En general, la
logica
es l'estudi dels sistemas de rasonament, es a dire, de sistemas de rasonament qu'un esser intelligent podria utilizar per rasonar. La logica servis per dire qualas formas d'
inferencia
son validas e qualas o son pas. Tradicionalament, s'estudia coma una branca de la
filosofia
, mas tanben se podria considerar coma una branca dels
matematicas
o de l'
informatica
.
La logica, dins lo sens pus general d'aqueste mot, remonta al
segle IV aC
, quand
Aristotel
la presentet coma basa de son sistema filosofic, per esser una materia indispensabla per quala que sia autra sciencia. Encara que tal com va ser concebuda pel sabent grec era bastant rigida, i de poc abast, amb tot va restar inalterada fins el
segle XIX
, encara que
Leibnitz
(
1646
-
1716
) li dona un cert impuls, dins una postura conservadora, va ser
Boole
(nat el
2 de novembre
de
1815
a Lincoln, Lincolnshire, Anglaterra-mort el
8 de decembre
de
1864
a Ballintemple, County Cork, Irlanda), amb alguns altres, comencaren a relacionar-la directament amb la matematica. La logica, tal com s'enten avui, va sorgir dels treballs de
Frege
(nat el
8 de novembre
de
1848
a Wismar, Mecklenburg-Schwerin (actualament Alemanha)-mort el
26 de juliol
de
1925
a Bad Kleinen, Alemanya) i
Peano
(nat el
27 d'agost
de
1858
a Cuneo, Piemonte, Italia - mort el
20 d'abril
de
1932
a Turin, Italia). Aquests treballs es veren com la culminacio del proces de formalitzacio de la matematica, comencada per
Isaac Newton
i
Leibnitz
, creadors del
calcul infinitesimal
, que despres desenvoluparien
Cauchy
(nat el
21 d'agost
de
1789
a Paris, Franca ? mort el
23 de maig
de
1857
a Sceaux, aprop de Paris), i
Gauss
(nat el
30 d'abril
de
1777
a Brunswick, Ducat de Brunswick, actualament Alemanya ? mort el 23 de febrer de 1855 a Gottingen, Hanover, avui Alemanya), entre d'altres que cada vegada abastava conceptes mes generals i abstractes.
Dedekind
(nat el
6 d'octubre
de
1831
a Braunschweig, Ducat de Braunschweig, avui Alemanya ? mort el
12 de febrer
de
1916
a Braunschweig),
Riemann
(nat el
17 de setembre
de
1826
a Breselenz, Hanover, avui Alemanya ? mort el
20 de juliol
de
1866
a Selasca, Italia),
Weierstrass
(nat el
31 d'octubre
de
1815
a Ostenfeide, Westphalia, actual Alemanya ? mort el
19 de febrer
de
1897
a Berlin, Alemanya) sistematitzaren la matematica fins el punt de deixar-la construida essencialment a partir dels
nombres naturals
, i sobre les propietats fonamentals dels
conjunts
. L'obra de Frege i Peano havia de ser la culminacio d'aquest proces: provaren de donar regles precises per determinar completament la labor del matematic, explicitant tant els punts de partida com els metodes per deduir nous resultats.Si nomes hagues estat aixi la logica seguiria essent una curiositat reservada als matematics amb inclinacions filosoficas, pero a finals del
segle XIX
Georg Cantor
crea e desenvolupa la part mes general i abstracta de la matematica moderna: la
teoria dels ensembles
. No va passar molt de temps sens que el propi Cantor, i d'altres, descobrissen contradiccions a la teoria de conjunts. L'exemple mes simple fou descobert per
Bertrand Russell
: segons la teoria de Cantor es pot parlar de qualsevol conjunt de objectes si s'especifiquen els seus elements sens ambiguitat. Per tant podem considerar el conjunt
R
, els elements del qual son exactament aquells conjunts que no son elements de ells mateixos. Per tant si
R
es un element de ell mateix, per definicio, no podria ser-ho, i viceversa. Resulta que
R
no pot pertanyer a ell mateix com a element ni no fer-ho. Tot aixo contradiu la logica mes elemental. Es podria pensar que aixo no es mes que una ximpleria, pero el que passa es que contradiccions similars afecten a conjunts no tan artificials i recercats com el conjunt
R
. La primera mostra de la importancia de la logica fou un fracas estrepitos. Frege havia creat un sistema que pretenia regular qualsevol raonament matematic. Russell observa que la
paradoxa
esmentada podia ser provada seguint el sistema de Frege, aixi com qualsevol afirmacion, la qual cosa tornava aquestes regles totalment inutils. Amb el temps sorgiren substituts als treballs de Frege. El primer va ser els
Principia Mathematica
de
Whitehead
(nat el
15 de febrer
de
1861
a Ramsgate, Isla de Thanet, Kent, Anglaterra ? mort el
30 de desembre
de
1947
a Cambridge, Massachusetts, Estats Units)i
Russell
, de gran complexitat logica. Despres vendrien les teories de conjunts de
Zermelo-Fraenkel
(ZF), i de
von Neumann-Bernays-Godel
(NBG). Amdues permeten deduir tots els
teoremas
matematics a partir dels seus principis basics (
axiomas
), sens que, fins ara, s'hagi trobat cap de contradiccion.
Originalment la logica nomes comprenia lo
rasonament deductiu
que es allo que s'inferix de unes
premisses
dades. Sigui com sigui es important fer notar que el
raonament inductiu
-l'estudi i derivacio de generalitzacions a partir de les observacions-ha estat a vegades inclus dins l'estudi de la logica. Igualment, hem de diferenciar entre validesa deductiva e validesa inductiva. La nocion de validesa deductiva pot ser establerta rigorosament per sistemes de
Logica formala
en idees de termes ben entesos de
semantica
. La validesa inductiva, per altra costat, ens exigeix definir una generalizacion exacte de algun conjunt d'observacions. La tasca de porgir aquesta definicion pot ser abordada per diferents camins, alguns mes formals que altres; algunes d'aquestes definicions poden usar models matematics de probabilitat.
Una mica arbitrariament, l'estudi de la logica se divideix en logica formala e
informal
.
La logica formal (a vegades anomenada logica simbolica) s'apropa a la logica, e en particular, al debat logic com a un conjunt de regles manipulacio de simbols. Hi ha dues classes de regles en qualsevol sistema de logica formala : Les regles
sintaxi logica
e las
reglas d'inferencia
.