Em teoria das probabilidades , existem varias nocoes diferentes de convergencia de variaveis aleatorias . A convergencia de sequencias de variaveis aleatorias a alguma variavel aleatoria limite e um importante conceito em teoria das probabilidades e tem aplicacoes na estatistica e nos processos estocasticos . Os mesmos conceitos sao conhecidos em matematica geral como convergencia estocastica e formalizam a ideia de que e possivel esperar que uma sequencia de eventos essencialmente aleatorios ou imprevisiveis as vezes mantenha um comportamento essencialmente imutavel quando itens suficientemente distantes na sequencia sao estudados. As possiveis nocoes diferentes de convergencia se relacionam a como tal comportamento pode ser caracterizado: dois comportamentos prontamente entendidos sao que a sequencia eventualmente assume um valor constante e que os valores na sequencia continuam mudando, mas podem ser descritos por uma distribuicao de probabilidade imutavel.

Plano de fundo [ editar | editar codigo-fonte ]

A expressao "convergencia estocastica" formaliza a ideia de que e possivel esperar que uma sequencia de eventos essencialmente aleatorios ou imprevisiveis siga eventualmente um padrao. ^{[ 1 ]} Este padrao pode ser, por exemplo,

• Convergencia no sentido classico de um valor fixado, talvez ele mesmo vindo de um evento aleatorio;
• Uma semelhanca crescente dos eventos ao que uma funcao puramente deterministica produziria;
• Uma preferencia crescente em direcao a um certo valor observado;
• Uma "aversao" crescente a se afastar demais de um certo valor observado;
• A distribuicao de probabilidade que descreve o proximo valor observado pode ficar cada vez mais semelhante a uma certa distribuicao.

Alguns padroes teoricos, menos obvios podem ser

• A serie formada pelo calculo do valor esperado da distancia entre o valor observado e um valor particular pode convergir a zero;
• A variancia da variavel aleatoria que descreve o seguinte evento fica cada vez menor.

Estes outros tipos de padroes que podem surgir estao refletidos em diferentes tipos de convergencia estocastica que tem sido estudados.

Enquanto a discussao acima diz respeito a convergencia de uma unica serie a um valor limitante, a nocao de convergencia de duas series uma em direcao a outra tambem e importante. No entanto, e facil lidar com isto estudando a sequencia definida como a diferenca ou como a razao das duas series.

Por exemplo, se a media de ${\displaystyle n}$ variaveis aleatorias independentes ${\displaystyle Y_{i}}$, ${\displaystyle i=1,...,n}$, todas tendo media e variancia iguais e finitas, e dada por

${\displaystyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}\,,}$

entao conforme ${\displaystyle n}$ tende ao infinito, ${\displaystyle X_{n}}$ converge em probabilidade a media comum ${\displaystyle \mu }$ das variaveis aleatorias ${\displaystyle Y_{i}}$. Este resultado e conhecido como lei fraca dos grandes numeros . Outras formas de convergencia sao importantes em outros teoremas uteis, incluindo o teorema central do limite . ^{[ 2 ]}

Ao longo do que se segue, assume-se que ${\displaystyle (X_{n})}$ e uma sequencia de variaveis aleatorias, ${\displaystyle X}$ e uma variavel aleatoria e todas elas estao definidas no mesmo espaco de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$.

Convergencia em distribuicao [ editar | editar codigo-fonte ]

