Distribuicao F de Fisher-Snedecor
Funcao densidade de probabilidade
Funcao distribuicao acumulada
Parametros	${\displaystyle d_{1}}$, ${\displaystyle d_{2}>0}$ graus de liberdade
Suporte	${\displaystyle x\in [0,+\infty )}$
f.d.p.	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}$
f.d.a.	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}$
Media	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}$ para ${\displaystyle d_{2}>2}$
Moda	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$ para ${\displaystyle d_{1}>2}$
Variancia	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}$ para ${\displaystyle d_{2}>4}$
Obliquidade	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}$ para ${\displaystyle d_{2}>6}$
Curtose	Definida no texto.
Entropia	${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,{\rm {e}}}}\right)\!~}$
Funcao Geradora de Momentos	Nao existe. Os momentos brutos estao definidos no texto.
Funcao Caracteristica	${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {d_{2}}{2}})}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath t\right)}$ onde ${\displaystyle U(a,b,z)}$ e a funcao hipergeometrica confluente do segundo tipo

Em teoria das probabilidades e estatistica , a distribuicao F de Fisher-Snedecor , tambem conhecida como distribuicao F , distribuicao F de Fisher e distribuicao F de Snedecor , em homenagem ao biologo e estatistico britanico Ronald Fisher e ao matematico norte-americano George Waddel Snedecor , ^{[ 1 ]} e uma distribuicao de probabilidade continua que surge frequentemente como a distribuicao nula da estatistica de um teste, mais notadamente na analise de variancia , como no teste F . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Definicao [ editar | editar codigo-fonte ]

Se uma variavel aleatoria ${\displaystyle X}$ tiver uma distribuicao F com parametros ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$, escrevemos ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$. Entao, a funcao densidade de probabilidade de ${\displaystyle X}$ e dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}}$

para ${\displaystyle x}$ real e maior que zero. Aqui, ${\displaystyle \mathrm {B} }$ e uma funcao beta . Em muitas aplicacoes, os parametros ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$ sao numeros inteiros positivos , mas a distribuicao e bem definida para valores reais positivos destes parametros.

A funcao distribuicao acumulada e

${\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}$

em que ${\displaystyle I}$ e a funcao beta incompleta regularizada.

O valor esperado , a variancia e outros detalhes sobre ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$ sao dados na caixa ao lado. Para ${\displaystyle d_{2}>8}$, a curtose de excesso e

${\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}}$.

O ${\displaystyle k}$-esimo momento de uma distribuicao ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$ existe e e finita somente quando ${\displaystyle 2k<d_{2}}$ e e igual a ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}}$

A distribuicao F e uma parametrizacao particular da distribuicao beta prima, tambem chamada de distribuicao beta de segundo tipo.

A funcao caracteristica e ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma ({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {d_{2}}{2}})}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}$

em que ${\displaystyle U(a,b,z)}$ e a funcao hipergeometrica confluente do segundo tipo.

Caracterizacao [ editar | editar codigo-fonte ]

O valor observado de uma variavel aleatoria de distribuicao F com parametros ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$ surge como a razao de dois valores observados de distribuicao qui-quadrado apropriadamente escalados: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$

em que

• ${\displaystyle U_{1}}$ e ${\displaystyle U_{2}}$ tem distribuicoes qui-quadrado com graus de liberdade ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$ respectivamente e
• ${\displaystyle U_{1}}$ e ${\displaystyle U_{2}}$ sao independentes .

Em instancias em que a distribuicao F e usada, por exemplo, na analise de variancia, a independencia de ${\displaystyle U_{1}}$ e ${\displaystyle U_{2}}$ pode ser demonstrada pela aplicacao do teorema de Cochran.

Equivalentemente, a variavel aleatoria da distribuicao F tambem pode ser escrita como

${\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\;/\;{\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}}$

em que ${\displaystyle s_{1}^{2}}$ e ${\displaystyle s_{2}^{2}}$ sao as somas dos quadrados ${\displaystyle S_{1}^{2}}$ e ${\displaystyle S_{2}^{2}}$ de dois processos normais com variancias ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ e ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$ divididas pelo numero correspondente de ${\displaystyle \chi ^{2}}$ graus de liberdades. ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$ sao respectivamente ${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}$ e ${\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}$.

