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Em probabilidade e estatistica a distribuicao de Weibull e uma distribuicao de probabilidade continua. E nomeada devido a Waloddi Weibull que em 1951 lancou um artigo descrevendo a distribuicao em detalhes e propondo diversas aplicacoes ^{[ 1 ]} . O campo de aplicacoes da distribuicao de Weibull e vasto e abrange praticamente todas as areas da ciencia. Usando essa distribuicao, realizou-se a modelagem bem sucedida de dados provenientes de grandes areas de ciencias fisica , biologica , social , saude , ambiental e metodos baseados nesta distribuicao sao ferramentas indispensaveis para profissionais da engenharia de confiabilidade . Em geral, suas aplicacoes visam a determinacao do tempo de vida medio e da taxa de falhas em funcao do tempo da populacao analisada. E tambem de grande interesse para estatisticos devido a suas diversas caracteristicas especificas. O sucesso da distribuicao se justifica nao so pela sua eficacia, mas tambem ao fato de existirem recursos graficos que facilitam sua interpretacao e por ser capaz de fazer previsoes de acuracia razoavel mesmo quando a quantidade de dados disponivel e baixa.

Definicao [ editar | editar codigo-fonte ]

Uma variavel aleatoria x segue a distribuicao de Weibull se sua funcao densidade de probabilidade e dada por ^{[ 2 ]}

${\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$

O parametro λ esta definido de 0 a + ${\displaystyle \infty }$ e e medido na mesma unidade que x. Se x tem unidade de tempo λ e denominado tempo caracteristico pois a funcao de distribuicao acumulada de qualquer distribuicao de Weibull com parametros λ identicos e k livre tera o valor de 0.6321 no ponto x=λ. Isso significa que a chance de sobrevivencia de x por λ unidades de tempo e aproximadamente 63.21% independentemente do valor de k . Do ponto de vista estatistico λ e determinado parametro de escala pois variacoes no seu valor enquanto k e mantido constante causam a compressao ou expansao do grafico.

O parametro k esta definido de 0 a + ${\displaystyle \infty }$ e e adimensional. E chamado de declividade de Weibull pois determina a declividade da funcao de distribuicao acumulada plotada em um papel de probabilidade Weibull. Do ponto de vista estatistico k e o parametro de forma. Variacoes no valor de k alteram drasticamente o comportamento da distribuicao. Para k <1, o fator exponencial da distribuicao e predominante e a curva fica em um formato de J e para k =1 a distribuicao se reduz a uma distribuicao exponencial . Para k >1 o fator polinomial da distribuicao e predominante.

Essa e distribuicao de Weibull com 2 parametros. Existem outras definicoes com mais ou menos parametros dependendo da finalidade, veja relacao com outras distribuicoes para outras formas.

Propriedades [ editar | editar codigo-fonte ]

Funcao densidade [ editar | editar codigo-fonte ]

A forma da funcao densidade da distribuicao de Weibull muda drasticamente com o valor de k . Para 0 < k < 1, a funcao densidade tende a ${\displaystyle \infty }$ quando x se aproxima de zero por cima e e estritamente decrescente. Para k = 1, a funcao densidade tende a 1/λ quando x se aproxima de zero por cima, aumenta ate seu modo e diminui depois disso. E interessante notar que a funcao densidade tem uma declividade infinitamente negativa em x = 0 se 0 < k < 1, declividade infinitamente positiva em x = 0 se 1 < k < 2 e declividade nula em x = 0 se k > 2. Para k = 2 a funcao densidade tem uma declividade finita e positiva em x = 0. Quando k tende ao infinito, a distribuicao de Weibull converge para uma distribuicao delta de Dirac centrada em x = λ. Alem disso, a obliquidade e o coeficiente de variacao dependem apenas do parametro de forma.

Funcao de distribuicao [ editar | editar codigo-fonte ]

A funcao distribuicao acumulada da distribuicao de Weibull e

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$

para x ≥ 0, e F ( x ; k ; λ) = 0 para x < 0.

O quantil da distribuicao de Weibull e

${\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda {(-ln(1-p))}^{1/k}}$

para 0 ≤ p < 1.