Exemplos de convergencia em distribuicao

Fabrica de dados
Suponha que uma nova fabrica de dados acaba de ser construida. Alguns dos primeiros dados saem um pouco viesados, devido a imperfeicoes no processo de producao. Os valores observados ao jogar qualquer um deles seguirao um distribuicao marcadamente diferente da desejada distribuicao uniforme . Conforme a fabrica e melhorada, os dados se tornam cada vez menos viesados e os valores observados ao jogar um dado recentemente produzido seguirao cada vez mais proximamente a distribuicao uniforme.
Cara ou coroa
Considere X n a fracao de caras depois de jogar uma moeda nao viesada n vezes. Entao, X 1 tem distribuicao de Bernoulli com valor esperado μ = 0.5 e variancia σ 2 = 0.25 . As variaveis aleatorias subsequentes X 2 , X 3 , ... serao todas distribuidas binomialmente . Conforme n fica maior, a distribuicao comecara a ficar cada vez mais parecida com a distribuicao normal. Se mudarmos e reescalonarmos X n apropriadamente, entao ${\displaystyle \scriptstyle Z_{n}={\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}(X_{n}-\mu )}$ estara convergindo em distribuicao a normal padrao, o resultado que se segue do conhecido teorema central do limite.
Exemplo grafico
Suponha que { X i } seja uma sequencia de variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuidas com distribuicao uniforme U (?1, 1) . Considere ${\displaystyle \scriptstyle Z_{n}={\scriptscriptstyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ suas somas (normalizadas). Entao, de acordo com o teorema central do limite, a distribuicao de Z n se aproxima da distribuicao normal N (0, 1 3 ) . Esta convergencia esta mostrada na imagem: conforme n aumenta, a forma da funcao distribuicao de probabilidade fica cada vez mais proxima da curva gaussiana.

Com este modo de convergencia, nos esperamos ver o proximo valor observado em uma sequencia de experimentos aleatorios cada vez mais bem modelado por uma dada distribuicao de probabilidade .

A convergencia em distribuicao e a forma mais fraca de convergencia, ja que e implicada por todos os outros tipos de convergencia mencionados nesta pagina. ^{[ 3 ]} Entretanto, a convergencia em distribuicao e usada com muita regularidade na pratica. Mais frequentemente, ela surge da aplicacao do teorema central do limite.

Definicao [ editar | editar codigo-fonte ]

Uma sequencia X ₁ , X ₂ , ... de variaveis aleatorias de valores reais converge em distribuicao, converge fracamente ou converge em lei a uma variavel aleatoria ${\displaystyle X}$ se ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x),}$

para todo numero x ∈ R no qual ${\displaystyle F}$ e continua. Aqui, F _n e F sao as funcoes distribuicao acumulada das variaveis aleatorias X _n e X respectivamente.

A exigencia de que apenas os pontos de continuidade de F sejam considerados e essencial. Por exemplo, se X _n for distribuida uniformemente nos intervalos, (0, 1 n ) , entao, esta sequencia converge em distribuicao a uma variavel aleatoria degenerada X = 0 . De fato, F _n ( x ) = 0 para todo ${\displaystyle n}$ quando x ≤ 0 e F _n ( x ) = 1 para todo x ≥ 1 n quando n > 0 . Entretanto, para esta variavel aleatoria limitante, F (0) = 1 , ainda que F _n (0) = 0 para todo ${\displaystyle n}$. Assim, a convergencia das funcoes distribuicao acumulada falha no ponto ${\displaystyle x=0}$, em que ${\displaystyle F}$ e descontinua.

A convergencia em distribuicao pode ser denotada como

${\displaystyle {\begin{aligned}&X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X,\ \ X_{n}\ {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\ X,\ \ X_{n}\ {\xrightarrow {\mathcal {L}}}\ X,\ \ X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {L}}_{X},\\&X_{n}\rightsquigarrow X,\ \ X_{n}\Rightarrow X,\ \ {\mathcal {L}}(X_{n})\to {\mathcal {L}}(X),\\\end{aligned}}}$

em que ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {L}}_{X}}$ e a lei (distribuicao de probabilidade) de X . Por exemplo, se X tiver distribuicao normal padrao, podemos escrever ${\displaystyle X_{n}\,{\xrightarrow {d}}\,{\mathcal {N}}(0,\,1)}$.

Para vetores aleatorios { X ₁ , X ₂ , ...} ⊂ R ^k , a convergencia em distribuicao e definida de forma semelhante. Dizemos que esta sequencia converge em distribuicao a um vetor ${\displaystyle k}$ aleatorio ${\displaystyle X}$ se

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} (X_{n}\in A)=\operatorname {Pr} (X\in A)}$

para todo A ⊂ R ^k que for um conjunto continuidade de ${\displaystyle X}$.

