Zasada najmniejszego działania Hamiltona ? zasada wariacyjna słu??ca do znajdowania rowna? ruchu układow fizycznych zło?onych z jednej lub wielu cz?stek. Zasada ta została podana przez Williama R. Hamiltona w 1834 roku ^[1] i stanowi jedn? z fundamentalnych zasad fizyki klasycznej (porownaj: fizyka kwantowa ).

Działanie Hamiltona [ edytuj | edytuj kod ]

Działaniem Hamiltona obliczonym dla trajektorii ${\displaystyle q(t)}$ w przestrzeni konfiguracyjnej układu fizycznego, ł?cz?cej punkt ${\displaystyle q_{1}}$ w chwili ${\displaystyle t_{1}}$ z punktem ${\displaystyle q_{2}}$ w chwili ${\displaystyle t_{2}}$ nazywamy całk? z funkcji Lagrange’a danego układu fizycznego, tj.

${\displaystyle S[q]=\int _{t_{1},q_{1}}^{t_{2},q_{2}}L[q(t),{\dot {q}}(t),t]\mathrm {d} t.}$

Działanie zale?y od trajektorii ${\displaystyle q(t),}$ wzdłu? ktorej si? je liczy.

Przykład [ edytuj | edytuj kod ]

Dla cz?stki swobodnej w przestrzeni ${\displaystyle R^{3}}$ funkcja Lagrange’a jest po prostu rowna energii kinetycznej

${\displaystyle L[q(t),{\dot {q}}(t),t]={\frac {mv^{2}}{2}},}$

gdzie:

${\displaystyle v={\dot {q}}(t)=const.}$

Na podstawie zasady Hamiltona (patrz ni?ej) mo?na wyprowadzi? rownanie Eulera-Lagrange’a , ktore jest rownaniem ruchu cz?stki o takiej funkcji Lagrange’a ? w tym wypadku otrzyma si? rownanie Newtona w postaci

${\displaystyle {\ddot {q}}(t)=0.}$

Zasada Hamiltona [ edytuj | edytuj kod ]

Zasada Hamiltona głosi, ?e:

Rzeczywisty układ fizyczny porusza si? po trajektorii, dla ktorej działanie Hamiltona przyjmuje warto?? stacjonarn? (tj. minimum, maksimum lub punkt przegi?cia), przy czym w obliczaniu działania rozwa?a si? wszystkie mo?liwe trajektorie ł?cz?ce zadany punkt pocz?tkowy i ko?cowy w zadanym czasie.

Je?eli punkty te le?? blisko siebie, to działanie ma minimum (st?d nazwa: zasada najmniejszego działania ).

Jednak w ogolno?ci zasada Hamiltona jest zasad? stacjonarnego działania: przy wariowaniu toru rzeczywistego działanie ${\displaystyle S}$ nie zmieni si? w pierwszym rz?dzie, a to oznacza, ?e działanie ma warto?? stacjonarn?, analogicznie jak dla funkcji jednej zmiennej, gdzie zerowanie si? pochodnej oznacza przyj?cie przez funkcj? warto?ci stacjonarnej (tj. minimum, maksimum lub w punkcie przegi?cia ).

Inaczej mowi?c, zasada Hamiltona oznacza, ?e wariacja działania przyjmuje warto?? rown? zeru

${\displaystyle \delta S=0.}$

Zasada Hamiltona prowadzi do rowna? Eulera-Lagrange’a .

Podej?cie teleologiczne a determinizm [ edytuj | edytuj kod ]

Zasada najmniejszego działania wydaje si? by? przykładem tak zwanego podej?cia teleologicznego : układ porusza si? mi?dzy dwoma punktami tak, by zrealizowa? pewien cel (tu: sprawia?, by działanie było stacjonarne). Jednak jest to tylko pozorne, bowiem zasada Hamiltona jest rownowa?na rownaniom Eulera-Lagrange’a (cho? nie w ka?dych warunkach), te za? stanowi? układ rowna? ro?niczkowych, ktore implikuj? deterministyczny (przyczynowy) ruch układu.

Inne zasady wariacyjne [ edytuj | edytuj kod ]

• zasada Jacobiego
• zasada Fermata

Zobacz te? [ edytuj | edytuj kod ]

• lagran?jan

Przypisy [ edytuj | edytuj kod ]

Bibliografia [ edytuj | edytuj kod ]

• Chris G. Gray, Principle of least action , Scholarpedia, 2009.
• W. Krolikowski , W. Rubinowicz : Mechanika teoretyczna . Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN , 2012.