Na
matematica
, a
desigualdade de martingale de Doob
e um resultado no estudo dos
processos estocasticos
. Esta da um limite sobre a probabilidade de que um processo estocastico exceda qualquer dado valor sobre um dado intervalo de tempo. Como o nome sugere, o resultado e geralmente dado no caso em que o processo e um
martingale
negativo, mas o resultado tambem e valido para submartingales nao negativos.
A desigualdade recebe este nome em homenagem ao matematico norte-americano
Joseph Leo Doob
.
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1
]
Considere
um submartingale que assume valores reais nao negativos, seja em
tempo discreto
, seja em tempo continuo. Isto e, para todos os tempos
e
com
:
Para um submartingale de tempo continuo, assume-se posteriormente que o processo e
cadlag
. Entao, para qualquer constante
,
Acima, como e convencional,
denota a
medida de probabilidade
no espaco amostral
do processo estocastico:
e
denota o
valor esperado
com respeito a medida de probabilidade
, isto e, a integral
no sentido da
integracao de Lebesgue
.
denota a
sigma-algebra
gerada por todas as
variaveis aleatorias
com
. A colecao de tais sigma-algebras forma uma filtracao do
espaco de probabilidade
.
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2
]
Ha desigualdades de (sub)martingale posteriores que tambem se devem a Doob. Com os mesmos pressupostos sobre
como acima, considere:
e, para
, considere:
Nesta notacao, a desigualdade de Doob como afirmada acima le:
As seguintes desigualdade tambem se aplicam: para
,
e, para
,
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3
]
A desigualdade de Doob para martingales de tempo discreto implica a desigualdade de Kolmogorov: se
for uma sequencia de variaveis aleatorias
independentes
de valores reais, cada uma com media zero, fica claro que:
de modo que
e um martingale. Note que a
desigualdade de Jensen
implica que
e um submartingale nao negativo se
for um martingale. Assim, assumindo
na desigualdade de martingale de Doob,
que e precisamente a afirmacao da desigualdade de Kolmogorov.
[
3
]
Considere que
denota um
movimento browniano
unidimensional canonico. Entao,
A prova e como segue: ja que a
funcao exponencial
e monotonamente crescente, para qualquer
nao negativo,
Pela desigualdade de Doob e, ja que a exponencial do movimento browniano e um submartingale positivo,
Ja que o lado esquerdo nao depende de
, escolhe-se
para minimizar o lado direito.
da a desigualdade desejada.
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4
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