A definicao de convergencia em distribuicao pode ser estendida de vetores aleatorios a elementos aleatorios mais gerais em espacos metricos arbitrarios, ate mesmo a "variaveis aleatorias" nao mensuraveis ? uma situacao que ocorre por exemplo no estudo de processos empiricos. Isto e a convergencia fraca de leis sem que leis sejam definidas ? exceto assintoticamente. ^{[ 5 ]}

Neste caso, o termo convergencia fraca e preferivel e dizemos que uma sequencia de elementos aleatorios ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ converge fracamente a ${\displaystyle X}$ (denotado como X _n ⇒ X ) se

${\displaystyle \operatorname {E} ^{*}h(X_{n})\to \operatorname {E} \,h(X)}$

para todas as funcoes continuas limitadas h . ^{[ 6 ]} Aqui, ${\displaystyle \operatorname {E} ^{*}}$ denota o valor esperado externo, que e o valor esperado da menor funcao mensuravel ${\displaystyle g}$ que domina h ( X _n ) .

Propriedades [ editar | editar codigo-fonte ]

• Ja que F ( a ) = Pr( X ≤ a ) , a convergencia em distribuicao significa que a probabilidade de que X _n esteja em um dado intervalo e aproximadamente igual a probabilidade de que o valor de X esteja neste intervalo, sendo ${\displaystyle n}$ suficientemente grande.
• Em geral, a convergencia em distribuicao nao implica que a sequencia de funcoes densidade de probabilidade correspondentes tambem convergira. Como um exemplo, podem-se considerar variaveis aleatorias com densidades f _n ( x ) = (1 ? cos(2 πnx )) 1 _(0,1) . Estas variaveis aleatorias convergem em distribuicao a uma uniforme ${\displaystyle U(0,1)}$, enquanto suas densidades nao convergem de qualquer forma. ^{[ 7 ]}
  • Entretanto, o lema de Scheffe implica que a convergencia das funcoes densidade de probabilidade implica convergencia em distribuicao. ^{[ 8 ]}
• O lema de Portmanteau oferece varias definicoes equivalentes de convergencia em distribuicao. Ainda que estas definicoes sejam menos intuitivas, elas sao usadas para provar uma serie de teoremas estatisticos. O teorema afirma que { X _n } converge em distribuicao a X se e somente so qualquer uma das afirmacoes seguintes for verdadeira:
  • E?( X _n ) → E?( X ) para todas as funcoes limitadas , continuas ${\displaystyle f}$ (em que E denota o valor esperado);
  • E?( X _n ) → E?( X ) para todas as funcoes limitadas e de Lipschitz ?;
  • limsup{ E?( X _n ) } ≤ E?( X ) para toda funcao semicontinua superior ${\displaystyle f}$ limitada a partir de cima;
  • liminf{ E?( X _n ) } ≥ E?( X ) para toda funcao semicontinua inferior ${\displaystyle f}$ limitada a partir de baixo;
  • limsup{Pr( X _n ∈ C )} ≤ Pr( X ∈ C ) para todos os conjuntos fechados C ;
  • liminf{Pr( X _n ∈ U )} ≥ Pr( X ∈ U ) para todos os conjuntos abertos U ;
  • lim{Pr( X _n ∈ A )} = Pr( X ∈ A ) para todos os conjuntos continuidade A da variavel aleatoria X .
• O teorema de Mann-Wald afirma que, para uma funcao continua ${\displaystyle g}$, se a sequencia { X _n } convergir em distribuicao a ${\displaystyle X}$, entao { g ( X _n )} converge em distribuicao a g ( X ) .
  • Entretanto, a convergencia em distribuicao de { X _n } a ${\displaystyle X}$ e de { Y _n } a Y nao implica em geral a convergencia em distribuicao de { X _n + Y _n } a X + Y ou de { X _n Y _n } a XY .
• O teorema da continuidade de Levy afirma que a sequencia { X _n } converge em distribuicao a X se e somente se a sequencia das funcoes caracteristicas correspondentes { φ _n } convergir pontualmente a funcao caracteristica φ de X .
• A convergencia em distribuicao e metrizavel pela metrica de Levy-Prokhorov. ^{[ 3 ]}
• Uma ligacao natural a convergencia em distribuicao e o teorema da representacao de Skorokhod.