A funcao hazard h (taxa de falhas) e dada por

${\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}$

No contexto em que x e interpretado como o "tempo transcorrido ate falha" a distribuicao de Weibull fornece a distribuicao de probabilidades de um dispositivo ou material falhar em um dado intervalo de tempo. Como pode ser visto na definicao da funcao hazard h, existe uma dependencia exponencial com o parametro k o que determina 3 comportamentos bem diferentes para:

• k<1: alta taxa de falha no inicio. Esse e um comportamento tipico de processos industriais em que a maioria das falhas ocorre no processo de producao dos items ou quando a taxa de falha diminui com a eliminacao da populacao defeituosa de dispositivos.
• k=1: chance de falha independente do tempo e comportamento exponencialmente decrescente da distribuicao. Processos "sem memoria" em que as falhas ocorrem devido a razoes aleatorias.
• k>1: chance de falha crescente com o tempo. Casos em que ha um processo de envelhecimento.

Momentos [ editar | editar codigo-fonte ]

A funcao geradora de momentos do logaritmo de uma variavel aleatoria que se distribui conforme uma distribuicao de Weibull e dada por ^{[ 3 ]}

${\displaystyle E\left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)}$

onde Γ e a funcao gama . Similarmente, a funcao caracteristica ^{[ desambiguacao necessaria ]} de log X e dada por

${\displaystyle E\left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).}$

Em particular, o enesimo momento de X e dado por

${\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

A media e a variancia de uma variavel aleatoria seguindo a distribuicao de Weibull podem ser expressas como

${\displaystyle \mathrm {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}$

e

${\displaystyle {\textrm {var}}(X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,.}$

A obliquidade e dada por

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

onde a media e denotada por μ e o desvio padrao por σ .

A curtose em excesso e dada por

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}}$

onde ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$.

O excesso de curtose pode ser expresso por:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3}$

Funcao geradora de momentos [ editar | editar codigo-fonte ]

Uma variedade de expressoes estao disponiveis para a funcao geradora de momentos de X . Como uma serie de potencias, dado que os momentos ja sao conhecidos, se tem

${\displaystyle E\left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

Alternativamente, pode-se tentar resolver diretamente a integral

${\displaystyle E\left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}$

Para um parametro k pertencente aos numeros racionais, expresso como k = p / q onde p e q sao inteiros, entao essa integral pode ser resolvida analiticamente. Veja ^{[ 4 ]} para caso em que k e um inteiro, e ^{[ 5 ]} para o caso racional. Substituindo t por -t , se tem

${\displaystyle E\left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)}$

onde G e a funcao Meijer G .

A funcao caracteristica tambem pode ser obtida por ^{[ 6 ]} .

Entropia de informacao [ editar | editar codigo-fonte ]

A entropia da informacao e dada por

${\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}$

onde ${\displaystyle \gamma }$ e a constante de Euler-Mascheroni .

Estimacao de parametros [ editar | editar codigo-fonte ]

Metodos graficos [ editar | editar codigo-fonte ]

Metodos graficos comumente aplicados apara o julgamento de qualidade de ajuste de dados a distribuicao de Weibull sao: papel de probabilidade de Weibull (descrito em detalhes na sessao abaixo), plots do tipo percentil - percentil e quantil - quantil . Metodos graficos servem 2 propositos:

• analise de dados no sentido de estimar parametros e validar um modelo
• apresentacao dos dados metodos graficos sao de facil entendimento e sao otimos para comunicar resultados.

Papel de probabilidade Weibull [ editar | editar codigo-fonte ]

O papel de probabilidade e uma tecnica grafica utilizada para verificar a adequacao de um determinado modelo estatistico aos dados. Se uma amostragem segue a distribuicao de Weibull, seu papel de probabilidade Weibull se distribuira conforme uma reta numa especie de grafico quantil-quantil. O papel de probabilidade Weibull utiliza a funcao distribuicao acumulada ${\displaystyle {\hat {F}}(x)}$ dos dados pois ela pode ser linearizada. Os eixos do papel de probabilidade Weibull sao ${\displaystyle \ln(-\ln(1-{\hat {F}}(x)))}$ e ${\displaystyle \ln(x)}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}}$

Um procedimento de regressao entao e utilizado para a determinacao dos parametros da reta m e c da reta y=mx+c a partir dos quais se determina os valores para o parametro de forma 'k' e de escala 'lambda' da distribuicao ajustada. Existem diversas tecnicas diferentes para a determinacao e ordenacao dos dados da funcao de distribuicao acumulada ${\displaystyle {\hat {F}}(x)}$ e softwares de estatistica oferecem algoritmos que facilitam o procedimento.

