686	0,858	1,061	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,119	3,505	3,792
23	0,685	0,858	1,060	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807	3,104	3,485	3,767
24	0,685	0,857	1,059	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797	3,091	3,467	3,745
25	0,684	0,856	1,058	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787	3,078	3,450	3,725
26	0,684	0,856	1,058	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779	3,067	3,435	3,707
27	0,684	0,855	1,057	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771	3,057	3,421	3,690
28	0,683	0,855	1,056	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,047	3,408	3,674
29	0,683	0,854	1,055	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,038	3,396	3,659
30	0,683	0,854	1,055	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750	3,030	3,385	3,646
40	0,681	0,851	1,050	1,303	1,684	2,021	2,423	2,704	2,971	3,307	3,551
50	0,679	0,849	1,047	1,299	1,676	2,009	2,403	2,678	2,937	3,261	3,496
60	0,679	0,848	1,045	1,296	1,671	2,000	2,390	2,660	2,915	3,232	3,460
80	0,678	0,846	1,043	1,292	1,664	1,990	2,374	2,639	2,887	3,195	3,416
100	0,677	0,845	1,042	1,290	1,660	1,984	2,364	2,626	2,871	3,174	3,390
120	0,677	0,845	1,041	1,289	1,658	1,980	2,358	2,617	2,860	3,160	3,373
${\displaystyle \infty }$	0,674	0,842	1,036	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	2,807	3,090	3,291

Exemplo [ editar | editar codigo-fonte ]

Um fabricante de aparelhos celulares afirma que a duracao media da bateria desses aparelhos nos primeiros 6 meses de uso e de 120 horas, ou seja, 5 dias. Analisando uma amostra de 25 aparelhos, obteve-se uma media de duracao de 116 horas, com desvio padrao de 12 horas. Verifique se a afirmacao e verdadeira, utilizando um nivel de confianca de 95% bicaudal.

Resolucao:

1º Utilizando a tabela de distribuicao t student, definem-se os pontos criticos atraves do grau de liberdade (24) e o nivel de confianca (95%).

Nesse caso, os pontos criticos sao ± 2,064 , ou seja, P(-2,064 < t < 2,064) . Se o valor de t estiver dentro desses limites a afirmacao e verdadeira.

2º Na sequencia calcula-se o valor de t para a amostra:

Dados:

${\displaystyle {{\overline {X}}=116;}}$

${\displaystyle {\mu =120;}}$

${\displaystyle {S=12;}}$

${\displaystyle {n=25;}}$

Formula: ${\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{116}-120}{12/{\sqrt {25}}}}=-1,667}$

3º Conclusao: Como t = - 1,667 , encontra-se dentro dos limites criticos, P(-2,064 < t < 2,064) , a afirmacao do fabricante de celular que a duracao media da sua bateria e de 120 horas, a um nivel de confianca de 95%, e verdadeira.

Importante:

Esse exemplo nao serve para alegar que a bateria dura, pelo menos, 120 horas . Para determinar o desempenho esperado, a abordagem que tem mais correlacao com a experiencia dos consumidores e a do teste unicaudal . Analisando os dados de teste com a distribuicao unicaudal, a media de 116 horas e desvio-padrao de 12 horas, para 24 graus de liberdade e um nivel de confianca de 95%, vemos que a duracao esperada para as baterias seria equivalente a ${\displaystyle t=-1,711}$. Nesse caso, a duracao esperada para 95% das baterias seria de:

${\displaystyle x={\bar {X}}+t\times S=116-1,711\times 12=95,468\ horas}$

Ver tambem [ editar | editar codigo-fonte ]

• Distribuicao normal

Referencias

• Portal da matematica