Convergencia em probabilidade [ editar | editar codigo-fonte ]

Examples of convergence in probability

Altura de uma pessoa
Este exemplo nao deve ser tomado literalmente. Considere o seguinte experimento. Primeiramente, selecione uma pessoa na rua. Considere X sua altura, que e ex ante uma variavel aleatoria. Entao, peca a outras pessoas que estimem sua altura a olho. Considere X n a media das primeiras n respostas. Entao, se nao houver erro sistematico, a sequencia X n convergira em probabilidade a variavel aleatoria X pela lei dos grandes numeros .
Arqueiro
Suponha que uma pessoa pegue um arco e comece a atirar flechas em um alvo. Considere X n sua pontuacao na n -esima flecha. Inicialmente, ele nao fara nenhum ponto muitas vezes, mas conforme o tempo passa e sua habilidade aumenta, ele ficara cada mais proximo de acertar a mosca e marcar 10 pontos. Depois de anos de pratica, a probabilidade de que ele atinja pontuacao diferente de 10 ficara cada vez menor e convergira a 0. Assim, a sequencia X n converge em probabilidade a ${\displaystyle X=10}$ Entretanto, note que X n nao converge quase certamente. Nao importa quao profissional o arqueiro se torne, havera sempre uma pequena probabilidade de cometer um erro. Assim, a sequencia ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ nunca ficara estacionaria. Havera sempre pontuacoes nao perfeitas, ainda que se tornem cada vez menos frequentes.

A ideia basica por tras deste tipo de convergencia e que a probabilidade de um valor observado "incomum" se torna cada vez menor conforme a sequencia progride. ^{[ 9 ]}

O conceito de convergencia em probabilidade e usado muito frequentemente em estatistica. Por exemplo, um estimador e considerado consistente se convergir em probabilidade a quantidade sendo estimada. A convergencia em probabilidade e tambem o tipo de convergencia estabelecido pela lei fraca dos grandes numeros . ^{[ 10 ]}

Definicao [ editar | editar codigo-fonte ]

Uma sequencia ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ de variaveis aleatorias converge em probabilidade em direcao a variavel aleatoria ${\displaystyle X}$ se para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$^{[ 4 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}|X_{n}-X|\geq \varepsilon {\big )}=0.}$

Formalmente, considere qualquer ${\displaystyle \varepsilon >0}$ e qualquer ${\displaystyle \delta >0}$. Considere ${\displaystyle P_{n}}$ a probabilidade de que ${\displaystyle X_{n}}$ esteja fora de um intervalo de confianca de raio ${\displaystyle \varepsilon }$ e em torno de ${\displaystyle X}$. Entao, para que ${\displaystyle X_{n}}$ convirja em probabilidade a ${\displaystyle X}$, deve existir um numero ${\displaystyle N}$ (que dependera de ${\displaystyle \varepsilon }$ e ${\displaystyle \delta }$) tal que, para todo ${\displaystyle n\geq N}$, ${\displaystyle P_{n}<\delta }$.