Metodos numericos [ editar | editar codigo-fonte ]

Uma grande variedade de metodos numericos sao aplicados para analise de distribuicao Weibull:

• Metodo dos minimos quadrados
• Metodo dos momentos
• Maxima verossimilhanca

Software [ editar | editar codigo-fonte ]

Alem de softwares de uso comum para fins estatisticos como Minitab, SPSS, SAS, MATLAB, Excel, etc possuirem funcoes para analise de Weibull, existem diversos softwares especializados em analise de Weibull. Segue abaixo uma lista de softwares dedicados:

• Weibull ++ da Reliasoft Corp. [1]
• Relex Weibull pela Relex Software Corp. [2]
• WeibullPro pela Isograph Inc. [3]
• WinSMITH Weibull pela Barringer & Associates,Inc. [4]

Aplicacoes [ editar | editar codigo-fonte ]

O campo de aplicacoes da distribuicao de Weibull e vasto e abrange praticamente todas as areas da ciencia. Usando essa distribuicao, realizou-se a modelagem bem sucedida de dados provenientes de grandes areas de ciencias fisica , biologica , social , saude e ambiental .

Engenharia de confiabilidade [ editar | editar codigo-fonte ]

Devido a necessidade de empresas da area de engenharia e tecnologia de assegurarem a confiabilidade e caracterizarem a vida util de seus produtos originou-se o mercado da engenharia de confiabilidade no qual a analise de Weibull aparece como uma importante e poderosa ferramenta. Segue abaixo uma compilacao de artigos com aplicacoes da distribuicao de Weibull na area de confiabilidade de materiais e produtos:

• Resistencia a fratura do vidro ^{[ 1 ]}
• Falha de compostos de fibra de carbono ^{[ 7 ]}
• Falha em semicondutores e capacitores ^{[ 8 ]}
• Confiabilidade de guias de ondas opticos para cabos ^{[ 9 ]}
• Variabilidade de capacidade de carga de helicopteros ^{[ 10 ]}

Outras areas [ editar | editar codigo-fonte ]

Compilacao de artigos com aplicacoes da distribuicao de Weibull em diversas areas:

• Distribuicao de velocidades do vento ^{[ 11 ]}
• Magnitude de terremotos ^{[ 12 ]}
• Analise da duracao do desemprego ^{[ 13 ]}
• Dinamica de biomassa da folhagem do pinheiro escoces ^{[ 14 ]}
• Incidencia do cancer de pulmao em fumantes ^{[ 15 ]}

Relacao com outras distribuicoes [ editar | editar codigo-fonte ]

• A distribuicao de Weibull com 3 parametros tem uma densidade de probabilidade dada por

${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}\,}$

para ${\displaystyle x\geq \theta }$ e f ( x ; k , λ, θ) = 0 para x < θ, onde ${\displaystyle k>0}$ e o parametro de forma, ${\displaystyle \lambda >0}$ e o parametro de escala e ${\displaystyle \theta }$ o parametro de localidade da distribuicao. Quando θ=0, temos o caso da distribuicao de Weibull com apenas 2 parametros apresentado na definicao.

O parametro ${\displaystyle \theta }$ pertence aos reais e esta definido de ${\displaystyle -\infty }$ a ${\displaystyle +\infty }$ e tem a mesma unidade que a variavel x. Quando x tem unidade de tempo ${\displaystyle \theta }$ e denominado vida minima. Em um contexto geral, ${\displaystyle \theta }$ e a origem da distribuicao pois x esta definido apenas para x> ${\displaystyle \theta }$ (a equacao atinge valores negativos se x< ${\displaystyle \theta }$ saindo do escopo de definicao de uma funcao densidade de probabilidade). Sendo assim, alteracoes no valor de ${\displaystyle \theta }$ resultam em uma translacao da origem do grafico da distribuicao, no jargao estatistico ${\displaystyle \theta }$ e chamado de parametro de localidade. Em diversos contextos o tempo de origem nao tem significado algum a nao ser indicar o inicio do grafico e por isso ${\displaystyle \theta }$ e igualado a 0 por conveniencia e omitido, deixando a distribuicao com apenas 2 parametros, k e ${\displaystyle \lambda }$.

• A distribuicao de Weibull pode ser caracterizada como a distribuicao de uma variavel aleatoria X tal que a variavel aleatoria

${\displaystyle Y=\left({\frac {X}{\lambda }}\right)^{k}}$

e a distribuicao exponencial padrao com intensidade 1. ^{[ 3 ]}

Referencias

Ligacoes externas [ editar | editar codigo-fonte ]

• http://www.portalaction.com.br/1033-distribui%C3%A7%C3%A3o-de-weibull
• http://www.reuk.co.uk/Wind-Speed-Distribution-Weibull.htm
• http://www.mathpages.com/home/kmath122/kmath122.htm
• http://www.mathpages.com/home/kmath498/kmath498.htm