Em um contexto frequencista , uma distribuicao F escalada da portanto a probabilidade ${\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}|\sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}$, ela propria com distribuicao F, sem qualquer escala, o que se aplica onde ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ e igual ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$. Este e o contexto em que a distribuicao F aparece de forma mais generalizada em testes F : em que a hipotese nula e de que duas variancias normais independentes sao iguais e as somas observadas de alguns quadrados apropriadamente selecionados sao entao examinadas a fim de verificar se sua razao e significantemente incompativel com esta hipotese nula.

A quantidade ${\displaystyle X}$ tem a mesma distribuicao na estatistica bayesiana , se um metodo de Jeffreys nao informativo, de rescalamento invariante for tomado para as probabilidades a priori de ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ e ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$. ^{[ 9 ]} Neste contexto, uma distribuicao F escalada da assim a probabilidade a posteriori ${\displaystyle p(\sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}|s_{1}^{2}/s_{2}^{2})}$, em que as somas agora observadas ${\displaystyle s_{1}^{2}}$ e ${\displaystyle s_{2}^{2}}$ sao tomadas como conhecidas.

De forma geral, resumida e simplificada, a distribuicao F tem como caracteristicas basicas:

• E uma familia de curvas, cada uma, determinada por dois tipos de graus de liberdade, os correspondentes a variancia no numerador, e os que correspondem a variancia no denominador.
• E uma distribuicao positivamente assimetrica.
• A area total sob cada curva de uma distribuicao F e igual a 1.
• Todos os valores de X sao maiores ou iguais a 0.
• Para todas as distribuicoes F, o valor medio de X e aproximadamente igual a 1. ^{[ 10 ]}

Equacao diferencial [ editar | editar codigo-fonte ]

A funcao densidade de probabilidade da distribuicao F e uma solucao da seguinte equacao diferencial :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}2x\left(d_{1}x+d_{2}\right)f'(x)+\left(2d_{1}x+d_{2}d_{1}x-d_{2}d_{1}+2d_{2}\right)f(x)=0,\\[12pt]f(1)={\frac {d_{1}^{\frac {d_{1}}{2}}d_{2}^{\frac {d_{2}}{2}}\left(d_{1}+d_{2}\right){}^{{\frac {1}{2}}\left(-d_{1}-d_{2}\right)}}{B\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\end{array}}\right\}}$

Propriedades e distribuicoes relacionadas [ editar | editar codigo-fonte ]

• Se ${\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}$ e ${\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}$ forem independentes, entao ${\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$;
• Se ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}$ forem independentes, entao ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$;
• Se ${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$(distribuicao beta), entao ${\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$;
• Equivalentemente, se ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$, entao ${\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$;
• Se ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$, entao ${\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}$ tem a distribuicao qui-quadrado ${\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}$;
• ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$ e equivalente a distribuicao T-quadrado de Hotelling escalada ${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}$;
• Se ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$, entao ${\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}$;
• Se ${\displaystyle X\sim t(n)}$ ( distribuicao t de Student ), entao:

${\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {F} (1,n)}$

${\displaystyle X^{-2}\sim \operatorname {F} (n,1)}$

• A distribuicao F e um caso especial de distribuicao de Pearson de tipo 6;
• Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ forem independentes com ${\displaystyle X,Y\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)}$, entao:

${\displaystyle {\tfrac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}$;

• Se ${\displaystyle X\sim F(n,m)}$, entao ${\displaystyle {\frac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$ (distribuicao z de Fisher);
• A distribuicao F nao central simplifica a distribuicao F se ${\displaystyle \lambda =0}$;
• A distribuicao F nao central dupla simplifica a distribuicao F se ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}$;
• Se ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}$ for o quantil ${\displaystyle p}$ para ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ e ${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$ for o quantil ${\displaystyle 1-p}$ para ${\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}$, entao

${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}}$.

Ver tambem [ editar | editar codigo-fonte ]

• Distribuicao gama
• Qui-quadrado
• Teste de Chow

Referencias

Ligacoes externas [ editar | editar codigo-fonte ]

• Tabela de valores criticos da distribuicao F (em ingles)
• Calculadora gratuita para teste F (em ingles)