A convergencia em probabilidade ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ e denotada colocando-se a letra ${\displaystyle p}$ sobre uma seta indicando convergencia ou o operador de limite de probabilidade ${\displaystyle \mathrm {plim} }$:

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X,\ \ X_{n}\ {\xrightarrow {P}}\ X,\ \ {\underset {n\to \infty }{\operatorname {plim} }}\,X_{n}=X.}$

Para elementos aleatorios ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ em um espaco metrico separavel ( S , d ) , a convergencia em probabilidade e definida de forma semelhante por ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\Pr {\big (}d(X_{n},X)\geq \varepsilon {\big )}\to 0.}$

Propriedades [ editar | editar codigo-fonte ]

• A convergencia em probabilidade implica convergencia em distribuicao. ^{[ 9 ]}
• Na direcao oposta, a convergencia em distribuicao implica a convergencia em probabilidade quando a variavel aleatoria limitante ${\displaystyle X}$ for uma constante.
• A convergencia em probabilidade nao implica convergencia quase certa.
• O teorema de Mann-Wald afirma que, para toda funcao continua ${\displaystyle g(\cdot )}$, se ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {p}}X}$, entao tambem ${\displaystyle g(X_{n}){\xrightarrow {p}}g(X)}$.
• A convergencia em probabilidade define uma topologia no espaco de variaveis aleatorias sobre um espaco de probabilidade fixado. Esta topologia e metrizavel pela metrica de Ky Fan : ^{[ 11 ]}

${\displaystyle d(X,Y)=\inf \!{\big \{}\varepsilon >0:\ \Pr {\big (}|X-Y|>\varepsilon {\big )}\leq \varepsilon {\big \}}}$

ou

${\displaystyle d(X,Y)=\mathbb {E} \left[\min(|X-Y|,1)\right]}$.

Convergencia quase certa [ editar | editar codigo-fonte ]

Exemplos de convergencia quase certa

Exemplo 1
Considere um animal de alguma especie de vida curta. Nos registramos a quantidade de comida que este animal consome por dia. Esta sequencia de numeros sera imprevisivel, mas podemos estar quase certos de que este numero um dia sera zero e permanecera zero para sempre a partir de entao.
Exemplo 2
Considere um homem que joga sete moedas toda manha. Cada tarde, ele doa um moeda a caridade para cada cara que aparece. A partir da primeira vez em que todas as moedas derem coroa, ele parara de doar permanentemente. Considere ${\displaystyle X_{1},X_{2},...}$ as quantidades diarias que a caridade recebe dele. Podemos ficar quase certos de que um dia esta quantidade sera zero e permanecera zero para sempre a partir de entao. Entretanto, se considerarmos qualquer numero finito de dias, ha uma probabilidade nao nula de que ele nao pare de doar a caridade.

Este e o tipo de convergencia estocastica mais semelhante a convergencia pontual conhecida a partir da analise real elementar.

Definicao [ editar | editar codigo-fonte ]

Dizer que a sequencia X _n converge quase certamente , quase em todo lugar, com probabilidade 1 ou fortemente em direcao a ${\displaystyle X}$ significa que ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \operatorname {Pr} \!\left(\lim _{n\to \infty }\!X_{n}=X\right)=1.}$

Isto significa que os valores de X _n se aproximam do valor de ${\displaystyle X}$ no sentido de que os eventos para os quais X _n nao converge a ${\displaystyle X}$ tem probabilidade zero. Usando o espaco de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}$ e o conceito da variavel aleatoria como uma funcao de ${\displaystyle \Omega }$ a R , isto equivale a afirmacao

${\displaystyle \operatorname {Pr} {\Big (}\omega \in \Omega :\lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega ){\Big )}=1.}$

Usando a nocao do limite inferior de uma sequencia de conjuntos, a convergencia quase certa pode ser definida como:

${\displaystyle \operatorname {Pr} {\Big (}\liminf _{n\to \infty }{\big \{}\omega \in \Omega :|X_{n}(\omega )-X(\omega )|<\varepsilon {\big \}}{\Big )}=1\quad {\text{para todo}}\quad \varepsilon >0.}$

A convergencia quase certa e frequentemente denotada colocando-se as letras ${\displaystyle q.c.}$ sobre uma seta indicando convergencia,

${\displaystyle X_{n}\,{\xrightarrow {\mathrm {q.c.} }}\,X.}$

Para elementos aleatorios genericos ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ em um espaco metrico ${\displaystyle (S,d)}$, a convergencia quase certa e definida de forma semelhante:

${\displaystyle \operatorname {Pr} {\Big (}\omega \in \Omega :\,d{\big (}X_{n}(\omega ),X(\omega ){\big )}\,{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\,0{\Big )}=1}$

Propriedades [ editar | editar codigo-fonte ]

• A convergencia quase certa implica convergencia em probabilidade pelo lema de Fatou e, por isso, implica convergencia em distribuicao. E a nocao de convergencia usada na lei forte dos grandes numeros . ^{[ 10 ]}
• O conceito de convergencia quase certa nao vem de uma topologia sobre o espaco de variaveis aleatorias. Isto significa que nao ha topologia no espaco de variaveis aleatorias tal que as sequencias quase certamente convergentes sao exatamente as sequencias convergentes em relacao aquela topologia. Em particular, nao ha metrica de convergencia quase certa.

Convergencia certa [ editar | editar codigo-fonte ]

Dizer que a sequencia de variaveis aleatorias ${\displaystyle X_{n}}$ definida ao longo do mesmo espaco de probabilidade (isto e, um processo aleatorio) converge certamente, em todo lugar ou pontualmente a ${\displaystyle X}$ significa que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega ),\,\,\forall \omega \in \Omega .}$

em que ${\displaystyle \Omega }$ e o espaco amostral do espaco de probabilidade subjacente sobre o qual as variaveis aleatorias sao definidas.

Esta e a nocao de convergencia pontual de uma sequencia de funcoes estendida a uma sequencia de variaveis aleatorias, lembrando que as variaveis aleatorias sao elas mesmas funcoes.

${\displaystyle {\big \{}\omega \in \Omega \,|\,\lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega ){\big \}}=\Omega .}$

A convergencia certa de uma variavel aleatoria implica todos os outros tipos de convergencia descritos acima. A diferenca entre a convergencia quase certa e a convergencia certa esta nos conjuntos com probabilidade zero. Por isso, o conceito de convergencia certa de variaveis aleatorias e muito raramente usado.

Convergencia em media [ editar | editar codigo-fonte ]

Dado um numero real r ≥ 1 , dizemos que a sequencia X _n converge na ${\displaystyle r}$-esima media ou na norma L ^{r [ 12 ]} a variavel aleatoria ${\displaystyle X}$ se os ${\displaystyle r}$-esimos momentos absolutos ${\displaystyle \mathrm {E} (|X_{n}|^{r})}$ e ${\displaystyle \mathrm {E} (|X|^{r})}$ de ${\displaystyle X_{n}}$ e ${\displaystyle X}$ existem e

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} \left(|X_{n}-X|^{r}\right)=0,}$

em que o operador ${\displaystyle \mathrm {E} }$ denota o valor esperado. A convergencia na ${\displaystyle r}$-esima media nos diz que o valor esperado da ${\displaystyle r}$-esima potencia da diferenca entre ${\displaystyle X_{n}}$ e ${\displaystyle X}$ converge a zero.

Este tipo de convergencia e frequentemente denotado colocando-se L ^r sobre uma seta indicando convergencia:

${\displaystyle X_{n}\,{\xrightarrow {L^{r}}}\,X.}$

Os casos mais importantes de convergencia na ${\displaystyle r}$-esima media sao:

• Quando X _n converge na ${\displaystyle r}$-esima media a ${\displaystyle X}$ para ${\displaystyle r=1}$, dizemos que X _n converge em media a ${\displaystyle X}$.
• Quando X _n converge na ${\displaystyle r}$-esima media a ${\displaystyle X}$ para ${\displaystyle r=2}$, dizemos que X _n converge em media quadratica a ${\displaystyle X}$.

A convergencia na na ${\displaystyle r}$-esima media, para ${\displaystyle r\geq 1}$, implica convergencia em probabilidade pela desigualdade de Markov. ^{[ 13 ]} Alem disso, se ${\displaystyle r>s\geq 1}$, a convergencia na ${\displaystyle r}$-esima media implica convergencia na ${\displaystyle s}$-esima media. Assim, a convergencia em media quadratica implica a convergencia em media.

Vale notar que, se ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {L^{r}}}X}$, entao

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }E[|X_{n}|^{r}]=E[|X|^{r}]}$

Propriedades [ editar | editar codigo-fonte ]

Se o espaco de probabilidade for completo:

• Se ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X}$ e ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ Y}$, entao ${\displaystyle X=Y}$ quase certamente.
• Se ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {q.c.}}\ X}$ e ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {q.c.}}\ Y}$, entao ${\displaystyle X=Y}$ quase certamente.
• Se ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ X}$ e ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ Y}$, entao ${\displaystyle X=Y}$ quase certamente.
• Se ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X}$ e ${\displaystyle Y_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ Y}$, entao ${\displaystyle aX_{n}+bY_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ aX+bY}$ (para quaisquer numeros reais ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$) e ${\displaystyle X_{n}Y_{n}{\xrightarrow {p}}\ XY}$.
• Se ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {q.c.}}\ X}$ e ${\displaystyle Y_{n}\ {\xrightarrow {q.c.}}\ Y}$, entao ${\displaystyle aX_{n}+bY_{n}\ {\xrightarrow {q.c.}}\ aX+bY}$ (para quaisquer numeros reais ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$) e ${\displaystyle X_{n}Y_{n}{\xrightarrow {q.c.}}\ XY}$.
• Se ${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ X}$ e ${\displaystyle Y_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ Y}$, entao ${\displaystyle aX_{n}+bY_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ aX+bY}$ (para quaisquer numeros reais ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$).
• Nenhuma das afirmacoes acima e verdadeira para convergencia em distribuicao.

A cadeia de implicacoes entre as varias nocoes de convergencias estao notadas em suas respectivas secoes. Elas sao, usando notacao de setas:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\xrightarrow {L^{s}}}&{\underset {s>r\geq 1}{\Rightarrow }}&{\xrightarrow {L^{r}}}&&\\&&\Downarrow &&\\{\xrightarrow {q.c.}}&\Rightarrow &{\xrightarrow {\ p\ }}&\Rightarrow &{\xrightarrow {\ d\ }}\end{matrix}}}$

Estas propriedades, unidas a uma serie de outros casos especiais, estao resumidas na lista abaixo:

• Convergencia quase certa implica convergencia em probabilidade: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {q.c.}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X}$

• Convergencia em probabilidade implica que existe uma subsequencia ${\displaystyle (k_{n})}$ que quase certamente converge: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{k_{n}}\ {\xrightarrow {a.s.}}\ X}$

• Convergencia em probabilidade implica convergencia em distribuicao: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X}$

• Convergencia na ${\displaystyle r}$-esima media implica convergencia em probabilidade:

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X}$

• Convergencia na ${\displaystyle r}$-esima media implica convergencia na media de ordem mais baixa, assumindo que ambas as ordens sao maiores ou iguais a um:

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {L^{s}}}\ X,}$ sendo ${\displaystyle r>s\geq 1}$.

• Se ${\displaystyle X_{n}}$ convergir em distribuicao a uma constante ${\displaystyle c}$, entao ${\displaystyle X_{n}}$ converge em probabilidade a ${\displaystyle c}$: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ c\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ c,}$ sendo ${\displaystyle c}$ uma constante.

• Se X _n convergir em distribuicao a ${\displaystyle X}$ e a diferenca entre ${\displaystyle X_{n}}$ e ${\displaystyle Y_{n}}$ converge em probabilidade a zero, entao ${\displaystyle Y_{n}}$ tambem converge em distribuicao a ${\displaystyle X}$: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X,\ \ |X_{n}-Y_{n}|\ {\xrightarrow {p}}\ 0\ \quad \Rightarrow \quad Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X}$

• Se ${\displaystyle X_{n}}$ convergir em distribuicao a ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y_{n}}$ convergir em distribuicao a uma constante ${\displaystyle c}$, entao o vetor conjunto ${\displaystyle (X_{n},Y_{n})}$ converge em distribuicao a ${\displaystyle (X,c)}$:

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X,\ \ Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ c\ \quad \Rightarrow \quad (X_{n},Y_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ (X,c)}$ sendo ${\displaystyle c}$ uma constante.

A condicao de que Y _n convirja a uma constante e importante. Se convergisse a uma variavel aleatoria ${\displaystyle Y}$, entao nao se poderia concluir que ${\displaystyle (X_{n},Y_{n})}$ converge a ${\displaystyle (X,Y)}$.

• Se ${\displaystyle X_{n}}$ convergir em probabilidade a ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y_{n}}$ convergir em probabilidade a ${\displaystyle Y}$, entao o vetor conjunto ${\displaystyle (X_{n},Y_{n})}$ converge em probabilidade a ${\displaystyle (X,Y)}$: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X,\ \ Y_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ Y\ \quad \Rightarrow \quad (X_{n},Y_{n})\ {\xrightarrow {p}}\ (X,Y)}$

• Se X _n convergir em probabilidade a ${\displaystyle X}$ e P (| X _n | ≤ b ) = 1 para todo ${\displaystyle n}$ e algum ${\displaystyle b}$, entao X _n converge na ${\displaystyle r}$-esima media a ${\displaystyle X}$ para todo r ≥ 1 . Em outras palavras, se X _n convergir em probabilidade a ${\displaystyle X}$ e todas as variaveis aleatorias X _n forem quase certamente limitadas acima e abaixo, entao X _n converge a ${\displaystyle X}$ tambem em qualquer ${\displaystyle r}$-esima media.
• Geralmente, convergencia em distribuicao nao implica convergencia quase certa. Entretanto, para uma dada sequencia ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ que converge em distribuicao a ${\displaystyle X_{0}}$, e sempre possivel encontrar um novo espaco de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ e variaveis aleatorias ${\displaystyle \{Y_{n},n=0,1,...\}}$ definidas neste espaco tal que ${\displaystyle Y_{n}}$ seja igual em distribuicao X _n para todo ${\displaystyle n\geq 0}$ e ${\displaystyle Y_{n}}$ convirja a ${\displaystyle Y_{0}}$ quase certamente. ^{[ 14 ]}
• Se para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \sum _{n}\mathbb {P} \left(|X_{n}-X|>\varepsilon \right)<\infty ,}$

entao dizemos que X _n converge quase completamente ou quase em probabilidade em direcao a ${\displaystyle X}$. Quando ${\displaystyle X_{n}}$ converge quase completamente em direcao a ${\displaystyle X}$, entao tambem converge quase certamente a ${\displaystyle X}$. Em outras palavras, se X _n convergir em probabilidade a ${\displaystyle X}$ de forma suficientemente rapida, isto e, se a sequencia acima das probabilidades de cauda for somavel para todo ε > 0 , entao, X _n converge quase certamente a ${\displaystyle X}$. Esta e uma implicacao direta do lema de Borel-Cantelli .

• Se S _n for uma soma de ${\displaystyle n}$ variaveis aleatorias independentes reais:

${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}\,}$

entao S _n converge quase certamente se e somente se S _n convergir em probabilidade.

• O teorema da convergencia dominada da condicoes suficientes para que a convergencia quase certa implique convergencia ${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}X_{n}{\xrightarrow {a.s.}}X\\|X_{n}|<Y\\\mathrm {E} (Y)<\infty \end{matrix}}\right\}\quad \Rightarrow \quad X_{n}{\xrightarrow {L^{1}}}X}$

• Uma condicao necessaria e suficiente para a convergencia ${\displaystyle L^{1}}$ e que ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {P}}X}$ e a sequencia ${\displaystyle (X_{n})}$ seja uniformemente integravel.

Referencias [ editar | editar codigo-fonte ]

Este artigo incorpora material do artigo " Convergencia de variaveis aleatorias ", do Citizendium , que esta sob a licenca Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported , porem nao sob a GFDL .